1、尺规作图 在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图。尺规作图源于希腊，一些古希腊人为了显示谁的逻辑思维能力更强，而限制了作图工具。1.画线段画线段：线段：线段MNa，求作一条线段等于，求作一条线段等于a.aMN3在射线在射线AC 上截取上截取AB a，那么线段，那么线段 AB 就是所要画的线段就是所要画的线段.1先画射线先画射线AC；2用圆规量出线段用圆规量出线段MN 的长；的长；aMNACB2.画角平分线画角平分线：AOB，求作，求作AOB 的平分线的平分线.OBA1以以O 为圆心，以适当长为半径画弧，交为圆心，以适当长为半径画弧，交OA 于于C 点，交点，交OB 于于D
2、 点；点；OBAP3过过O、P 作射线作射线OP，即为所求作的角平分线，即为所求作的角平分线.21（2）分别以）分别以C、D 两点圆心，以大于两点圆心，以大于 CD 长为半长为半 径画弧，两弧相交于径画弧，两弧相交于P 点；点；CD3.画画 角角 如图，如图，AOB，求作一个角等于，求作一个角等于AOB.OAB 1画射线画射线OA；2以点以点O 为圆心，以适当长为半径画为圆心，以适当长为半径画 弧，交弧，交OA 于于C，交，交OB 于于D；OABCDO A 3以点以点O为圆心，以为圆心，以OC 长为半径画弧，长为半径画弧，交交O A于于C.CDOAB4以点以点C为圆心，以为圆心，以CD 长为半
3、径画弧，长为半径画弧，交前一条弧于交前一条弧于D.O A B 5经过点经过点D画射线画射线O B，那么，那么A O B 就是所要画的角就是所要画的角.C D 、，求作，求作ABC，使使ABC=+.、，求作，求作ABC，使使ABC=-.4.画垂直平分线画垂直平分线：线段：线段AB，画出它的垂直平分线，画出它的垂直平分线.AB1分别以分别以A、B 两点为圆心，以大于两点为圆心，以大于AB 线段一线段一 半的长为半径画弧，两弧交于半的长为半径画弧，两弧交于C、D 两点；两点；2过过C、D 两点作直线，即为所求作线段两点作直线，即为所求作线段AB 的的 垂直平分线垂直平分线.ABCD动脑筋动脑筋1：1
4、:直线直线l l表示一条公路，点表示一条公路，点A A和点和点B B表示两个村表示两个村庄。现要在公路上造一个加油站到两个村庄的庄。现要在公路上造一个加油站到两个村庄的距离相等，问加油站应建在何处？请在图上标距离相等，问加油站应建在何处？请在图上标明这个地点，并说明理由。明这个地点，并说明理由。B.A.有有 A,B,C A,B,C 三农户准备一起挖一口井，三农户准备一起挖一口井，使它到三农户家的距离相等使它到三农户家的距离相等.这口井应挖在这口井应挖在何处？请在图中标出井的位置，并说明理由何处？请在图中标出井的位置，并说明理由.ACB动脑筋动脑筋2：如图，请在如图，请在ABC所在的平面内找一点
5、所在的平面内找一点P，使点，使点P到到AB，BC的距离相等，并且的距离相等，并且到点到点A,C的距离也相等。的距离也相等。CBA动脑筋动脑筋3：三角形的两边及其夹角，三角形的两边及其夹角，求作三角形求作三角形教学活动1：线段：线段a，b，求作：，求作：ABC，使，使BC a，AB b，ABC abaBMDEDENCA(1)作作MBN(2)在射线在射线B M上截取上截取BC a,在射线在射线B N上截取上截取BA b，(3)连接连接AC那么那么ABC为所求作的三角为所求作的三角形形作法与示范作法与示范:三角形的两角及它们的夹三角形的两角及它们的夹边边,求作求作 三角形三角形教学活动2设置疑问设置
6、疑问:,线段线段c，求作：求作：,使使A,，cc作法示范作法示范作法作法:(1)作线段作线段 cAMAMB(2)作作NB，NKC(3)作作KAAN与与BK相交于相交于C,则则ABC为所求作的三角形为所求作的三角形拓展练习拓展练习 在在ABCABC中中,BC,BC5 5厘米厘米,AC,AC3 3厘米厘米,ABAB3 35 5厘米厘米,B,B3535,C,C4545,请你选择适当数据请你选择适当数据,画与画与ABCABC全等的全等的三角形，说一说你有几种方法呢？三角形，说一说你有几种方法呢？CAB35厘米厘米5厘米厘米3厘米厘米35354545一般情况下，一般情况下，两角夹边，先画边两角夹边，先画
7、边,再画两再画两角角;两边夹角，先画角两边夹角，先画角,再在角再在角的的 两边分别截取两边。两边分别截取两边。三边呢三边呢?如图如图,某人不小心把一块三角形的玻璃打某人不小心把一块三角形的玻璃打碎成三块碎成三块,现在要到玻璃店去配一块完全一现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃样的玻璃,那么他最少要那么他最少要()()A A、带去、带去 B B、带去、带去 C C、带去、带去 D D、带和去、带和去C C教学活动3三角形的三边求作三角三角形的三边求作三角形形设置疑问设置疑问:线段线段a,b,ca bc求作求作:ABC,使使BCa,ACb,ABc作法示范作法示范作法作法(1)做线段做线段BCa,B
8、MAC(2)以以C为圆心为圆心,b为半径画弧为半径画弧(3)以以B为圆心为圆心,C为半径画弧为半径画弧两弧相交于点两弧相交于点A(4)连接连接AB,AC那么那么ABC为所求作的三角形为所求作的三角形示范示范小结 学会了两边及它们的夹角做三角形的方法学会了两边及它们的夹角做三角形的方法学会了两角及它们的夹边做三角形的方法学会了两角及它们的夹边做三角形的方法学会了三边做三角形的方法学会了三边做三角形的方法学会了用尺规作三角形的方法学会了两角及一边做三角形的方法学会了两角及一边做三角形的方法学会了用尺规画角、中垂线、角平分线的方法 画垂线画垂线：直线：直线l 及其外一点及其外一点C.求作：过求作：过
9、C 点垂直于直线点垂直于直线l 的直线的直线.l C探究:1以以C 点为圆心，以大于点为圆心，以大于C 点到直线点到直线l 的距的距 离为半经画弧，交直线于离为半经画弧，交直线于A、B 两点；两点；3过过C、D 两点作直线两点作直线CD，即为所求作的，即为所求作的 垂线垂线.2分别以分别以A、B 两点为圆心，以大于两点为圆心，以大于1/2AB的的长度为半径画弧，两弧相交于长度为半径画弧，两弧相交于D 点；点；DBAl C 常用的作图语言 1过点、作线段或射线、直线；2连结两点、；3在线段或射线上截取=；4以点为圆心，以的长为半径作圆或画弧，交于点；5分别以点，点为圆心，以，的长为半径作弧，两弧
10、相交于点；6延长到点，使=注：写作法时，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括表达就可以了如：作线段=；作=；作线段的垂直平分线等。本章要点聚焦本章要点聚焦一、四边形的概念一、四边形的概念1.1.定义：在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段定义：在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形首尾顺次相接组成的图形.2.2.四边形的内角和与外角和均为四边形的内角和与外角和均为360360.3.3.四边形具有不稳定性四边形具有不稳定性.4.4.多边形内角和定理：多边形内角和定理：n n边形的内角和等于边形的内角和等于(n-2)(n-2)1801805.5.多边形外角和定理：多边形
11、外角和定理：n n边形的外角和等于边形的外角和等于360360.6.6.多边形的对角线多边形的对角线.二二.重要知识规律总结重要知识规律总结:条条(n3)(n3)2 23 3)n n(n n1.1.多边形的对角线多边形的对角线.n n边形的内角和为：边形的内角和为：n n2)2)180180(n3).(n3).2.2.多边形的内角和公式多边形的内角和公式.3.3.平行四边形的性质有：平行四边形的性质有：平行四边形的平行四边形的对边相等对边相等平行四边形的平行四边形的对边平行对边平行平行四边形的平行四边形的对角相等对角相等平行四边形的平行四边形的对角线互相平分对角线互相平分平行四边形平行四边形邻
12、角互补邻角互补中心对称中心对称两个推论两个推论:定理定理2 2：两组对边分别相等两组对边分别相等的四边形是的四边形是平行四边形平行四边形.定义定义:两组对边分别平行两组对边分别平行的四边形是的四边形是平行四边形平行四边形.定理定理1:1:一组对边平行且相等一组对边平行且相等的四边形是的四边形是平行四边形平行四边形.4.4.平行四边形的判定平行四边形的判定:平行四边形平行四边形定理定理4 4：两组对角分别相等两组对角分别相等的四边形是的四边形是平行四边形平行四边形.推论推论1:有有一组对边平行且有一组对角相等一组对边平行且有一组对角相等的四边形是的四边形是平行四边形平行四边形.三角形的中位线平行
13、于第三边，并且等三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半于第三边的一半.5.5.三角形的中位线三角形的中位线6.6.逆命题与逆定理逆命题与逆定理.重要逆定理重要逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形定理定理1:1:到一条线段的两个端点的距离相等的点到一条线段的两个端点的距离相等的点,在在这条线段的垂直平分线上这条线段的垂直平分线上.定理定理2:2:如果三角形一边上的中线等于这边一半如果三角形一边上的中线等于这边一半,那那么这个三角形是直角三角形么这个三角形是直角三角形定理定理3:3:一个
14、图形绕一点旋转一个图形绕一点旋转180180度后与原度后与原来图形重合来图形重合.中心对称图形中心对称图形:关于一点成关于一点成中心对称中心对称:一个图形绕一点旋转一个图形绕一点旋转180度后与度后与另一图形互相重合另一图形互相重合.性质性质:对称中心平分连接两个对称点的线段对称中心平分连接两个对称点的线段直角坐标系中直角坐标系中,点点(x,yx,y)关于原点对称的点是关于原点对称的点是(-x,-y-x,-y)3 3、如图，在锐角、如图，在锐角ABCABC中，中，CDCD、BEBE分分别是别是ABAB、ACAC边上的高，且边上的高，且CDCD、BEBE交于一点交于一点P P，假设，假设A=50
15、A=50，那么，那么BPCBPC的度数是的度数是 ()()4 4、一个正多边形它的一个外角等于与它相邻的内角的、一个正多边形它的一个外角等于与它相邻的内角的四分之一，这个多边形是正边形。四分之一，这个多边形是正边形。B B1 1、在四边形中、在四边形中ABCDABCD，A=500A=500，B=900B=900，C=410C=410，那么那么D=D=；2 2、一个多边形的内角和等于、一个多边形的内角和等于10801080，这个多边形的边，这个多边形的边数是数是A A十十1791790 0根底练习根底练习5 5、下例不能判定四边形、下例不能判定四边形ABCDABCD是平行四边形的是是平行四边形的
16、是 A A、AB=CD AD=BC BAB=CD AD=BC B、AB=CD ABCDAB=CD ABCD C C、AB=CD ADBC DAB=CD ADBC D、AB CD ADBCAB CD ADBC6 6、如下图，在、如下图，在ABCABC中，中，D D、E E、F F分别为分别为ABAB、BCBC、CACA边边的中点，那么图中共有平行四边形的中点，那么图中共有平行四边形()()个个 个个 个个 个个 A D F EB C7 7、如图、如图 ABCDABCD的对角线的对角线BDBD上有两点上有两点E E、F F，要使四边形，要使四边形AECFAECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是
17、是平行四边形，还需要增加的一个条件是 （填（填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有可能情形），上你认为正确的一个即可，不必考虑所有可能情形），并写出你的证明过程。并写出你的证明过程。C CC CBE=DFBE=DF、BF=DEBF=DE，AEFCAEFC、AFECAFEC8 8、如图在、如图在 ABCDABCD中中CEABCEAB，E E为垂足，为垂足，若若A=125A=1250 0，那么，那么BCE=BCE=。A DE B C9 9、如图在、如图在 ABCABC中中,EFAB,DE:EA=2:3,EF=4,EFAB,DE:EA=2:3,EF=4,则则CD=CD=。D C E F A B A
18、D B C1010、如图在、如图在 ABCDABCD中中,AD=5,AB=3,AE,AD=5,AB=3,AE平分平分 BADBAD交交BCBC于于点点E,E,则则BE=BE=，。A D OB C1111、在、在 ABCDABCD中，对角线中，对角线ACAC、BDBD相交于相交于O O点，点，AC=10,BD=8AC=10,BD=8，则，则ADAD的取值范围是的取值范围是()()A.AD A.AD1 B.AD1 B.AD9 9 C.1 C.1ADAD9 D.AD9 D.AD0 035350 010103 32 2C C1212、判断题、判断题:1 1邻角互补的四边形是平行四边形邻角互补的四边形是
19、平行四边形.2 2一组对边平行一组对边平行,另一组对边相等的四边形是另一组对边相等的四边形是平行四边形平行四边形.3 3一组对边平行一组对边平行,一组对角相等的四边形是一组对角相等的四边形是平行四边形平行四边形.4 4对角线相等的四边形是平行四边形对角线相等的四边形是平行四边形.1313、某人到瓷砖商店去购置一种多边形形状的瓷砖，用、某人到瓷砖商店去购置一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板他购置的瓷砖形状不可以是来铺设无缝地板他购置的瓷砖形状不可以是 A A正三角形正三角形 B B正四边形正四边形 C C正八边形正八边形 D D正六边形正六边形 1414、平行四边形一边长为、平行四边形一边长
20、为12cm12cm，那么它的两条，那么它的两条对角线的长度可能是对角线的长度可能是 A A8cm8cm和和14cm 14cm B B10cm10cm和和14cm 14cm C C18cm18cm和和20cm 20cm D D10cm10cm和和34cm34cmC CC C1515、在平行四边形、在平行四边形ABCDABCD中中,AC=10,BD=8,AC=10,BD=8,那么那么ABAB的取值的取值范围是范围是()()A A、2AB18 B2AB18 B、1AB9 1AB2 DAB2 D、AB9AB91616、平行四边形一边长为、平行四边形一边长为 10,10,那么它的两条对角线可那么它的两条
21、对角线可以是以是()()A A、6,8 B6,8 B、8,12 8,12 C C、8,14 D8,14 D、6,146,14B BC C 例题解析例题解析【例例1 1】如图，在如图，在 ABCDABCD中，中，O O是对角线是对角线ACAC的中点，过的中点，过O O点作直线点作直线EFEF分别交分别交BCBC、ADAD于于E E、F.F.(1)(1)求证：求证：BE=DF.BE=DF.(2)(2)若若ACAC、EFEF将将 ABCDABCD分成的四部分的面积相等，指分成的四部分的面积相等，指出出E E点的位置，并说明理由点的位置，并说明理由.【例【例2 2】如下图，如下图，ABCD ABCD的
22、周长为的周长为30cm30cm，AEBCAEBC于于E E点，点，AFCDAFCD于于F F点，且点，且AEAF=23AEAF=23，C=120C=120，求，求S S ABCD.ABCD.27 (cm2).3 C23，-2 C-23，2 【例例3 3】如图如图RtRtOABOAB的两条直角边都在坐标轴上，的两条直角边都在坐标轴上，AO=2AO=2，OBA=30OBA=300 0，求以，求以O O、A A、B B为其中三个顶点的为其中三个顶点的平行四边形的第四个顶点平行四边形的第四个顶点C C的坐标。的坐标。C23，2 A O B 【例【例4 4】如图平行四边形】如图平行四边形ABCDABCD
23、的周长是的周长是1414，两条对角，两条对角线线ACAC：BD=2BD=2：3 3，ACAC与与BDBD交于交于O O，AOBAOB和和BOCBOC的周长和是的周长和是1717，那么那么AC=AC=，BD=BD=。A D OB C【例【例5 5】如图在】如图在ABCABC中点中点D D、E E分别是分别是ABAB，ACAC边的中点，边的中点，假设把假设把ADEADE饶着点饶着点E E顺时针旋转顺时针旋转18001800得到得到CEFCEF。1 1请指出图中哪些线段与线段请指出图中哪些线段与线段CFCF相等；相等；2 2试判断四边形试判断四边形DBCFDBCF是怎样的四边形？证明你的结论。是怎样
24、的四边形？证明你的结论。A AE EF FD DB BC C2 2、四边形、四边形ABCDABCD中，中，AD/BCAD/BC，那么，那么：的值可能是的值可能是 1 1、在一个四边形中，、在一个四边形中，：，求这个四边形各内角的度数？：，求这个四边形各内角的度数？A A、：、：5 5：B B、：、：C C、：、：5 5：4 D4 D、：、：5 5：3 3、一个多边形、一个多边形,除了一个内角外除了一个内角外,其余内角和为其余内角和为12051205度度,那么这个内角是多少度那么这个内角是多少度,这是个几边形这是个几边形?D D4 4、如图、如图,在在ABCABC中中,AB=AC=5,D,AB=
25、AC=5,D是是BCBC上的点上的点,DEAB,DEAB交交ACAC于点于点E,DFACE,DFAC交交ABAB于点于点F,F,那么四边形那么四边形AFDEAFDE的周长是的周长是()()B B5 5、已知已知：如图，在：如图，在ABCDABCD中，中，E E，F F是对角线是对角线ACAC上的两上的两点，且点，且AE=CFAE=CF，求证求证：四边形：四边形BEDFBEDF是平行四边形是平行四边形 6 6.已知已知：如图，在：如图，在ABCDABCD中，中，E E，F F分别是分别是ADAD，BCBC的中点的中点求证求证：MNBCMNBC，且，且MN=BCMN=BC127 7、已知如图在、已
26、知如图在 ABCDABCD中中,过点过点O O做任意直线与一组做任意直线与一组对边分别交于点对边分别交于点E E和和F,F,求证：求证：OE=OFOE=OFB BD DC CA AO OE EF FA AB BC CD DO O8 8、如图，、如图，ABCDABCD的周长为的周长为cm,Ocm,O是对角线是对角线ACAC和和BDBD的交点的交点（）若（）若ABCABC的周长是的周长是18cm,18cm,求求OCOC的长的长（）若（）若OABOAB的周长比的周长比OBCOBC的周长短的周长短cmcm，求，求ABAB的长的长4cm4cm3cm3cmE ED DA AC CB BF FO O变式：如
27、图四边形变式：如图四边形ABCDABCD和四边形和四边形BFDEBFDE都是平行都是平行四边形四边形,求证：求证：AE=CFAE=CF9 9、如图在、如图在 ABCDABCD中中,E,E、F F是对角线是对角线ACAC上的两点，且上的两点，且AE=CF,AE=CF,求证：求证：四边形四边形BEDFBEDF是平行四边形是平行四边形1010、:如图如图,四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形,ADEADE和和BCFBCF都是等边三角形都是等边三角形.求证求证:BD:BD和和EFEF互相平分互相平分.ABCFDE1111、:如图如图,O,O是等边三角形是等边三角形ABCABC内任意一内
28、任意一点点,ODBC,OEAC,OFAB,ODBC,OEAC,OFAB,点点D,E,FD,E,F分别在分别在AB,BC,ACAB,BC,AC上上.求证求证:OD+OE+OF=BC.:OD+OE+OF=BC.A AF FO OE ED DB BC CM MN N1212、请说出、请说出“等腰三角形两腰上的高相等的等腰三角形两腰上的高相等的逆命题这个逆命题是真命题吗？请证明你的逆命题这个逆命题是真命题吗？请证明你的判断判断.作图应用作图应用3 3、如图，在、如图，在 ABCDABCD中，两条对角线相交于点中，两条对角线相交于点O O，E E、F F、G G、H H分别是分别是AOAO、BOBO、C
29、OCO、DODO的中点，以图的中点，以图中的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形。中的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形。A AD DC CB BE EF FG GH HO Ow我们知道我们知道,三角形的三条中线交于一点三角形的三条中线交于一点.这一点这一点 叫做三角形的叫做三角形的重心重心.w三角形的重心分每一条中线的比为三角形的重心分每一条中线的比为1212(重心到每边的中点距离重心到每边的中点距离重心重心到所对角的顶点的距离到所对角的顶点的距离).).w你能证明这个命题吗你能证明这个命题吗?w三角形的重心有一个重要的几何性质三角形的重心有一个重要的几何性质:ABCDEFG探索提高探索提高证
30、明一：连结证明一：连结EFEF，利用三角形的中位线按理证明，利用三角形的中位线按理证明w:如图如图,AE,BF,CD,AE,BF,CD是是ABCABC的三条中线的三条中线,且相交于点且相交于点G.G.w分析分析:要证明要证明GEGA=12GEGA=12,可以考虑折半法可以考虑折半法(如取如取GAGA的中点的中点M,GBM,GB的中点的中点N).N).w转化为证明转化为证明AM=MG=GE,BN=NG=GF.AM=MG=GE,BN=NG=GF.w分别连接分别连接FE,EN,NM,MF.FE,EN,NM,MF.w求证求证:GEGA=GFGB=GDGC=12GEGA=GFGB=GDGC=12.ABC
31、DEFGM Nw从而借助于三角形的中位线从而借助于三角形的中位线构造平行四边形来获得证明构造平行四边形来获得证明.证明二：证明二：w证明证明:取取GAGA的中点的中点M,GBM,GB的中点的中点N,N,分别连接分别连接FE,EN,NM,MF.FE,EN,NM,MF.wF,EF,E是是AC,BCAC,BC的中点的中点,w FEMN,FE=MN.FEMN,FE=MN.ABCDEFGM Nw四边形四边形FENMFENM是平行四边形是平行四边形.wMG=GE,NG=GF.MG=GE,NG=GF.21ABFE FEAB,MNAB,MNAB,.21ABMN wAM=MG=GE,BN=NG=GF.AM=MG=GE,BN=NG=GF.w GEGA=GFGB=12.GEGA=GFGB=12.w同理同理,GD GC=1 2.wGEGA=GFGB=GDGC=12.GEGA=GFGB=GDGC=12.w:如图如图,AE,BF,CD,AE,BF,CD是是ABCABC的三条中线的三条中线,且相交于点且相交于点G.G.w求证求证:GEGA=GFGB=GDGC=12GEGA=GFGB=GDGC=12.
