1、1.理解并掌握等腰三角形、等边三角形的性质；（重点）2.能运用等腰（边）三角形的性质进行有关的证明和计算.（重点、难点）学习目标导入新课导入新课观察与思考观察下列图片，它们有什么共同的特征？等腰三角形 任意画一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，如图.作ABC 关于顶角平分线AD所在直线的轴反射，由于1=2，AB=AC，因此：D1 2讲授新课讲授新课等腰三角形的性质一活动探究射线AB的像是射线AC，射线AC的像是射线 ；线段AB的像是线段AC，线段AC的像是线段 ；点B的像是点C，点C的像是点 ；线段BC的像是线段CB.从而等腰ABC关于直线 对称.ABABBAD由于点D的像是点D，因此线段D
2、B的像是线段 ，从而AD是底边BC上的 .由于射线DB的像是射线DC，射线DA的像是射线 ，因此BDA CDA=，从而AD是底边BC上的 .由于射线BA的像是射线CA，射线BC的像是射线 ，因此B C.DC中线DA=90高CB=由此得到等腰三角形的性质定理：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称为“三线合一”).总结归纳ABCD(1 2 根据等腰三角形的性质定理完成下列填空.在ABC中，当AB=AC时，(1)AD是高，_=_，_=_.(2)AD是中线，_，_=_.(3)AD是角平分线，
3、_ _，_=_.122BDCDADBCBD1BCADCD填一填 如图的三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好在铅锤线上.（1）AD与BC是否垂直，试说明理由.（2）这时BC处于水平位置，为什么？议一议例1 已知：如图，在ABC中，AB=AC，点D，E在边BC 上，且AD=AE.求证：BD=CE.证明：作AFBC，垂足为点F，则AF是等腰ABC和等腰ADE底边上的高，也是底边上的中线.BF=CF，BF-DF=CF-EF，DF=EF，即 BD=CE.F典例精析例2 已知：如图，在ABC中，AB=AC,BAC=120，点D,E是底边上两点，且BD=AD,C
4、E=AE.求DAE的度数.CED BA解：AB=AC,（已知）B=C，（等边对等角）B=C=（180120）=30.又BD=AD,（已知）BAD=B=30.（等边对等角）同理，CAE=C=30.DAE=BAC-BAD-CAE =120-30-30 =60.12因为ABC是等边三角形，所以AB=BC=AC，从而C=A=B.由三角形内角和定理可得：A=B=C=60.如图，ABC是等边三角形，那么A，B，C 的大小之间有什么关系呢？等边三角形的性质二由此得到等边三角形的如下性质：等边三角形的三个内角相等，且都等于60.总结归纳 由于等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对
5、称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线.思考：等边三角形有几条对称轴，你能画出来吗？ACBDE 如图,ABC和ADE都是等边三角形，已知ABC的周长为18cm,EC=2cm,则ADE的周长是 cm.12练一练1.填空：（1）等腰直角三角形的每一个锐角的度数是_；（2）如果等腰三角形的底角等于40，那么它的 顶角的度数是_；（3）如果等腰三角形有一个内角等于80，那么这 个三角形的最小内角等于_.当堂练习当堂练习20或5010045结论:在等腰三角形中,注意对角的分类讨论.顶角+2底角=180 顶角=1802底角 底角=（180顶角）20顶角1800底角902.如图，在ABC中，AB=AC，AD
6、为BC边上的高，BAC=49，BC=4，求BAD的度数及DC的长.解：AB=AC,AD为BC边上的高，B=C,BD=CD,BAD=CAD.BAC=49，BC=4，BAD=24.5，DC=2.3.如图，点P为等边ABC的边BC上一点，且APD=80，AD=AP，求DPC的度数.解：ABC是等边三角形，C=60.AD=AP,APD=ADP=80，DPC=ADP-C=20.等边对等角轴对称性质等腰三角形的性质定理底边上的高、中线、顶角平分线合为一条课堂小结课堂小结三线合一等边三角形的性质直线与圆的位置关系有下面的性质:如果 O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么(1)dr 直线l与 O相交 (
7、2)d=r 直线l与 O相切 (3)d r 直线l与 O相离请按照下述步骤作图:如图,在 O上任取一点A,连结OA,过点A作直线lOA,OA思考以下问题:(1)圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么关系?(2)直线l和 O的位置有什么关系?根据什么?(3)由此你发现了什么?相等d=r相切特征一：直线L经过半径OA 的外端点A特征二：直线L垂直于半径OA一般地,有以下直线与圆相切的判定定理:经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线OAlOA是 O 的半径,lOA于Al是 O的切线OAOAAO 经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。判断下图中的l 是否为 O的切线半径外端垂直证明一条
8、直线为圆的切线时，必须两个条件缺一不可：过半径外端垂直于这条半径。例1.已知:如图A是 O外一点,AO的延长线交 O于点C,点B在圆上,且AB=BC,A=30.求证:直线AB是 O的切线ABCO证明：连结OBOB=OC，AB=BC，A=30OBC=C=A=30AOB=C+OBC=60ABO=180-（AOB+A）=180-（60+30）=90ABOBAB为 O的切线做一做：如图是 的直径，请分别过，作 的切线OB一般情况下，要证明一条直线为圆的切线，它过半径外端（即一点已在圆上）是已知给出时，只需证明直线垂直于这条半径。巩固练习 1、如图，已知点B在 O上。根据下列条件，能否判定直线AB和 O
9、相切？OB=7,AO=12,AB=6O=68.5,A=2130BAO2、如图，AB是 O的直径，AT=AB，ABT=45。求证：AT是 O的切线BOTA巩固练习例2.如图,台风P(100,200)沿北偏东30方向移动,受台风影响区域的半径为200km,那么下列城市A(200,380),B(600,480),C(550,300),D(370,540)中,哪些受到这次台风的影响,哪些不受到台风的影响?0100400 500600 700300200X(km)y(km)60050040030020010030PABCDOPSTQ2.如图,OP是O的半径,POT=60,OT交O于S点.(1)过点P作O
10、的切线.(2)过点P的切线交OT于Q,判断S是不是OQ的中点,并说明理由.请任意画一个圆,并在这个圆所在的平面内任意取一点P.(1)过点P是否都能作这个圆的切线?(2)点P在什么位置时,能作并且只能作一条切线?(3)点P在什么位置时,能作两条切线?这两条切线有什么特性?(4)能作多于2条的切线吗?点在圆内不能作切线点在圆上点在圆外相等不能补充例3、如图已知直线AB过 O上的点C，并且OAOB，CACB 求证：直线是 O的切线BAC证明：连接OCOA=OB，CA=CBOC是等腰三角形OAB底边AB上的中线ABOC直线经过半径的外端C，并且垂直于半径OC，所以AB是 O的切线已知已知ABCABC内
11、接于内接于O,O,直线直线EFEF过点过点A A（1）如图）如图1，AB为直径，要使得为直径，要使得EF是是OO的的切线，还需添加的条件是切线，还需添加的条件是 或或 。（2）如图）如图2，AB为非直径弦，且为非直径弦，且CAE=B,求证：求证：EF为为OO的切线。的切线。FECBAOCBEFAO一般情况下，要证明一条直线为圆的切线，它过半径外端（即一点已在圆上）是已知给出时，只需证明直线垂直于这条半径。例5、如图：点O为ABC平分线上一点，ODAB于D，以O为圆心，OD为半径作圆。求证：BC是 O 的切线。CABDE证明：作OEBC于E点O为ABC平分线上一点ODAB于DOEOD又OD为 O
12、半径圆心到直线BC的距离等于半径，所以BC与 O相切证明直线与圆相切，但无切点时，往往过圆心作切线的垂线，再证明d=r即可切线的判定方法有：、切线的判定定理。、直线到圆心的距离等于圆的半径。、直线与圆有唯一个公共点。切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。、经过半径外端的直线是圆的切线。、垂直于半径的直线是圆的切线。、过直径的外端并且垂直于这条直径的 直线是圆的切线。、和圆只有一个公共点的直线是圆的切 线。、以等腰三角形的顶点为圆心，底边上 的高为半径的圆与底边相切。是非题：判断下列命题是否正确。（）（）（）（）（）、填空：在三角形OAB中,若OA=4,OB=4,圆O的
13、半径是2,则当AOB=_时,直线AB与圆O相切。、选择：下列直线能判定为圆的切线是（）A、与圆有公共点的直线B、垂直于圆的半径的直线C、过圆的半径外端的直线D、到圆心的距离等于该圆半径的直线如图,已知AB是 O的直径,O过BC的中点D,且DEAC.(1)求证:DE是 O的切线.(2)若C=30,CD=10cm,求 的半径O.证明题：4、如图，AB是O的直径，弦AD平分BAC，过A作ACDC，求证：DC是O的切线。BDCAO巩固练习5 如图，已知四边形ABCD是直角梯形，ADBC，ABBC，CDADBC。求证：以CD为直径的 O与AB相切OBDACE证明：过点O作OEAB,垂足为E。ADBC,A
14、BBC,ADAB而OEAB ADOEBC巩固练习经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线切线的判定定理:这个定理不仅可以用来判定圆的切线,还可以依据它来画切线.在判定切线的时候,如果已知点在圆上,则连半径是常用的辅助线作OEBC于E当已知条件中没有明确直线与圆是否有公共点时辅助线：是过圆心作这条直线的垂线段。再证明这条垂线段的长等于半径。连结OC当已知条件中直线与圆已有一个公共点时辅助线：是连结圆心和这个公共点。再证明这条半径与直线垂直。例3、如图已知直线AB过 O上的点C，并且OAOB，CACB求证：直线是 O的切线BAC例5、如图：点O为ABC平分线上一点，ODAB于D，以O为圆心，OD为半径作圆。求证：BC与作 O相切。CABDE作OEBC于E当已知条件中没有明确直线与圆是否有公共点时辅助线：是过圆心作这条直线的垂线段。再证明这条垂线段的长等于半径。连结OC当已知条件中直线与圆已有一个公共点时辅助线：是连结圆心和这个公共点。再证明这条半径与直线垂直。例3、如图已知直线AB过 O上的点C，并且OAOB，CACB求证：直线是 O的切线BAC例5、如图：点O为ABC平分线上一点，ODAB于D，以O为圆心，OD为半径作圆。求证：BC与作 O相切。CABDE
