1、 1 2017-2018 学年北京师大附中高一（下）期中数学试卷 一 、 选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 若 ，下列命题为真命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 分析：根据不等式的基本性质，及函数的单调性，判断四个答案的真假，可得结论 . 详解 ： ， ， 故 A 错误 ； ， 故 B 错误 ； ， 故 C 正确 ； ， 即 ， 故 D 错误 . 故选 ： C. 点睛：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式的基 本性质，属于基础题 . 2. 在 内角 ， ， 的对边分别是 ，
2、， ，已知 ， ， ，则 的大小为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】 D 【解析】 分析：利用正弦定理即可得出 . 详解：由正弦定理可得： ， 解得 ， ， 为锐角， . 故选 ： D. 点睛 ： 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用 ， 属于基础题 . 3. 在 中，若 ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2 【答案】 B 【解析】 分析：直接利用余弦定理即可计算 . 详解 ： ， ， . 故选 ： B. 点睛 ： 本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用 ， 属于基础题 . 4. 等比数列 中， ， ， 的前 项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B
3、【解析】 分析：根据等比数列的性质可知 ， 列出方程即可求出 的值，利用 即可求出的值，然后利用等比数列的首项和公比，根据等比数列的前 n 项和的公式即可求出 的前 项和 . 详解： ，解得 ， 又 ，则等比数列 的前 项和 . 故选 ： B. 点睛 ： 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本 问题，数列中有五个量 a1， n， q， an，Sn， 一般可以 “ 知三求二 ” ，通过列方程 (组 )可迎刃而解 5. 不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】试题分析：不等式 等价于 解得 ，所以选 A. 考点：分式不等式的解法 . 视频 6. 等比数列 的前 项
4、和为 ，已知 ， ，则 （ ） 3 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 由题意可知， ， ，解得： ， ，求得 ，故选 C. 7. 已知变量 ， 满足约 束条件 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】试题分析：根据题意，约束条件表示的可行域为以 三点为顶点的三角形区域，通过观察可知目标函数 在点 处取得最大值，代入可求得为 ，故选 B 考点：线性规划 8. 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 、 、 成等比数列，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 分析：由 、 、 成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再将
5、代入，即可用 表示出 ，然后利用余弦定理表示出 ，将表示出的 和代入，整理后即可得到 的值 . 4 详解：根据题意， 、 、 成等比数列，则 ， 又 ，则 ， 则 . 故选： B. 点睛：本题考查了余弦定理，以及等比数列的性质，解题的关键是求出 、 、 的关系，进而运用余弦定理求解 . 9. 数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，那么使前 项和 最大的 值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 分析：由等差数列 是首项为 ，公差为 写出通项公式，由通项大于等于 0 求出等差数列前 6 项大于 0， 从第 7 项起小于 0，则答案可求 . 详解 ： 在等差数列 是首项为 ，公差
6、为 得： ， 由 ，得 ， 等差数列 中 ， ， 当 时 ， 前 项和 最大 . 故选： C. 点睛：本题考查了数列的函数特性，考查了等差数列的通项公式和前 n 项和，是基础的计算题 . 10. 某企业为节能减排，用 万元购进一台新设备用于生产第一年需运营费用 万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加 万元，该设备每年生产的收入均为 万元设该设备使用了 年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 分析：根据题意建立等差数列模型，利用等差数列的性质以及求和公式即可得到结论 . 详解 ： 设该设备第 n 年的营运费为
7、万元 ， 则数列 是以 2 为首项， 2 为公差的等差数列，则 ， 则该设备使用 n 年的营运费用总和为 ， 5 设第 n 年的盈利总额为 ， 则 ， 年平均盈利额 ， 当 时，年平均盈利额取得最大值 4. 故选 ： D. 二 、 填空题（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分） 11. 数列 的前 项和为 ，若 ，则 _ 【答案】 【解析】 试题分析： ，所以 考点：数列求和 12. 已知 中， ， ， ，则 等于 _ 【答案】 【解析】 分析：画出图形，利用已知条件直接求出 AC 的距离借口 . 详解 ： 由题意 ， ， ， 可知 ， 三角形 ABC 是直角三角形， . 故答案
8、为： 2. 6 点睛：本题考查三角形形状的判断，勾股定理的应用，考查计算能力 ， 属于基础题 . 13. 若 ，则 的最小值是 _ 【答案】 【解析】试题分析：因为 ，所以 ， ，当且仅当 时取等号，故答案为 考点：基本不等式 14. 等比数列 的各项均为正数，且 ，则_ 【答案】 【解析】 分析：利用等比中项，对数性质可知 ， 进而计算可得答案 . 详解 ： 为等比数列 ， 又 . ， . 故答案为： 10. 点睛 ： 本题考查等比数列的等比中项及对数的运算法则，注意解题方法的积累，属于中档题 . 15. 在 中，若 ，则 的形状为 _ 【答案】 等腰三角形或直角三角形 7 【解析】 分析：
9、左边利用正弦定理，右边切变弦，对原式进行化简整理进而可得 A 和 B 的关系，从而得到答案 . 详解 ： 原式 可化为 ， 或 解得 或 . 故 的形状为等腰三角形或直角三角形 . 故答案为：等腰三角形或直角三角形 . 点睛 ： (1)三角形的形状按边分类主要有：等腰三角形，等边三角形等；按角分类主要有：直角三角形，锐角三角形，钝角三角形等判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意 “ 等腰直角三角形 ” 与 “ 等腰三角形或直角三角形 ” 的区别 (2)边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理 16. 已
10、知数列 的前 项的和为 ， ， ，满足 ，则 _ 【答案】 【解析】 分析：由 ， 得 ， 即， 则 ， 说明数列 是以 2 为公差的等差数列，求其通项公式，然后利用累加法求出 的通项公式得答案 . 详解：由 ， 得 ， 即 ， 则 ， 数列 是以 为首项，以 2 为公差的等差数列， 则 ， ； ； ； ? 8 ， 累加得： ， 则 ， . 故答案为： . 点睛 ： 本题考查数列递推式，考查等差关系的确定，训练了累加法求数列的通项公式，把已知数列递推式变形是关键，是中档题 . 三 、 解答题：本大题共 3 小题，共 36 分，解答应写出文字说明，证明过程 或演算步骤 17. 解关于 的不等式
11、【答案】 当 时 ， 为 或 ； 当 时，为 或 【解析】 分析：对 a 分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可得出 . 详解：不等式 对应方程的实数根为和 ； 当 ，即 时，不等式化为 ， ， 不等式的解集为 ； 当 ，即 时，解得 或 ， 不等式的解集为 或 ； 当 ，即 时，解得 或 ， 不等式的解集为 或 综上，当 时，不等式的解集为 ； 当 时，不等式的解集为 或 ； 当 时，不等式的解集为 或 点睛：含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行 分类讨论 (1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行
12、分类讨论； (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集 18. 在 中， ， ，点 在 上，且 ， 9 （ I）求 ； （ ）求 ， 的长 【答案】（ I） ；（ ） ， . 【解析】 分析：（ 1）由 和诱导公式求出 ， 由平方关系求出 ，由内角和定理、两角和的正弦公式求出 ； （ 2）在 中由正弦定理求出 BD、 AD，在 中由余弦定理求出 AC 的值 . 详解 ：（ I） ，且 ， ， ， 由 得， ； （ ）在 中，由正弦定理得 ， ， 由正
13、弦定理得 ， ， 在 中，由余弦定理得 ， 10 点睛：应熟练掌握和运用内角和定理： ， 中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数 19. 在等差数列 中， ，其前 项和为 ，等比数列 的各项均为正数， ，公比为 ，且 ， （ I）求 与 ； （ II）设数 列 满足 ，求 的前 项和 【答案】（ I） ， ；（ ） . 【解析】 分析： （ 1） 根据 ， 列方程组计算 和 ， 从而得出 的公差，从而得出 ，的通项公式； （ 2）使用错位相减法求出 . 详解： （ I） 为等比数列，公比为 ， ， ， ，解得 ， ， 的公差为 ， （ II） ， ， 得： 点睛： (1)错位相减法是求解由等差数列 bn和等比数列 cn对应项之积组成的数列 an， 即an bn cn的前 n 项和的方法这种方法运算量较大 ，要重视解题过程的训练 (2)注意错位相减法中等比数列求和公式的应用范围 四 、 填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分） 20. 已知数列 满足 ，且 ，则 _ 【答案】
