1、第1章 直角三角形 1.21.2 直角三角形的性质和判定（直角三角形的性质和判定（）第2课时学习目标1.会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题.（重点）2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联 系，并进一步求出未知边长.（难点）问题 观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门的情况，对于长竹竿进门之类的问题你有什么启发？这个跟我们学的勾股定理有关，将实际问题转化为数学问题勾股定理的简单实际应用一例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?2m1mABDC典例精析解：在RtABC中，根据勾股定理，
2、AC2=AB2+BC2=12+22=5 52.24.AC 因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过.分析：可以看出木板横着，竖着都不能通过，只能斜着.门框AC的长度是斜着能通过的最大长度，只要AC的长大于木板的宽就能通过.ABDCO 解：在RtABO中，根据勾股定理得OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，OB=1.在RtCOD中，根据勾股定理得OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,3.151.77,OD1.7710.77.BDODOB 所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m.例2 如图，一架2.6m
3、长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?例3：我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？D DA AB BC C解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长AD=AB=（x+1）尺，在直角三角形ABC中，BC=5尺由勾股定理得，BC2+AC2=AB2即 52+x2=(x+1)225+x2=x2+2x+1，2
4、 x=24，x=12，x+1=13.答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺.例4 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？8 米6米 8 米米6米米ACB解：根据题意可以构建一直角三角形模型，如图.在RtABC中，AC=6米，BC=8米，由勾股定理得22226810.ABACBC米这棵树在折断之前的高度是10+6=16（米）.利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；（2）构造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解决实际问题.归纳总结数学问题直角三角形勾股定理实际问
5、题转化构建利用解决1.湖的两端有A、B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为()ABCA.50米 B.120米 C.100米 D.130米130120?A练一练2.如图，学校教学楼前有一块长方形草坪,草坪长为4米，宽为3米，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草.（1）求这条“径路”的长；（2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？解：(1)在Rt ABC中，根据勾股定理得这条“径路”的长为5米.（2）他们仅仅少走了 (3+4-5)2=4(步).别踩我,我怕疼!22345AB 米，A BCCBA问题 在A点的小
6、狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A B 路线，而不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？AC+CB AB（两点之间线段最短）思考 在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？利用勾股定理求最短距离二BAdABAABBAO想一想：蚂蚁走哪一条路线最近？A 蚂蚁AB的路线问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，蚂蚁怎么走最近？BA根据两点之间线段最短易知第四个路线最近.若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，取3.BA3O12侧面展开图 123ABAA 解：在RtABA中，由勾股定理得2222123315.ABAAB
7、A 立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.归纳例5 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2 米，高AB是5 米，取3）?ABABAB解：油罐的展开图如右图，则AB为梯子的最短距离.AA=232=12,AB=5,AB=13.即梯子最短需13米.数学思想：立体图形平面图形转化展开B牛奶盒牛奶盒A【变式题】看到小蚂蚁终于喝到饮料的兴奋劲儿，小明灵光乍现，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在点A处，并在点B处放了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找出吃到火腿肠粒的最短路程么？6cm
8、8cm10cmBB18AB2610B3AB12=102+（6+8）2=296，AB22=82+（10+6）2=320，AB32=62+（10+8）2=360，解：由题意知有三种展开方法，如图.由勾股定理得AB1AB2AB3.小蚂蚁吃到火腿肠的最短路程为AB1，长为 cm.2 74例6 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家他要完成这件事情所走的最短路程是多少？牧童A小屋BAC东北解：如图，作出点A关于河岸的对称点A，连接AB,则AB就是最短路程.由题意得AC=4+4+7=15(km)，BC=8km.在RtACB
9、中，由勾股定理得2215817.A B 求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路程的方法：先找到其中一点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角三角形，再运用勾股定理求最短路程.归纳如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B处吃食物，求蚂蚁爬行的最短距离是多少.AB解：由题意得AC=2，BC=1,在RtABC中，由勾股定理得 AB=AC+BC=2+1=5AB=，即最短路程为 .21ABC55练一练1.从电线杆上离地面5m的C处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面钢缆A到电线杆底部B
10、的距离是（）A.24m B.12m C.m D.m 742 6D2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（）A.9cm B.12cm C.15cm D.18cm D3.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两棵对相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少？ABC解：如图，过点A作ACBC于点C.由题意得AC=8米，BC=8-2=6(米)，答：小鸟至少飞行10米.2210ABACBC米.4.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点
11、上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路的长是多少？BAABC解：台阶的展开图如图，连接AB.在RtABC中，根据勾股定理得AB2=BC2AC25524825329,AB=73cm.5.为筹备迎新晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？能力提升：解：如右下图，在RtABC中，因为AC36cm，BC108427(cm)由勾股定理，得AB2AC2BC23622722025452，所以AB45cm，所以整个油纸的长为454180
12、(cm)勾股定理的应用用勾股定理解决 实 际 问 题用勾股定理解决点的距离及路径最短问题观察代数式：观察代数式：它们有什么共同的地方呢？它们有什么共同的地方呢？这些代数式是由数字与字母，字母与字母这些代数式是由数字与字母，字母与字母相乘相乘得得到的到的单项式：由数字与字母或字母与字母相乘组成的代数式单项式：由数字与字母或字母与字母相乘组成的代数式单独的一个数或字母也叫单项式。单独的一个数或字母也叫单项式。如：如：2 2、-1 -1 、a a 判断：下列各式是不是单项式判断：下列各式是不是单项式是是不是不是不是不是你觉得单项式中对你觉得单项式中对字母有什么要求？字母有什么要求？字母不能在分母上，
13、字母不能在根号里字母不能在分母上，字母不能在根号里4xy32a8s90-ab是是2233,2,4xyxaabb24a单项式中的数字因数单项式中的数字因数，叫做单项式的系数，叫做单项式的系数.在单项式中，所有字母的指数的在单项式中，所有字母的指数的和和，叫做单项式的叫做单项式的次数次数.单项式的系数单项式的系数12 +1=3单项式的次数单项式的次数1）当一个单项式的系数是）当一个单项式的系数是-1或或1时，时，“1”通常省略通常省略不写不写。（2)圆周率圆周率 是常数。是常数。单项单项式式系数系数次数次数215a1524xy-153ab1322 r21 的系数分别是什的系数分别是什么？它们的次数
14、分别是多少？么？它们的次数分别是多少？2232,4xya例例1：解：系数分别是解：系数分别是2，；次数分别是；次数分别是2、3 34 这些代数式有什么特点？这些代数式有什么特点？22234,32,3xy aaab多项式多项式:组成的代数式组成的代数式几个几个单项式相加单项式相加 在多项式中，每个单项式叫做多项式的在多项式中，每个单项式叫做多项式的项项，不含字母的项叫做不含字母的项叫做常数项常数项，次数最高的项的次数就是这个多项式的次数最高的项的次数就是这个多项式的次数次数。例：例：的项有的项有 常数项是常数项是 ，次数最高的项次数最高的项 ，这个多项式的次数是，这个多项式的次数是 ；称为称为
15、。2+3a-2a2,3,-2,aa2a-222+3a-2a二二次次三三项式项式注意注意：多项式的每一项都包括它前面的：多项式的每一项都包括它前面的符号符号多项式的次数不是多项式的次数不是所有项的次数之和所有项的次数之和多项式：多项式：由几个单项式由几个单项式相加相加组成的代数式组成的代数式即：单项式即：单项式+单项式单项式+（省略加号的和式）（省略加号的和式）例例2：252 aa项项:各项的系数各项的系数:各项的次数各项的次数:项数项数:特殊项特殊项:次数次数:几次几项式几次几项式:2aa52 3152 2102a2 次数最高项次数最高项二次三项式二次三项式（次数最高项的次数）（次数最高项的次
16、数）2常数项常数项不含字母的项不含字母的项项数项数:次数次数:二次三项式二次三项式1.1.下列代数式中，哪些是整式下列代数式中，哪些是整式?哪些是单项式？哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是多项式？12,2,(120%),2,.23x sabxyxababt xy解：属于整式的有：解：属于整式的有：2,23xabab，2x+y,(1-20%)x,2属于单项式的有：属于单项式的有：,(120%),22xxab属于多项式的有属于多项式的有：22,3abxy2.下列多项式各由哪些项组成？各是几次多项式？下列多项式各由哪些项组成？各是几次多项式？22(1)37;(2)34;(3)1.xxxaba2363
17、(4)7xab单项式单项式和和多项式多项式统称统称整式整式.例例3：一个花坛的形状如图，它的两端是半：一个花坛的形状如图，它的两端是半径相等的半圆，求径相等的半圆，求:（1）花坛的周长）花坛的周长L（2）花坛的面积）花坛的面积S22Lar22Sarr想一想：想一想：，分别是分别是几次几项式几次几项式？分别由？分别由哪些项哪些项组成？组成？每一项的每一项的系数系数是什么？是什么？22ar22arr例例4.有长为有长为L的篱笆，利用它和房屋的一面墙围的篱笆，利用它和房屋的一面墙围成如图的形状的园子，园子的宽为成如图的形状的园子，园子的宽为t.(1)用关于用关于L，t的代数式表示园子的面积；的代数式
18、表示园子的面积；(2)当当L=100m，t=30m时，求园子的面积。时，求园子的面积。t 1 1、列出表示下列各题结果的代数式，并指出这些代数列出表示下列各题结果的代数式，并指出这些代数式是单项式还是多项式：式是单项式还是多项式：（1 1）一场赛车比赛的门票的价格是每张）一场赛车比赛的门票的价格是每张5050元，共售出了元，共售出了n n张。总收入为多少元？张。总收入为多少元？（2 2）某城市预计明年固体污染物排放的增长率为）某城市预计明年固体污染物排放的增长率为-11.2%-11.2%。设今年该市固体污染物排放总量为设今年该市固体污染物排放总量为x x万吨，那么预计明万吨，那么预计明年该市固
19、体污染物的排放总量为多少？年该市固体污染物的排放总量为多少？（3 3）已知一个二位数的个位数字是）已知一个二位数的个位数字是b b，十位数字是，十位数字是a a。用关于用关于a a和和b b的代数式表示这个二位数。的代数式表示这个二位数。50n，单项式，单项式（1-11.2%）x，单项式，单项式10a+b10a+b，多项式，多项式2 2、列举一个实际应用题，要求用含两个字母的一次多、列举一个实际应用题，要求用含两个字母的一次多项式表示结果。项式表示结果。3.整式整式：单项式和多项式统称为整式。：单项式和多项式统称为整式。特点：字母不在分母上，字母不在根号里特点：字母不在分母上，字母不在根号里1.单项式单项式：由数字与字母或字母与字母相乘组成的：由数字与字母或字母与字母相乘组成的代数式代数式.单独的一个数或字母也叫单项式单独的一个数或字母也叫单项式系数：系数：次数：次数：2.多项式多项式：由几个单项式相加组成的代数式：由几个单项式相加组成的代数式项：项：多项式的次数多项式的次数：单项式中的数字因数单项式中的数字因数单项式中所有字母的指数和单项式中所有字母的指数和在多项式中，每个单项式叫作多项式的项在多项式中，每个单项式叫作多项式的项次数最高的项的次数就是这个多项式的次数次数最高的项的次数就是这个多项式的次数
