1、第 1 页，共 21 页 2020中考复习二次函数中的运动类问题（中考复习二次函数中的运动类问题（2） 姓名：_班级：_考号：_ 一、选择题 1. 如图，抛物线 = 22+ 8 6与 x轴交于点 A、 B，把抛物线在 x轴及其上方的 部分记作1， 将1向右平移得2， 2与 x轴交于点 B， .若直线 = + 与1、 2共 有 3个不同的交点，则 m的取值范围是( ) A. 2 1 8 B. 3 7 4 C. 3 2 D. 3 15 8 2. 如图，在菱形 ABCD 中， = 60， = 2，动点 P从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿折线 运动到点 C， 同时动点 Q从点 A出发，以
2、相同速度沿折线 运动到点 D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止设的面 积为 y，运动时间为 x 秒，则下列图象能大致反映 y与 x之间函数关系的是( ) A. B. C. D. 3. 如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线 = 2 + 23的 顶点为 A，且与 x轴的正半轴交于点 B，P 点为该抛物 线对称轴上一点，则 + 1 2的最小值为 ( ) A. 3:221 4 B. 3:23 2 第 2 页，共 21 页 C. 3 D. 23 4. 如图， 在平面直角坐标系中直线 = + 4与 x 轴相 交于点 A，与 y 轴相交于点 B，点 C坐标为(1,2)， 点 D 是边 AB上任意一点，
3、G 是 CD中点，则 OG的 最小值是( ) A. 2 B. 3 22 C. 22 D. 5 42 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知(3,2)，(0,2)，(3,0)，M 是线段 AB 上的一个动点，连接 CM，过点 M作 交 y 轴于点 N，若点 M、N在直线 = + 上，则 b的最大值是( ) A. 7 8 B. 3 4 C. 1 D. 0 6. 如图，点 A在抛物线 = 2+ 2 + 3(0 3)上，直线 轴于点 M， 于点 C， 以 AC为对角线作矩形 ABCD， 若点 M 的坐标为(0,6)则 BD 的取值范围是( ) A. 2 3 B. 3 6 C. 1 6 D. 2 6 7.
4、 如图，在 中， = 90， = 10， = 8，点 P从点 A沿 AC向点 C以1/的速 度运动， 同时点 Q从点 C沿 CB向点 B以2/的速 度运动(点 Q运动到点 B停止)， 在运动过程中， 四边 形 PABQ的面积最小值为( ) A. 192 B. 162 C. 152 D. 122 第 3 页，共 21 页 8. 如图，点 A是函数 = 1 图象上的一点，已知 (2,2)，( 2, 2).试利用性质： “ = 1 图象上的任意一点 A 都满足| | = 2 2 ”求解下面问题：作的内角平分线 AE， 过B作AE的垂线交AE于.当点A在函数 = 1 的图 象上运动时，点 F 也总在一
5、条曲线上运动，则这条曲线为( ) A. 圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 直线 二、填空题 9. 如图，一段抛物线： = ( 2)(0 2)记为1，它与 x 轴交于两点 O，1； 将1绕1旋转180得到2，交 x 轴于2；将2绕2旋转180得到3，交 x轴于3； 如此进行下去，直至得到6，若点(11,)在第 6段抛物线6上，则 =_ 10. 如图， 已知 的半径是 1， 圆心 P 在抛物线 = 1 2 2 1 2上 运动，当 与 x轴相切时，圆心 P的坐标为_ 11. 如图，抛物线 = 2+ 2 + 3与 y轴交于点 C，点 (0,1)，点 P是抛物线上的动点，若 是以 CD 为 底的等腰
6、三角形，则点 P的坐标为_ 第 4 页，共 21 页 12. 如图，点1、2、3、An在抛物线 = 2图象上， 点1、 2、 3、 、 在 y轴上， 若 101、 212、 、 ;1都为等腰直角三角形(点0是坐标原点)，则 201520142015的腰长= _ 13. 如图，已知抛物线 = 2 4 + ( 0)与反比例函数 = 9 的图象相交于点 B， 且 B 点的横坐标为 3，抛物线与 y轴交于点(0,6)，A 是抛物线 = 2 4 + 的 顶点，P点是 x轴上一动点，当 + 最小时，P点的坐标为_ 14. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 在抛物线 = 32 2 + 2上运动过点 A作 轴
7、于点 C，以 AC为对角 线作矩形 ABCD，连结 BD，则对角线 BD的最小值为 _ 15. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1cm，M、N分别是 BC、CD 上两个动点， 且始终保持 ， 当 =_cm时， 四边形 ABCN的面积最大，最大面积为_2 三、解答题 16. 如图，抛物线 = 2+ + 经过点(0,3)和点(3,0) 第 5 页，共 21 页 (1)求该抛物线的函数表达式和直线 AB的函数表达式； (2)若点 P是抛物线落在第一象限内的一点，连接 PA，PB，求 的面积 S 的最 大值及此时点 P的坐标 17. 如图， 已知直线 = + 4分别交 x 轴、 y轴于点 A、 B，
8、 抛物线过 = 2+ + 经 过 A，B 两点，点 P 是线段 AB上一动点，过点 P作 轴于点 C，交抛物线于 点 D (1)若抛物线的解析式为 = 1 2 2 + + 4，设其顶点为 M，其对称轴交 AB 于点 N 求点 M、N 的坐标； 是否存在点 P，使四边形 MNPD为菱形？并说明理由； (2)当点 P的横坐标为 2时，是否存在这样的抛物线，使得以 B、P、D 为顶点的三 角形是直角三角形？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明 理由 18. 如图，抛物线经过(1,0)，(5,0)，(0, 5 2)三点 第 6 页，共 21 页 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物
9、线的对称轴上有一点 P，使 + 的值最小，求点 P 的坐标； (3)点 M为 x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A，C，M，N 四点构 成的四边形为平行四边形？若存在， 直接写出点 N的坐标； 若不存在， 请说明理由 19. 如图，A，B 两点在 x 轴的正半轴上运动，四边形 ABCD 是矩形，C，D 两点在抛物线 = 2+ 8上 (1)若 = 1，求矩形 ABCD的周长； (2)设 = (0 4)， 求出四边形 ABCD 的周长 L 关于 m的函数表达式； (3)在(2)的条件下求 L 的最大值 20. 已知抛物线 = 1 2 2 3 2与 x 轴交于点 A，点(点 A在点 B
10、左侧) (1)求点 A，点 B 的坐标； (2)用配方法求该抛物线的顶点 C 的坐标，判断 的形状，并说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使以点 O、点 C、点 P 为顶点的三角形构 成等腰三角形？若存在，请直接写出点 P的坐标；若不存在，请说明理由 第 7 页，共 21 页 21. 抛物线 = 2+ + 的顶点 C为(2,0)，与 y轴交于点(0,4)，直线 = + 2与抛 物线交于 A，B两点(点 A在点 B的左侧) (1)求抛物线的函数表达式； (2)点 P 是抛物线上一点，若= 2，求点 P 的坐标； (3)将直线 AB上下平移， 平移后的直线 = + 与抛物线交于，
11、两点(在的 左侧)，当以点，和(2)中第二象限的点 P为顶点的三角形是直角三角形时，求 t的值 第 8 页，共 21 页 答案和解析答案和解析 1. D 解：令 = 22+ 8 6 = 0， 即2 4 + 3 = 0， 解得 = 1或 3， 则点(1,0)，(3,0)， 由于将1向右平移 2个长度单位得2， 则2解析式为 = 2( 4)2+ 2(3 5)， 当 = + 1与2相切时， 令 = + 1= = 2( 4)2+ 2， 即22 15 + 30 + 1= 0， = 81 15 = 0， 解得1= 15 8 ， 当 = + 2过点 B 时， 即0 = 3 + 2， 2= 3， 当3 15
12、8 时直线 = + 与1、2共有 3 个不同的交点， 2. B 解：(1)当 P、Q分别在 AB、AC上运动时， 是菱形， = 60，则 、 为边长为 2 的等边三角形， 过点 Q作 于点 H， = 1 2 = 1 2(2 ) 3 2 = 3 4 2+ 3 2 ， 函数最大值为 3 4 ，符合条件的有 A、B、D； (2)当 P、Q 分别在 AC、DC上运动时， 同理可得： = 3 4 ( 2)2， 符合条件的有 B 第 9 页，共 21 页 3. C 解：连接 AO、AB，PB，作 于 H， 于 C，如图， 当 = 0时，2+ 23 = 0，解得1= 0，2= 23，则(23,0)， = 2
13、+ 23 = ( 3)2+ 3，则(3,3)， =(3)2+ 32= 23， 而 = = 23， = = ， 为等边三角形， = 30， = 1 2， 垂直平分 OB， = ， + 1 2 = + ， 当 H、P、B 共线时， + 的值最小，最小值为 BC的长， 而 = 3 2 = 3 2 23 = 3， + 1 2的最小值为 3 4. D 解：当 = 0时， + 4 = 0 = 4 (4,0) 设 D 点横坐标为 x， 点在直线 = + 4上， (,4 )(0 4) 是 CD中点 点坐标为(;1 2 , 6; 2 ) 第 10 页，共 21 页 =(;1 2 ) 2 + (6; 2 ) 2
14、= 1 2 2( 7 2) 2 + 25 2 当 = 7 2时， OG取最小值为5 42 5. A 解：连接 AC，则四边形 ABOC 是矩形， = = 90， 又 ， = 90， = ， ， = ， 设 = ， = .则 = 3 ， = 2 ， 2 3; = ， 即： = 1 2 2 + 3 2 当 = 2 = 3 2 2(;1 2) = 3 2时，最大 = 1 2 (3 2) 2 + 3 2 3 2 = 9 8， 直线 = + 与 y轴交于(0,) 当 BN最大，此时 ON 最小，点 (0,)越往上，b 的值最大， = = 2 9 8 = 7 8， 此时，(0, 7 8) b 的最大值为
15、7 8 6. D 解：矩形 ABCD， = ， 点 A 在抛物线 = 2+ 2 + 3(0 3)上运动，且， 当点 A为抛物线的顶点时，AC的长最短， 此时点 A 的横坐标为 = 2 = 2 ;2 = 1，纵坐标为 = 1 + 2 + 3 = 4， 故 AC= 6 4 = 2； 第 11 页，共 21 页 当点 A在点(3,0)时，AC 的长最大， 此时 = 6， 综上所述，2 6，即2 6 7. C 解：在 中， = 90， = 10， = 8， = 2 2= 6， 设运动时间为(0 4)，则 = (6 )， = 2， 四边形= CPQ = 1 2 1 2 = 1 2 6 8 1 2(6 )
16、 2 = 2 6 + 24 = ( 3)2+ 15， 当 = 3时，四边形 PABQ 的面积取最小值，最小值为 15 8. A 解：如图：过 C作 ，垂足为 M，交 AB于 D， 平分，且 AM是 DC 边上的高， 是等腰三角形， = ， 第 12 页，共 21 页 = = 22， 即 BD 长为定值， 过 M作/交 BF 于 N， 则四边形 MNBD是平行四边形， = ， 在 中，无论 F怎么变化，有两个条件不变： 的长为定值， = 90， 因此如果作 的外接圆，那么 F点总在以 MN为直径的圆上运 动，因此 F点的运动轨迹应该是个圆 9. 1 解： = ( 2)(0 2)， 配方可得 =
17、( 1)2+ 1(0 2)， 顶点坐标为(1,1)， 1坐标为(2,0) 2由1旋转得到， 1= 12，即2顶点坐标为(3,1)，2(4,0)； 照此类推可得，3顶点坐标为(5,1)，3(6,0)； 4顶点坐标为(7,1)，4(8,0)； 5顶点坐标为(9,1)，5(10,0)； 6顶点坐标为(11,1)，6(12,0)； = 1 10. (3,1)或(1,1)或(1,1) 解：设点(,) 与 x轴相切 | = 1 = 1 当 = 1时，1 = 1 2 2 1 2 解得：1= 3，2= 1 点(3,1)，(1,1) 当 = 1时，1 = 1 2 2 1 2 解得： = 1 点(1,1) 11.
18、 (1 + 2,2)或(1 2,2) 第 13 页，共 21 页 解：当 = 0时， = 2+ 2 + 3 = 3，则(0,3)， 是以 CD 为底的等腰三角形， 点 P 为直线 = 2与抛物线 = 2+ 2 + 3的交点， 当 = 2时，2+ 2 + 3 = 2，解得1= 1 + 2，2= 1 2， 点坐标为(1 + 2,2)或(1 2,2) 12. 20152 解：作1 轴，2 轴，垂足分别为 C、E 101、 212都是等腰直角三角形， 1 = 0 = 0= 1，2 = 1E. 设1(,)，则 = ，将其代入解析式 = 2得： = 2， 解得： = 0(不符合题意)或 = 1， 由勾股定
19、理得：10= 2， 10= 2， 过1作1 2，设点(2,2)， 可得2 = 2 2，1 = 2= 2 2， 又点2在抛物线上，所以2= 2 2， (2+ 2) = 2 2， 解得2= 2，2= 1(不合题意舍去)， 21= 22， 同理可得： 32= 32， 43= 42， 20152014= 20152， 201520142015的腰长为：20152 13. ( 12 5 ,0) 解： 如图， 作点 A关于 x 轴的对称点， 连接， 则 与 x轴的交点即为所求， 抛物线 = 2 4 + ( 0)与反比例函数 = 9 的图象相交于点 B，且 B点的横坐标为 3，抛物线与 y 轴交于点(0,6
20、)， 点(3,3)， 9 12 + = 3 = 6 , 第 14 页，共 21 页 解得： = 1 = 6 = 2 4 + 6 = ( 2)2+ 2， 点 A 的坐标为(2,2)， 点的坐标为(2,2)， 设过点(2,2)和点(3,3)的直线解析式为 = + ， 2 + = 2 3 + = 3 解得： = 5 = 12, 直线的函数解析式为 = 5 12， 令 = 0，则0 = 5 12得 = 12 5 ， 14. 1 解： = 2 2 + 2 = ( 1)2+ 1， 抛物线的顶点坐标为(1,1)， 四边形 ABCD为矩形， = ，而 轴， 的长等于点 A 的纵坐标，当点 A在抛物线的顶点时，
21、点 A到 x轴的距离最小，最 小值为 1， 对角线 BD的最小值为 1 15. 1 2； 5 8 解：设 = ，则 = 1 ()， = 90， + = 90， + = 90， = ， 又 = ，则 AB： = ：CN， 即 1 1; = ， 解得 = (1 )， 四边形= 1 2 1 1 + (1 ) = 1 2 2 + 1 2 + 1 2， 1 2 0， 当 = 1 2 2(;1 2) = 1 2时，四边形最大，最大值是 1 2 (1 2) 2 + 1 2 1 2 + 1 2 = 5 8 2 第 15 页，共 21 页 16. 解：(1) 抛物线 = 2+ + 经过点(0,3)和点(3,0)
22、， = 3 9 + 3 + = 0， 解得 = 2 = 3， 抛物线的函数表达式是 = 2+ 2 + 3； 设直线 AB： = + ， 根据题意，得 = 3 3 + = 0， 解得 = 1, = 3, 直线 AB 的函数表达式是 = + 3； (2)设点 P横坐标为 a，则点 P 的坐标为(,2+ 2 + 3)， 如图，过点 P 作 轴于点 M，连接 OP， 则 = 2+ 2 + 3， 又 = 3， = 3， = ， = + = 3 2 2 + 9 2 = 3 2( 3 2) 2 + 27 8 ， 该抛物线开口向下， 当 = 3 2时，S有最大值，最大值为 27 8 ， 即 的面积最大值为27
23、 8 ， 17. 解：(1) = 1 2 2 + + 4 = 1 2( 1) 2 + 9 2， 顶点 M 的坐标为(1, 9 2)， 当 = 1时， = 1 + 4 = 3， 点 N 的坐标为(1,3)；.4分 不存在 理由如下： = 9 2 3 = 3 2， 设点 P 的坐标为(, + 4)， 则(, 1 2 2 + + 4)， 第 16 页，共 21 页 = 1 2 2 + + 4 ( + 4) = 1 2 2 + 2， / 当 = 时，四边形 MNPD 为平行四边形，即 1 2 2 + 2 = 3 2，解得： = 1或 3( = 1舍去)， 点(3,1)，由(1,3)， = (3 1)2
24、+ (3 1)2= 22 ， 平行四边形 MNPD 不是菱形，即：不存在点 P，使四边形 MNPD为菱形； (2)当 = 90时，点(2,2)，则四边形 BOCD 为矩形， (2,4)，又(4,0)，(0,4)， 抛物线的表达式为： = 1 2 2 + + 4； 当 = 90时， 为等腰直角三角形，则 = 2 = 4， (2,6)，又(4,0)，(0,4)， 把 A、B、D 坐标代入二次函数表达式得： 16 + 4 + = 0 = 4 4 + 2 + = 6 ，解得： = 1 = 3 = 4 , 故：二次函数表达式为： = 2+ 3 + 4 18. 解：(1)设抛物线的解析式为 = 2+ +
25、( 0)， (1,0)， (5,0)， (0, 5 2)三点在抛物线上， + = 0 25 + 5 + = 0 = 5 2 ， 解得 = 1 2 = 2 = 5 2 抛物线的解析式为： = 1 2 2 2 5 2； (2) 抛物线的解析式为： = 1 2 2 2 5 2， 其对称轴为直线 = 2 = ;2 21 2 = 2， 连接 BC，如图 1 所示， 第 17 页，共 21 页 (5,0)，(0, 5 2)， 设直线 BC的解析式为 = + ( 0)， 5 + = 0 = 5 2 ， 解得 = 1 2 = 5 2 ， 直线 BC 的解析式为 = 1 2 5 2， 当 = 2时， = 1 5
26、 2 = 3 2， (2, 3 2)； (3)存在 如图 2 所示， 当点 N在 x轴下方时， 抛物线的对称轴为直线 = 2，(0, 5 2)， 1(4, 5 2)； 当点 N在 x轴上方时， 如图，过点2作2 轴于点 D， 在 2与 2中， 2 = 2 2= 2 2 = 2 2 2()， 2 = = 5 2，即2点的纵坐标为 5 2 1 2 2 2 5 2 = 5 2， 解得 = 2 + 14或 = 2 14， 2(2 + 14, 5 2)，3(2 14, 5 2). 第 18 页，共 21 页 综上所述，符合条件的点 N的坐标为(4, 5 2)，(2 + 14, 5 2)或(2 14, 5
27、 2). 19. 解：(1)当 = 1时， = 1 + 8 = 7，即 = 7，D点坐标为(1,7) 当 = 7时，2+ 8 = 7， 解得1= 1，2= 7， 即 = 7 1 = 6， 矩形 ABCD的周长= 2( + ) = 2(7 + 6) = 26； (2)把 = 代入抛物线 = 2+ 8中，得 = 2+ 8 把 = 2+ 8代入抛物线 = 2+ 8中，得 2+ 8 = 2+ 8 解得1= ，2= 8 的横坐标是8 ，故 AB= 8 = 8 2 矩形的周长是 = 2(2+ 8) + 2(8 2) 即 = 22+ 12 + 16 化简，得 = 2+ 6 + 8， (3) = 2+ 6 +
28、 8化为顶点式，得 = ( 3)2+ 17 (0 0 , 解得 = 6 所以抛物线的函数表达式为 = 2 4 + 4 (2) 过 C 作抛物线的对称轴，交直线 AB： = + 2于点 D， 由 = 2 4 + 4得抛物线的对称轴是直线 + 2，则(2,4)， = 4 则(2,12) 连接 AE，BE，则 = 2 ， 过点(2,12)作直线: = + 2的平行线交抛物线于点12， 此时满足 = = 2 ， 设直线12的函数表达式为 = + ， 因为(2,12)在直线12上， 所以2 + = 12， 所以 = 10， 所以直线12的函数表达式为 = + 10 联立 = + 10 = 2 4 + 4
29、,得 2 5 6 = 0， 解得1 = 1 1= 9 ,2 = 6 2= 16, 综上，满足条件的 h 点 P的坐标为：1(1,9)，2(6,16) (3)设(1,1)，(2,2) 显然 90 第 20 页，共 21 页 如图，若 = 90，过作/轴， 于 M， 于 N 因为直线的表达式为 = + ， 所以 = 45， 进一步可得到 ， 都是等腰直角三角形 所以 = ， 所以2+ 1 = 9 2，即2+ 2= 8， 又因为2= 2+ 1， 联立 将点(4 1 2,4 + 1 2)代入二次函数表达式，得4 + 1 2 = (4 1 2 2) 2， 解得1 = 0，2 = 10(此时与 P重合，舍
30、去) 如图，若 = 90，过 P作/轴， 于 E， 于 F， 则 ，所以 = , 所以 1:1 9;1 = 2;9 2:1,12 + (1+ 2) + 1 = 9(1+ 2) 12 81， 令2 4 + 4 = + ，即2 5 + 4 = 0， 则1+ 2= 5，12= 4 ， 第 21 页，共 21 页 1+ 2= (1+ )(2+ ) = 1+ 2+ 2 = 5 + 2， 12= (1+ )(2+ ) = 2+ 4 + 4， 所以(4 ) + 5 + 1 = 9(5 + 2) (2+ 4 + 4) 81， 整理得2 15 50 = 0 解得1= 5，2= 10(此时与 P重合，舍去) 综上，t的值为 0或 5
