1、角平分线角平分线(1)一一 学习新知学习新知 你能利用折纸的方法得到角平分线及角平分你能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点的性质吗线上的点的性质吗?你还记得角平分线上的点有什么性质吗你还记得角平分线上的点有什么性质吗?角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等.你能证明这一结论吗你能证明这一结论吗?结合我们前面学习的定理的证明方法，你能结合我们前面学习的定理的证明方法，你能 写出这个性质的证明过程吗？写出这个性质的证明过程吗？:如图如图,OC,OC是是AOBAOB的平分线的平分线,P,P是是OCOC上任意上任意一点一点,PDOA,PEOB,PDOA,PEO
2、B,垂足分别是垂足分别是D,E.D,E.求证求证:PD=PE.:PD=PE.分析分析:要证明要证明PD=PE,PD=PE,只要只要证明它们所在证明它们所在OPDOPDOPEOPE而而OPDOPDOPEOPE的条件由易的条件由易知它满足公理知它满足公理(AAS).(AAS).故结论可证故结论可证.老师期望老师期望:你能写出标准的证明过你能写出标准的证明过程程.C CB B1 1A A2 2P PD DE EO O 证明：证明：OCOC是是AOBAOB的平分线的平分线 1=21=2 PDOA,PEOB PDOA,PEOB PDO=PEO PDO=PEO OP=OP OP=OP OPDOPDOPE(
3、AAS).OPE(AAS).PD=PE PD=PE 几何语言表示：几何语言表示：定理定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等.老师提示老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一相等的根据之一.如图如图,OCOC是是AOBAOB的平分线的平分线,P,P是是OCOC上任意一点上任意一点,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E()D,E()PD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这角平分线上的点到这个角的两边距离相等个角的两边距离相等).).C CB B1 1A A2 2P PD DE EO
4、O思考分析 你能写出你能写出“定理定理 角平分线上角平分线上的点到这个角的两边距离相等的点到这个角的两边距离相等的逆命题吗的逆命题吗?逆命题逆命题 在一个角的内部在一个角的内部,且到角的两边距离相等的且到角的两边距离相等的点点,在这个角的平分线上在这个角的平分线上.它是真命题吗它是真命题吗?如果是如果是.请你证明它请你证明它.:如图如图 所示所示,PD=PE,PDOA,PD=PE,PDOA,PEOB,PEOB,垂足分别垂足分别 是是D,E.D,E.求证求证:点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上.分析分析:要证明点要证明点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上,可以先作可以先作出过
5、点出过点P P的射线的射线OC,OC,然后证明然后证明POD=POE.POD=POE.B BA AC CD DE EO OP P证明：证明：PDPDOA PEOA PEOBOB P PODOD和和B BPOEPOE都是都是RtRt PD=PE,OP=OPPD=PE,OP=OP RtRtPODPODRtRtPOE(HL)POE(HL)POD=POE POD=POE OCOC是是AOBAOB的平分线的平分线 逆定理逆定理 在一个角的内部在一个角的内部,且到角的两边距离且到角的两边距离 相等的点相等的点,在这个角的平分线上在这个角的平分线上.如图如图,PD=PE,PDOA,PEOB,PD=PE,PD
6、OA,PEOB,垂足分垂足分别是别是D,E(),D,E(),点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上.(.(在一在一个角的内部个角的内部,且到角的两边距离相且到角的两边距离相等的点等的点,在这个角的平分线上在这个角的平分线上).).老师提示老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线这个结论又是经常用来证明点在直线上上(或直线经过某一点或直线经过某一点)的根据之一的根据之一.C CB B1 1A A2 2P PD DE EO O:AOB,:AOB,如图如图.求作求作:射线射线OC,OC,使使AOC=BOC.AOC=BOC.用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线.1.1.在在OAOA和和OBO
7、B上分别截取上分别截取OD,OE,OD,OE,使使OD=OEOD=OE.2.2.分别以点分别以点D D和和E E为圆心为圆心,以大于以大于 长为半径长为半径 作弧作弧,两弧在两弧在AOBAOB内交于点内交于点C.C.那么射线那么射线OCOC就是就是AOBAOB的平分线的平分线.ABOCDE作法作法:2DE 对照图形请你对照图形请你说明说明OCOC为什么是为什么是AOBAOB的平分线的平分线,并与同伴进行交并与同伴进行交流流.老师提示老师提示:作角平分线是最根本的尺作角平分线是最根本的尺规作图规作图,这种方法要确实掌握这种方法要确实掌握.ABOCDE 二二 挑战自我挑战自我 1.1.如图如图,A
8、D,AE,AD,AE分别是分别是ABCABC中中A A的内角平的内角平 分线和外角平分线分线和外角平分线,它们有什么关系它们有什么关系?老师期望老师期望:你能说出结论并能证明它你能说出结论并能证明它.EDABCF 2.2.如图如图,一目标在一目标在A A区区,到公路到公路,铁路距离铁路距离相等相等,离公路与铁路的交叉处离公路与铁路的交叉处500m.500m.在图上标在图上标出它的位置出它的位置(比例尺比例尺 1:20 000).1:20 000).A区 3.3.如图如图,求作一点求作一点P,P,使使PC=PD,PC=PD,并且点并且点P P到到AOBAOB的两边的距离相等的两边的距离相等.CD
9、ABO 4.:4.:如图如图,在在ABCABC中中,AD,AD是它的角平分是它的角平分线线,且且BD=CD,DEAB,DFAC,BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是垂足分别是E,F.E,F.求证求证:EB=FC.:EB=FC.BAEDCF证明证明:AD AD是是ABCABC的角平分线的角平分线 且且DEAB,DFACDEAB,DFAC DE=DF DE=DF BD=CDBD=CD RtRtBDEBDERtRtCDF(HL)CDF(HL)EB=EC EB=EC 5.如图如图,在在ABC中中,AC=BC,C=900,AD是是ABC的角平线的角平线,DEAB,垂足为垂足为E.老师期望老师期望:
10、你能正确地解答并标准地写出过你能正确地解答并标准地写出过程程.(1)如果如果CD=4cm,求求AC的长的长;(2)求证求证:AB=AC+CD.EDABC解解1 AD是是ABC的角平线的角平线,DEAB,DCAC,DE=CD=4cm AC=BC B=BAC(等边对等角等边对等角)C=90 B=45 BDE=90-45=45BE=DE 在等腰直角三角形在等腰直角三角形BDE中中cmBDCDBCACcmDEBD)244(24222 2证明：由证明：由1的求解过程可知，的求解过程可知，RtACD RtAED(HL)AC=AE.BE=DE=CD,AB=AE+BE=AC+CD 四四 深入探索深入探索，如图
11、，如图ABCABC中，中，ACBACB的平分线交的平分线交ABAB于于E E，ACBACB的补角的补角ACDACD的平分线为的平分线为CGCG，EGBCEGBC交交ACAC于于F F，EFEF会与会与FGFG相等吗？为什么？相等吗？为什么？A AB BC CD DE EF FG G证明：证明：EGEG为为ACBACB的平分线的平分线 BCE=ACEBCE=ACE CG CG为为ACDACD的平分线的平分线 DCG=FCGDCG=FCG EGBC EGBC FEC=BCE,FGC=GCD FEC=BCE,FGC=GCD 从而从而ACE=FECACE=FEC，FGC=FCGFGC=FCG EF=F
12、C,FC=FG EF=FC,FC=FG 从而从而EF=FGEF=FG 五五 回忆与小结回忆与小结定理定理 角平分线上的点到这个角平分线上的点到这个角的两边距离相等角的两边距离相等.OCOC是是AOBAOB的平分线的平分线,P,P是是OCOC上任意一上任意一点点,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分垂足分别是别是D,E()D,E()PD=PE(PD=PE(角平分线上的点到角平分线上的点到这个角的两边距离相等这个角的两边距离相等).).C CB B1 1A A2 2P PD DE EO O逆定理逆定理 在一个角的内部在一个角的内部,且且到角的两边距离相等的点到角的两边距离相等的点,在在这
13、个角的平分线上这个角的平分线上.PD=PE,PDOA,PEOB,PD=PE,PDOA,PEOB,垂垂足分别是足分别是D,E(),D,E(),点点P P在在AOBAOB的平分线的平分线上上.(.(在一个角的内部在一个角的内部,且到角且到角的两边距离相等的点的两边距离相等的点,在这个在这个 角的平分线上角的平分线上).).C CB B1 1A A2 2P PD DE EO O邻补角的角平分邻补角的角平分线之间的关系线之间的关系.用尺规作角的用尺规作角的平分线平分线.作法作法ABOCDEA AB BO OE EC CD D独立独立作业作业习题习题1.8 1,31.8 1,3题题.祝你成功！祝你成功！
14、结束寄语结束寄语 严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的标准性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原那么.记录的是某一种股票上市以来的每天的价格变动情况.K K线图线图心电图心电图 记录的是心脏本身的生物电记录的是心脏本身的生物电在每一心动周期中发生的电变化在每一心动周期中发生的电变化情况情况.n函数是刻画变量之间的关系的常用模型，函数是刻画变量之间的关系的常用模型，其中最为简单的是一次函数。什么是函数？其中最为简单的是一次函数。什么是函数？他对应的图像有什么特点？用函数能解决他对应的图像有什么特点？用函数能解决现实生活中的那些问题？现实生活中的那些问题？n你想了解
15、这些吗？你想了解这些吗？n让我们一起来走进函数世界吧！让我们一起来走进函数世界吧！1.1.函数函数你去过游乐园吗？你去过游乐园吗？你坐过摩天轮吗？你坐过摩天轮吗？问题问题1 1你能你能描述描述一下一下坐摩坐摩天轮天轮的感的感觉吗？觉吗？n当人坐在摩天轮上时，人的高度随时间在变化，那么变化有规律吗？摩天轮上一点的摩天轮上一点的高度高度h h与旋转时与旋转时间间t t之间有一定之间有一定的关系，右图就的关系，右图就反映了时间反映了时间t(t(分分与摩天轮上一点与摩天轮上一点的高度的高度h h米米)之之间的关系间的关系.你能从上图观察出，有几个变化的量吗？当你能从上图观察出，有几个变化的量吗？当t
16、t分别分别取取3 3，6 6，1010时，相应的时，相应的h h是多少？是多少？给定一个给定一个t t值，你都能找到相应的值，你都能找到相应的h h值吗？值吗？问题问题2 在平整的路面上，某型号汽车在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行紧急刹车后仍将滑行S米，一般地有经米，一般地有经验公式验公式 ，其中，其中v表示刹车前汽车表示刹车前汽车的速度单位：千米的速度单位：千米/时时.1公式中有几个变化的量？计算当v分别为50，60，100时，相应的滑行距离s是多少？2300vs 2 2给定一个给定一个v v值，你都能求出相应的值，你都能求出相应的s s值吗？值吗？问题问题3 如图，搭一个正方形
17、需要4根火柴棒，按图中方式，动手做一做，完成下表：表格中有几个变量？按图中方式搭表格中有几个变量？按图中方式搭100100个正方形，需要多少根火柴棒个正方形，需要多少根火柴棒?假设搭假设搭n n个正方形，需要多少根火柴棒个正方形，需要多少根火柴棒?正方形个数 12345n火柴棒根数 4 47 71010131316163n+13n+1 在上面的问题中，都有两个变量，在上面的问题中，都有两个变量，给定其中一个变量自变量的值，相应给定其中一个变量自变量的值，相应地就确定了另一个变量因变量的值地就确定了另一个变量因变量的值.一般地，在某个变化过程中，有两个变量一般地，在某个变化过程中，有两个变量x
18、x和和y y，如果给定一个，如果给定一个x x值，相应地就确定了一个值，相应地就确定了一个y y值，那么我们称值，那么我们称y y是是x x的函数，其中的函数，其中x x是自变量，是自变量，y y是因变量是因变量.以上三个问题有什么共同点吗？以上三个问题有什么共同点吗？关键词：两个变量关键词：两个变量 ,一个一个x x值确定一个值确定一个y y值值议一议n在上面我们研究了三个问题，在这三个问题中有哪些共同点？又有哪些不同点？相同点：相同点：都研究了两个变量，并且其中一个都研究了两个变量，并且其中一个变量是另一个变量的函数变量是另一个变量的函数.不同点：不同点：在第一个问题中，是以图象的形式表在
19、第一个问题中，是以图象的形式表示两个变量之间的关系，第二个问题中是以代示两个变量之间的关系，第二个问题中是以代数表达式的形式表示两个变量之间的关系，第数表达式的形式表示两个变量之间的关系，第三个问题是以表格的形式表示两个变量之间的三个问题是以表格的形式表示两个变量之间的关系关系.函数常用的三种表示方法：函数常用的三种表示方法：1 1图象法图象法 2 2列表法列表法 3 3解析解析法法指出以下关系式中的变量与常量指出以下关系式中的变量与常量1 1球的外表积球的外表积cm2cm2与球半径与球半径cm)cm)的关系式是的关系式是R2R22 2以固定的速度以固定的速度V0V0米秒向上抛一个球，小球的高
20、米秒向上抛一个球，小球的高度米与小球运动的时间秒之间的关系式是度米与小球运动的时间秒之间的关系式是V0t-V0t-.t2t2常量与变量的概念：常量与变量的概念：常量：常量：在某一变化过程中在某一变化过程中,始终保持不变的量始终保持不变的量变量：变量：在某一变化过程中在某一变化过程中,可以取不同数值的量可以取不同数值的量例例3 3以下各式中，都是自变量，那么是不是以下各式中，都是自变量，那么是不是的函数，为什么？的函数，为什么？.x2 +3 .y2 小明骑车从家到学校速度是15千米/时，你能表示出他走过的路程s与时间t之间的变化关系吗？s st t0 0S=15tS=15t 路程路程s s随时间
21、随时间t t的变化的变化的图象是什么？的图象是什么？S S是是t t的函数吗？的函数吗？S S是是t t的函数的函数n如果A，B间路程为200千米，一辆汽车从A地到B地行驶的速度v与行驶时间t是怎样的变化关系？v vt t0 0速度速度v v随时间随时间t t的变化的的变化的图象是什么？图象是什么？V V是是t t的函数吗？的函数吗？200vtV V是是t t的函数的函数 假设正方形的边长为x,那么面积y与边长x之间的关系是什么？面积面积y y随边长随边长x x的变化的图象的变化的图象是什么？是什么？y yx xo o面积问题面积问题y=xy=x2 2x xy y是是x x的函数吗？的函数吗？y y是是x x的函数的函数
