1、线段的垂直平分线本课内容本节内容观察观察 如图如图，人字形屋顶的框架中，点人字形屋顶的框架中，点A与点与点A关关于线段于线段CD所在的直线所在的直线l 对称对称，问，问线段线段CD所在的直所在的直线线l 与线段与线段AA有什么关系有什么关系？我发现我发现AD=A D lAA.,我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到下图我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到下图.已知点已知点A与点与点A关于直线关于直线l 对称，如果沿直线对称，如果沿直线l折叠，折叠，则点则点A与点与点A重合，重合，AD=AD，1=2=90，即直线，即直线l 既平分线段既平分线段AA，又垂直线段，又垂直线段AA.lAAD21(A
2、)我们把垂直且平分一条线段的直线叫我们把垂直且平分一条线段的直线叫作作这条这条线段的线段的垂直平分线垂直平分线.由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴分线是它的对称轴.如图，在线段如图，在线段AB的垂直平分线的垂直平分线l 上任上任取一点取一点P，连接，连接PA，PB，线段，线段PA，PB之之间有什么关系间有什么关系？探究探究探究探究 作关于直线作关于直线l 的轴反射的轴反射（即沿直线即沿直线l 对折对折），由于，由于l 是线段是线段AB的垂直平分线，因此点的垂直平分线，因此点A与点与点B重合重合.从从而线段而线段PA与线段与线段PB重
3、合，于是重合，于是PA=PB.(A)(B)BAPl结论结论 线段垂直平分线上的点到线段两端线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的距离相等.由此得出线段垂直平分线的性质定理：由此得出线段垂直平分线的性质定理：动脑筋动脑筋 我们知道线段垂直平分线上的点到线段两我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果已知一点端的距离相等，反过来，如果已知一点P到线段到线段AB两端的距离两端的距离PA与与PB相等，那么点相等，那么点P在线段在线段AB的垂直平分线上吗的垂直平分线上吗？（1）当点当点P在线段在线段AB上时，上时，因为因为PA=PB，所以点所以点P为线段为线段AB的中点，的中点，
4、显然此时点显然此时点P在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上.（2）当点当点P在线段在线段AB外时，如下图所示外时，如下图所示.因为因为PA=PB，所以所以PAB是等腰三角形是等腰三角形.过顶点过顶点P作作PCAB，垂足为点，垂足为点C，从而底边从而底边AB上的高上的高PC也是底边也是底边AB上的中线上的中线.即即 PCAB，且，且AC=BC.因此直线因此直线PC是线段是线段AB的垂直平分线，的垂直平分线，此时点此时点P也在线段也在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上.结论结论 到线段两端距离相等的点在线段的垂到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上直平分线上.由此得到线段垂直平分线的
5、性质定理的逆定理：由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理：例例 已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB，BC的垂直平的垂直平 分线相交于点分线相交于点O，连接，连接OA，OB，OC.求证：点求证：点O在在AC的垂直平分线上的垂直平分线上.举举例例证明证明 点点O在线段在线段AB的垂直平分线上，的垂直平分线上，OA=OB.同理同理OB=OC.OA=OC.点点O在在AC的垂直平分线上的垂直平分线上.练习练习1.如图，在如图，在ABC中，中，AB的垂直平分线分别交的垂直平分线分别交 AB，BC于点于点D，E，B=30，BAC=80，求求CAE的度数的度数.答：答：CAE=50.2.已知：如
6、图，点已知：如图，点C，D是线段是线段AB外的两点，且外的两点，且 AC=BC，AD=BD，AB与与CD相交于点相交于点O.求证：求证：AO=BO.证明：证明：AC=BC，AD=BD，点点C和点和点D在线段在线段AB的垂直平分线上，的垂直平分线上，CD为线段为线段AB的垂直平分线的垂直平分线.又又 AB与与CD相交于点相交于点OAO=BO.做一做做一做如图，已知线段如图，已知线段AB，作线段，作线段AB的垂直平分线的垂直平分线.根据根据“到线段两端距离相等到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上的点在线段的垂直平分线上”，要作线段要作线段AB的垂直平分线，关键的垂直平分线，关键是找出到线段是
7、找出到线段AB两端距离相等的两端距离相等的两点两点.因为线段因为线段AB的垂直平分线的垂直平分线CD与线段与线段AB的的交点就是线段交点就是线段AB的中点，所以可以用这种方法的中点，所以可以用这种方法作出线段的中点作出线段的中点.动脑筋动脑筋如何过一点如何过一点P作已知直线作已知直线l的垂线呢的垂线呢？由于两点确定一条直线，由于两点确定一条直线，因此我们可以通过在已知直线因此我们可以通过在已知直线上作线段的垂直平分线来找出上作线段的垂直平分线来找出垂线上的另一点，从而确定已垂线上的另一点，从而确定已知直线的垂线知直线的垂线.用尺规完成下列作图用尺规完成下列作图（只保留作图痕迹，不要只保留作图痕
8、迹，不要求写出作法求写出作法）.1.如图，在直线如图，在直线l上求作一点上求作一点P，使，使PA=PB.练习练习2.如图，作出如图，作出ABC的的BC边上的高边上的高.如图，在如图，在ABC中，中，BC=8cm，AB的垂直的垂直平分线交平分线交AB于点于点D，交边，交边AC于点于点E，BCE的周长等于的周长等于18cm，则，则AC的长等于（的长等于（）.中考中考 试题试题例例解析解析DE是是AB的垂直平分线，的垂直平分线，AE=BE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等).).又又在在BCE中，中，BE+CE+BC=18cm，BC=8cm，BE+
9、CE=10cm.AC=AE+CE=BE+CE=10cm.故应选择故应选择C.C结结 束束1.2.3 绝 对 值观 察24 上图中，单位长度为上图中，单位长度为1米，那么米，那么小黄狗小黄狗、大白兔大白兔、小灰狗小灰狗分别距分别距离原点多远？离原点多远？赶快思考啊！-3-2-10123聪明的同学们一眼就可以看出来了吧。聪明的同学们一眼就可以看出来了吧。小黄狗距离原点小黄狗距离原点3 3米米 大白兔距离原点大白兔距离原点2 2米米 小灰狗距离原点小灰狗距离原点3 3米米 在数轴上，表示一个数的点与原点的在数轴上，表示一个数的点与原点的距距 离叫做该数的离叫做该数的绝对值（绝对值（absolute
10、value)。抽象抽象总结总结你能明白吗？想一想 互为相反数的两个数的绝对值有什么关系？一对相反数虽然分别在原点两边，一对相反数虽然分别在原点两边，但但它们到原点的距离是它们到原点的距离是相等相等的的.一个数一个数a的绝对值就是数轴上表示数的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离的点与原点的距离.一个数的绝对值就是在这个数的两旁各画一条一个数的绝对值就是在这个数的两旁各画一条竖线，竖线，如如+2的绝对值等于的绝对值等于2，记作，记作|+2|2。数数a的绝对值记作的绝对值记作|a|.如图，在数轴上表示如图，在数轴上表示5的点与原点的距离是的点与原点的距离是5，即即5的绝对值是的绝对值是5，记作
11、，记作|5|5.议一议议一议 一个数的绝对值与这个数有什一个数的绝对值与这个数有什么关系？么关系？例如：例如：|3|3，|7|7一个正数的绝对值是它本身；一个正数的绝对值是它本身；例如：例如：|3|3，|2.3|2.3一个负数的绝对值是它的相反数；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是的绝对值是0.因为正数可用因为正数可用a0表示，负数可用表示，负数可用a0表示，所以上述三条可表述成：表示，所以上述三条可表述成：(1)如果如果a0，那么，那么|a|a (2)如果如果a0，那么，那么|a|a (3)如果如果a0，那么，那么|a|0 10、8两数中，哪个数大？它们的绝对值呢？两数中，哪个数大？
12、它们的绝对值呢？表示表示10的点的点A比表示比表示8的点的点B离开原点比较离开原点比较远远.显然显然|10|8|因为点因为点A在点在点B的左边，所以的左边，所以108.由此得出结论：由此得出结论：两个负数比较大小，两个负数比较大小，绝对值绝对值大大的反而的反而小小.一个数的绝对值大于或等于一个数的绝对值大于或等于0.1比较下列各组数的大小：比较下列各组数的大小：(1)1和和5 (2)和和27 做一做（1）在数轴上表示下列各数，并比较它）在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小：们的大小：-15，-3，-1，-5；（2）求出（）求出（1）中各数的绝对值，并比）中各数的绝对值，并比较它们的大小；较它
13、们的大小；（3）你发现了什么？）你发现了什么？判断：判断：(1)若一个数的绝对值是若一个数的绝对值是 2 ，则这个数则这个数是是2；(2)|5|5|；(3)|0.3|0.3|；(4)|3|0；(5)|1.4|0；(6)有理数的绝对值一定是正数；有理数的绝对值一定是正数；(7)若若ab，则，则|a|b|；(8)若若|a|b|，则，则ab；(9)若若|a|a，则，则a必为负数；必为负数；(10)互为相反数的两个数的绝对值相等；互为相反数的两个数的绝对值相等；(1)绝对值是绝对值是7的数有几个？各是什么？有没有的数有几个？各是什么？有没有 绝对值是绝对值是2的数的数 (2)绝对值是绝对值是0的数有几
14、个？各是什么的数有几个？各是什么 （3）绝对值小于）绝对值小于3的数是否都小于绝对值小于的数是否都小于绝对值小于5的的数？数？（4）绝对值小于）绝对值小于10的整数一共有多少个？的整数一共有多少个？(1)求绝对值不大于2的整数；(2)已知x是整数，且|x|7，求x 2、已知有理数已知有理数a在数轴上对应的点如图在数轴上对应的点如图所示：则则|a|=_ 4、如果如果a 的相反数是的相反数是-，那么，那么|a|=_ 3.如果一个数的绝对值等于如果一个数的绝对值等于3.25，则这个数是，则这个数是_ 5.如果如果|x-1|=2，则，则x=_练习一:2.2.比较大小：比较大小：55 88-0.05 0
15、；-3 1；1.1.绝对值等于绝对值等于6 6的数有的数有 绝对值是绝对值是0 0的数是的数是 。-6 和和 +603.判断（对的打“”，错的打“”）：（1）一个有理数的绝对值一定是正数。）一个有理数的绝对值一定是正数。()（2）1.40，则，则1.40。()（3）32的相反数是的相反数是32 ()（4）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数如果两个数的绝对值相等，那么这两个数 相等相等 ()（5）互为相反数的两个数的绝对值相等互为相反数的两个数的绝对值相等 ()0abc则则a c,b c4.4.已知有三个数已知有三个数a、b、c在数轴上的在数轴上的位置如下图所示位置如下图所示则则a、b、c三个
16、数从小到大的顺序是：三个数从小到大的顺序是：C b a5.5.足球比赛中对所用的足球有严格的规定，下面是足球比赛中对所用的足球有严格的规定，下面是5 5个足个足球的质量检测结果（用正数表示超过规定质量的克数，用球的质量检测结果（用正数表示超过规定质量的克数，用负数表示不足规定质量的克数）负数表示不足规定质量的克数）答：记为答：记为-8-8的足球质量好一些。的足球质量好一些。因为因为20=2020=20，+10=10+10=10，+12=12+12=12，8=88=8，11=1111=11所以所以8 8 +10 +10 11 11 +12 +12 2020 也就是说记为也就是说记为-8-8的足球与规定的质量相差比较小，的足球与规定的质量相差比较小，因此其质量比较好因此其质量比较好-20 +10 +12 -8 -11请指出哪个足球的质量好一些，并用绝对值的知识加以说明。请指出哪个足球的质量好一些，并用绝对值的知识加以说明。本章小结 一个正数的绝对值等于它本身 一个负数的绝对值等于它的相反数 0的绝对值等于0 互为相反数的两个数的绝对值相等
