1、数学数学源源来如此来如此 解解之有之有法法渗透数学文化，提升小学生数学素养的实践研究课题组编制编者大朋友们：鞠健茂、李英、郑婉秋、付雪琴、胡静、唐娅、熊静、曾莉 同学们：夜晚的繁星因太阳而闪耀，数学题也犹如漫天繁星。但只要我们掌握解题方法，就像拥有照亮星星的”太阳“，任何题目都难不倒你！本书会带你去追寻太阳！2 画图法画图法 李英李英 列表法列表法 郑婉秋郑婉秋 假设法假设法 付雪琴付雪琴 转化法转化法 胡静胡静 倒推法倒推法 唐娅唐娅 替换法替换法 熊静熊静 枚举法枚举法 曾莉曾莉 目录目录：3画图策略画图策略 二年级的虎虎和小希是同班同学，有一天，他们在玩抢位置的游戏，操场中间整整齐齐的放
2、了15根凳子，这些凳子整齐的排成了一列。游戏规则是15位同学一人抢占一个位置，然后进行报数，如果谁报错了，就得出列表演节目。但是报数有要求，得报两个数字，第一次报自己从前往后数第几个，第二次报自己从后往前数第几个。同学们开心而紧张的开始玩游戏，轮到小希了，小希说：“从前面数我站在第5个，从后面数我站在第9个”。听到小希如此顺溜的报数，正好小希身后的虎虎更紧张了，听到小希报了数字5，自己赶紧开始默念“6”，轮到自己报数了“从前往后数，我第6，从后往前数，我第.”虎虎突然就卡壳了，怎么办呢？脑袋里突然出现了上次和小希他们几个玩石子的游戏。这15个人就好比排列整齐的石子，他赶紧蹲下身，手指在地上不知
3、画着什么，很快，他就高兴的报出了自己的数字。你知道虎虎利用了什么方法吗？没错，画图的方法，他用圆形代表同学，自己从前往后数是第六，后面排了9个圆形，再一想，自己不就是从后往前数第10个吗。法之趣味法之趣味4 解之有法解之有法 画图策略是根据所揭示的数学问题内涵，采用画图的方法，把抽象问题具体化、直观化，从而解决问题的策略。可见，“画图策略”是解决问题的常用方法，是“数形结合”思想的具体体现。学之有道学之有道 线段图：能够把抽象的问题具体化，是一种半抽象半具体的图，尤其在分数应用题中特别突显它的优势。例如：桃树有180 棵，比梨树少2/5，梨树有多少棵？引导学生作图分析：先找到单位“1”梨树的棵
4、数，并用线段表示出来。再由“比梨树少”可画出表示桃树棵数的线段？如图：这是一道比较复杂的分数应用题，学生通过画图就能很快找到量与率的对应关系，从而正确理解题意，避免不知用乘法还是除法计算的迷茫了。5 练之有素练之有素1、四年级有学生258人，其中男生人数比女生少26人，男女生各有多少人？2、甲乙两堆煤共重154吨，如果从甲运12吨给乙，那么两堆煤一样重，甲乙两堆煤各重多少吨？3、甲乙两个仓库共存粮378吨，如果甲运出45吨，乙运进73吨，那么两个仓库存粮一样多，原来两个仓库各存粮多少吨？6学之有道学之有道 树图树图：在教学“搭配”时，使用“树图”会更加直观。如：有两件不同的上衣，三条不同的裤子
5、，一共有几种不同的搭配方法？通过画图，这些题目学生就能迎刃而解。7练之有素练之有素 一、选择题1连掷三次质地均匀的硬币，三次均为正面朝上的概率是（）A B C D 2.一布袋中有红、黄、白三种颜色的球各一个，它们除颜色外其他都一样小聪从布袋中摸出一个球后放回去摇匀，再摸出一个球那么小聪两次都能摸到白球的概率是（）A.B.C.D.3.从1，2，3，4这四个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是()A B C D4.某校九年级将举行班级乒乓球对抗赛，每个班必须选派出一对男女混合双打选手参赛九年级一班准备在小王、小张、小李三名女选手和小孙、小吴两名男选手中，选男、
6、女选手各一名组成一对参赛，一共能够组成几对？如果小王和小孙的组合是最强组合，那么采用随机抽签的办法，恰好选出小王和小孙参赛的概率是多少？8 学之有道学之有道集合图：集合图：能够体现数学的思想及方法。例如：三年级一班有15人参加兴趣活动小组，参加美术小组的有9人，参加合唱小组的有10人，同时参加两个小组的有多少人？如果用画集合图的方法，问题就迎刃而解了。如下图：通过画图，学生就会发现图中重叠部分就表示同时参加两个小组的人，即91015=4（人）。91看右图回答问题。（1）一共调查了（）人。（2）喜欢篮球的有（）人，只喜欢足球的有（）人，两种球都喜欢的有（）人。2、小朋友跳舞，排成一队，小红从左向
7、右数是第7个，从右向左数是第6个，跳舞的小朋友一共有多少人？3、三2班的同学到图书馆借书，每人至少借一本，至多借两本，26人借了科技书，30人借了故事书，全班共有50人，有几个人借了两本书？练之有素练之有素10谁是谁的妹妹？新的一学期又开始了，刘刚、马辉、李强这三个好朋友也很久没见面啦，这不，他们正在商量着想要开展一场乒乓球友谊赛。刘刚：我们三个人玩是不是有点太无聊了啊？李强：你有什么好主意吗？这个时候小丽、小英、小红碰巧路过，（小丽、小英、小红是这三个男生的妹妹）听见哥哥们在商量乒乓球比赛的事情，迫不及待的想参加呢！小丽：哥哥们，我们可以一起参加吗？马辉：参加倒是可以，不过我们这里面有个人的
8、妹妹可以校乒乓球对的高手，他俩一起我们可不吃大亏啦。刘刚：要不咱们六个人混合双打，兄妹二人不得搭伴。第一局：我和小丽对李强和小英。第二局：李强和小红对我和马辉的妹妹，你们看怎么样啊？听完后，大家纷纷点头表示同意。亲爱的同学们，你们能猜出这三个女生到底谁是谁的妹妹吗？大家听完这个故事是不是感觉一头雾水呢，其实在我们的数学学习中，我们经常会遇到一些听完后毫无头绪的问题，这就需要法之趣味法之趣味列表策略列表策略11我们利用一些巧妙的方法来分析思考、寻找思路，最终帮助我们解决数学问题。在这里，老师向大家介绍列表法。从故事中给出的重要信息：兄妹两人不得搭伴。我们可以发现：刘刚与小丽，李强与小英，李强与小
9、红都不是兄妹关系。从第二局我们还可以发现：马辉的妹妹肯定不是小红。我们不妨来列个表吧！小丽 小英 小红刘刚 马辉 李强 12因为兄妹是一一对应的，所以每行都应该有一个a和两个r，而李强一行已经确定了他的妹妹不是小英，小红，那就肯定是小丽，据此我们来完善这个表格：小丽小英小红刘刚a马辉a李强a 最终我们可以发现：刘刚的妹妹是小红，马辉的妹妹是小英，李强的妹妹是小丽。聪明的同学们，你们学会了运用列表来解决生活中的数学问题了吗？13 解之有法解之有法 运用列出表格来分析思考、寻找思路、求解问题的方法叫做列表法。在小学数学学科中，学生解决实际问题时，时常运用列表法。对于一些计算比较简单，而且多次重复计
10、算的问题，使用列表法，表达简洁，不易出错，还有些问题，无法列式计算，只能采用列表推演，总之，使用列表法可以解决许多复杂而有趣的问题。运用列出表格来分析思考、寻找思路、求解问题的方法叫做列表法。学之有道学之有道例一：侦探大本营有足球，航模和电脑三个兴趣小组。侦探A、B、C根据自己的爱好参加了其中的一项，但是他们三个人都不在一个组。请根据已知信息，判断出三位侦探分别是什么小组。14 【分析与解答】根据题目中告诉我们三位侦探都不在一个小组已经三位侦探提供的信息，我们可以进行分析：A不喜欢足球，说明A可能是航模，也可能是电脑小组。C不是电脑小组，说明他可能是足球，也可能是航模小组。A和C都具有不确定性
11、，而B说他喜欢航模，说明B是航模小组，也就说明C是足球小组，以此推断出A是电脑小组。在我们分析的过程中我们不妨用列表的方法来有条理的展示出我们的思考过程，这样会更见简单明了。足球航模电脑A aB a Ca 列表法可以清晰的将题目中给的信息展示出来，方便我们在解题过程中有条理的思考。15 练之有素练之有素1、甲、乙、丙三名运动员在100米赛跑中获得了前三名。他们是这样介绍自己的比赛成绩的：甲：“我得的不是金牌。”乙：“我没有获得银牌。”丙：“我比乙快。”这三名运动员分别获得了什么奖牌？2、小红、小丽、小芳和小兰四个人同住在一座四层的楼房里。已知小红比小丽住的楼高，比小芳住的楼底，小兰住第四层。小
12、红、小丽、小芳和小兰各住哪层？16例二：郑老师带着三班同学去郊游，一共48人。现在有两种车可供选择，小车每车可坐12人，每辆120元；大车每车可坐18人，每辆160元。可以怎样租车，哪种最省钱？【分析与解答】在生活中我们常常会遇到这样的租车问题，一共48人，可以租大车，也可以租成小车，还可以大小车混租，怎样租更省钱一些呢，这肯定不是我们凭空想象出来的，这就需要我们根据题目中提供的信息来探索出最省钱的方案，采用列表法可以非常清晰的排列出可能的方案，再从中选取最合适的来。而在生活中，通常大车会相对便宜一些，所以我们先全部租大车，再逐次减少大车的数量，计算出每种情况的价格，最后进行比较。大车数量 小
13、车数量 可载人数 总租金方案13054480方案22148440方案31354520方案40448480由此可看出，租2辆大车，1辆小车最划算。17 练之有素练之有素1、张老师给同学们买纪念品。纪念品有两种不同的包装，小包装3个纪念品为一盒，每盒5元；大包装4个一盒，每盒6元。张老师要买30个，可以怎样买？哪种最省钱？2、某旅行团一共31人去北京参观博物馆，且需住宿一晚。这次出行，在最省钱的情况下，应该怎样住宿？怎样买门票呢？一共需要花多少钱？住宿 博物馆门票 房价4人间100元/天3人间90元/天个人票12元/张团体票30人共300元18 假假 设设 法法 法之趣味法之趣味 包贝尔用假设法破
14、译密码 奔跑吧，兄弟！某一期的节目中，需要兄弟团解决问题找到数字来破解密码。其中聪明绝顶的包贝尔，就用到了假设法，我们的BABY一脸蒙圈，惊呆了！包贝尔是这样使用的假设法：19 对于包贝尔的完美假设，陈赫表示很震惊！甚至不能接受鸡和兔子抬脚的观念！其实鸡和兔子是不会那么配合抬脚的！可我们只是要在大脑里这样假设，让我们方便思考！小赫赫，不必太较真！到底什么是假设法呢？待我向你一一解密！20 解之有法解之有法 假设法是根据已知信息或者结论作出某种假设，然后按已知条件进行推算，事实与假设之间在数量上会出现差异，再追究造成差异的原因，接着根据差异的原因求出一个未知量，最后得到正确的结果。学之有道学之有
15、道例1.笼子里一共有35只鸡和兔，94只脚，你知道这个笼子里鸡有几只？兔有几只吗？【分析与解答】假设35只全是兔子，那么脚的数量应该是35x4=140只，但实际只有94只脚，为什么假设全是兔子后，脚会变多呢？原来鸡只有2只脚，兔子有4只脚把鸡当成兔子后，每只鸡就多算了4-2=2只脚，所以脚就多了140-94=46只。一只鸡多算了2只脚，那多少只鸡才能多出46只脚呢？接下来是不是就可以找到鸡的只数啦？35x4=140（只）140-94=46（只）4-2=2（只）鸡的只数：462=23（只）兔的只数：（94-46）4=12（只）答：有23只鸡，有12只兔子。21 假设法主要是要根据我们的假设与题目
16、中的信息构成矛盾或者差异，而出现的矛盾或差异就是我们解题的关键之处。故事中的题目，我们还可以这样假设：假设每只兔子都抬起两只脚的话，这样每只动物都是2只脚，那35只动物就只有35x2=70只脚，少了94-70=24只脚，为什么会少呢？原来，每只兔子都少了4-2=2只脚，那么我们就可以知道有242=12只兔子。鸡的只数就有35-12=23只。解法二：35x2=70只 94-70=24只 4-2=2只兔的只数：242=12只鸡的只数：35-12=23只答：有23只鸡，有12只兔子。22 上面的两种解法都是在用假设法解鸡兔同笼问 题。鸡兔同笼问题是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前，孙子算经中
17、就记载了这个有趣的问题，书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数有94只脚问笼中各有几只鸡和兔？这个问题古人还有更巧妙的假设哦！23 （1）假设让鸡抬起一只脚，兔子抬起两只脚，那么鸡脚和兔脚都是原来的一半，那脚的总数应该还有942=47只脚。（2）这时每只鸡一只脚，每只兔子两只脚。笼子里只要有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1.（3）这时脚的总数与头的总数之差47-35=12，就是兔子的只数。这就是假设法，你找到了它在鸡兔同笼问题中的使用秘诀了吗？24 练之有素练之有素 1：笼中
18、共有30只鸡和兔，数一数足数正好100只。请问鸡、兔各有多少只？2：有5元和10元的人民币共12张，共100元。问5元币和10元币各多少张？3:某次数学竞赛共有12道题，每道题做对得10分，每做错或不做都扣8分。王亮最后得了66分，他答对了几道题？25 学之有道学之有道 假设法还可以巧妙地解决一些其他的应用题：例二：学校有排球和足球共58个，排球借出后，还比足球多8个。原来排球和足球各有多少个？【分析与解答】先画出线段图，从图中可以看出，假设足球增加8个，就和排球借出后剩下的同样多。以排球原有的个数为单位“1”，足球增加8个后，相当于排球个数的26 上面的例题是通过把真实的情节假设为虚构的，使
19、原来不易产生对应关系的“量”和“率”产生对应。练习：姐妹俩养兔120只，如果姐姐卖掉，还比妹妹多10只，姐姐和妹妹各养了多少只兔?学之有道学之有道 除此以外，我们还可以把不同的分率（倍数）假设为相同的分率（倍数），再分析产生差异的原因。比如:例3：六年级一班和二班共有学生96人，现在抽一班人数的与二班人数的，组成66人的鼓号队。六年级一班和二班各有学生多少人？【分析与解答】假设二班也抽出就和条件“抽一班人数的最与二班人数的，组成66人的鼓号队“产生差异”。如果两个班都抽出，就抽出了96=72（人），比实际多抽出72-66=6（人），这6人就是二班人数的与二班人数的相差的人数。这样就可以求出原来
20、二班有27答：六年级一班有学生56人，二班有学生40人。练之有素练之有素练习1：姐妹俩养兔120只，如果姐姐卖掉，还比妹妹多10只，姐姐和妹妹各养了多少只兔?练习2：果园里的苹果树是梨树的3倍，老王师傅每天给50棵苹果树20棵梨树施肥，几天后，梨树全部施上肥，但苹果树还剩下80棵没施肥。请问：果园里有苹果树和梨树各多少棵？28转转 化化 法法法之有趣法之有趣 爱迪生是个大发明家，电灯，是他奉献给人类的发明之一。他一辈子有过上千种发明，高峰期几乎三天二日就有一次发明。有一次，他想要测定灯泡的体积。他将这个问题交给了数学系毕业的助手 去解决。助手是数学系毕业的，他分别测量灯泡的球径，圆柱的半径和高
21、度，然后计算球的体积和圆柱的体积。这类计算要用到很复杂的数学知识，但结果也是近似的。过了几天，爱迪生催问助手。助手说，计算太烦琐，他还没有计算好呢。爱迪 生大吃了一惊，问：“这么简单的问题怎么还出不来？”助手说：“这个灯泡 不是一个规则的形状，所以量起来很麻烦。”爱迪生一言不发，拿起一个空灯泡，往水里一浸，咕嘟咕嘟地灌满了水，然后将灯泡的外壁擦干，将水往量杯里一倒，指着量筒上的刻度说：这不就是 答案吗？只见助手目瞪口呆，好半天才喃喃的说：“是的先生，的确很简单。”从这个例子可看出，解决问题的办法总是有许多个，一个行不通，就用另一个 试试。直接的行不通，可以绕一个弯，引进中介，运用间接的办法，可
22、以将难的问题转换成比较方便的问题。29 解之有法解之有法 转化策略是一种最常用的策略，是指把一个数学问题变更为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使原问题得以解决的一种策略。转化的手段和具体方法是多样而灵活的。课堂教学中遇到有些应用题，数量关系较为复杂，求解时有一定的难度，可考虑运用转化的策略方法进行解答。学之有道学之有道 例1、一个两位小数，去掉小数点后比原来的数大53.46。这个两位小数是多少？【分析与解答】题中“两位小数去掉小数点”是什么意思呢？把它换句话说就是“把这个两位小数扩大100倍，得到一个新数（整数）”。新数比原来的数大多少呢？原数是1倍数，新数是100倍数，新数比原数大10
23、0倍-1倍=99倍，这样，题中“去掉小数点后比原来的数大53.46”这个条件换句话说就是“原数的99倍等于53.46”。现在，题中的数量关系就明朗了，原来的问题也就转化成一个我们早已会解的、比较简单的新问题了：“一个数的99倍是53.46，求这个数。”原来这个数是：53.46（100-1）=0.54 30 练之有素练之有素 1、一个两位小数，去掉小数点后比原来的数大482.13，原来这个小数是多少？2、一个两位小数，去掉小数点后比原来大35.64，求原来的两位小数。31学之有道学之有道例2、4本日记本和8本练习本的价钱相等。小明买3本日记本和5本练习本，共用去2.2元。问日记本和练习本的单价各
24、是多少元？【分析与解答】把“4本日记本和8本练习本价钱相等”换句话说，就是“1本日记本和2本练习本价钱相等”；再把它换句话说，就是“3本日记本和6本练习本价钱相等”；把它也换句话说，就是“3本日记本可以换成6本练习本”，与题目中的第2个条件“3本日记本和5本练习本，共用去2.2元”一比较，可知，“买6本练习本和5本练习本，共用去2.2元”。这样，容易先算出每本练习本的价钱是：2.2（6+5）=0.2（元）从而，日记本的单价是：0.22=0.4（元）32 练之有素练之有素1、用10元钱买0.5元的练习本和2.5元的日记本共12本，买练习本和日记本各多少本？2、某人带一笔钱到菜场买菜，他用这笔钱可
25、以买4千克西红柿，也可以买6千克黄瓜。如果他既想买西红柿又想买黄瓜，且西红柿和黄瓜的千克数一样。问他可以买西红柿和黄瓜一共多少千克？33 例2、两个数相除的商是21，余数是3。如果把被除数、除数、商和余数相加，它们的和是225。被除数、除数 各是多少？【分析与解答】【分析与解答】我们知道，在有余数的除法里，商和除数相乘，再加上余数，结果等于被除数。题目中前一句话换个说法就是：被除数比除数的21倍还多3。再换个说法就是：被除数与除数的和比除数的“21+1”倍还多3。题目中第二句话换个说法是：被除数与除数的和是225-（21+3）=201。整个题目的意思换个说法就是：201比除数的22倍多3。从而
26、可以先求出除数是：（201-3）22=9从而，可求出被除数是：219+3=192。所以，除数：（201-3）22=9 被除数：219+3=192答：除数是9，被除数是192.学之有道学之有道34 练之有素练之有素1、两个数相除的商是7.83，如果把被除数和除数的小数点同时向右移动一位，商是多少？2、两个数相除,商22,余数是8,被除数、余数、商、除数的和是866，被除数、除数各是多少？35 学之有道学之有道 例3、如图112，正方形ABCD中，AB=4厘米，三角形 BCF的面积比三角形DEF的面积多2平方厘米。求DE的长。【分析与解答】要求DE的长，好像应当知道三角形DEF的面积及DF的长才行
27、，这两个条件题目中都没有。仔细观察图形，我们可以发现：三角形BCF的面积比三角形DEF的面积多出的2平方厘米，不就是正方形ABCD的面积比三角形ABE面积多的部分吗？于是，求出DE的长是：（44-2）24-4=1424-4 =3（厘米）答：DE长3厘米。36 练之有素练之有素 1、求图形的周长：373、一块长方形花圃。如果长增加4米，面积就增加24平方米；如果宽减少3.5米，面积就减少28平方米。原来长方形花圃的面积是多少平方米？2、求涂色部分的面积（单位：平方厘米）38倒倒 推推 法法 法之有趣法之有趣 王明的奶奶一大早就出门去卖鸡蛋，第一个人买了一半加一个，第二个人买了剩下的一半也加一个，
28、第三个人也是买了剩下的一半也加一个，第四个人也是这样，最后老奶奶回到家篮子里只剩1个鸡蛋，王明得知买鸡蛋的四个人买法后，一下就说出奶奶开始篮子里有46个鸡蛋，你知道他是怎么算出来的吗？解之有法解之有法 有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的条件一步一步地列出算式求解，过程比较繁琐。所以，解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加与减、乘与除之间的互逆关系，从后到前一步一步地推算，这种思考问题的方法叫倒推法。倒推法。39 学之有道学之有道例例1:1:甲、乙、丙三人共有人民币168元，第一次甲拿出与乙相同的钱数给乙；第二次乙拿出与丙相同的钱数给丙；第三次丙拿出与这时甲相同的钱数给甲。这样，甲、乙、丙
29、三人的钱数相等，原来甲比乙多多少元钱？【分析与解答】【分析与解答】根据题意，由最后甲钱数是168356元可推出：第一次甲拿出与乙同样的钱数给乙后，甲剩下的钱是56228元，这28元就是原来甲比乙多的钱数。1683228元 答：原来甲比乙多28元。40 练之有素练之有素1 甲、乙、丙三个班共有学生144人，先从甲班调出与乙班相同的人数给乙班，再从乙班调出与丙班相同的人数到丙班。再从丙班调出与这时甲班相同的人数给甲班，这样，甲、乙、丙三个班人数相等。原来甲班比乙班多多少人？2 甲、乙、丙三个盒子各有若干个小球，从甲盒拿出4个放入乙盒，再从乙盒拿出8个放入丙盒后，三个盒子内的小球个数相等。原来乙盒比
30、丙盒多几个球？3 甲、乙、丙三个仓库面粉袋数的比是6：9：5，如果从乙仓库拿出400袋平均分给甲、丙两仓库，则甲、乙两个仓库的数量相等。这三个仓库共存面粉多少袋？41 学之有道学之有道 例2：一本文艺书，小明第一天看了全书的3(1)，第二天看了余下的5(3)，还剩下48页，这本书共有多少页？【分析与解答】【分析与解答】从“剩下48页”入手倒着往前推，它占余下的15(3)5(2)。第一天看后还剩下485(2)120页，这120页占全书的13(1)3(2)，这本书共有1203(2)180页。即 48（15(3)）（13(1)）180（页）答：这本书共有180页。42 练之有素练之有素1 某班少先队
31、员参加劳动，其中7(3)的人打扫礼堂，剩下队员中的8(5)打扫操场，还剩12人打扫教室，这个班共有多少名少先队员？2 一辆汽车从甲地出发，第一天走了全程的8(3)，第二天走了余下的3(2)，第三天走了250千米到达乙地。甲、乙两地间的路程是多少千米？3 把一堆苹果分给四个人，甲拿走了其中的6(1)，乙拿走了余下的5(2)，丙拿走这时所剩的4(3)，丁拿走最后剩下的15个，这堆苹果共有多少个？43 学之有道学之有道例3：筑路队修一段路，第一天修了全长的5(1)又100米，第二天修了余下的7(2)，还剩500米，这段公路全长多少米？【分析与解答】【分析与解答】从“还剩500米”入手倒着往前推，它占
32、余下的17(2)7(5)，第一天修后还剩5007(5)700米，如果第一天正好修全长的5(1)，还余下700+100800米，这800米占全长的15(1)5(4)，这段路全长8005(4)1000米。列式为：【500（17(2)）+100】（15(1)）1000米 答：这段公路全长1000米。44 练之有素练之有素1 一堆煤，上午运走7(2)，下午运的比余下的3(1)还多6吨，最后剩下14吨还没有运走，这堆煤原有多少吨？2 用拖拉机耕一块地，第一天耕了这块地的3(1)又2公顷，第二天耕的比余下的2(1)多3公顷，还剩下35公顷，这块地共有多少公顷？3 一批水泥，第一天用去了2(1)多1吨，第二
33、天用去了余下3(1)少2吨，还剩下16吨，原来这批水泥有多少吨？45 学之有道学之有道 例4：有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出3(1)给乙桶后，又从乙桶中倒出5(1)给甲桶，这时两桶油各有24千克，原来甲、乙两个桶中各有多少千克油？【思路导航【思路导航】从最后的结果出发倒推，甲、乙两桶共有（242）48千克，当乙桶没有倒出5(1)给甲桶时，乙桶内有油24（15(1)）30千克，这时甲桶内只有483018千克，而甲桶已倒出3(1)给了乙桶，可见甲桶原有的油为18（13(1)）27千克，乙桶原有的油为482721千克。甲：【24224（15(1)）】（13(1)）27（千克）乙：2422721（千克）
34、答：甲桶原有油27千克，乙桶原有油21千克。46 练之有素练之有素1 小华拿出自己的画片的5(1)给小强，小强再从自己现有的画片中拿出4(1)给小华，这时两人各有画片12张，原来两人各有画片多少张？2 甲、乙两人各有人民币若干元，甲拿出5(1)给乙后，乙又拿出4(1)给甲，这时他们各有90元，他们原来各有多少元？3 一瓶酒精，第一次倒出3(1)，然后倒回瓶中40克，第二次再倒出瓶中酒精的9(5)，第三次倒出180克，瓶中好剩下60克，原来瓶中有多少克酒精？47 学之有道学之有道 例5：甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出4(1)到乙仓库后，又从乙仓库运出4(1)到甲仓库，这时甲、乙两仓库
35、的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？【思路导航】【思路导航】解题关键是把两个仓库粮食的和看作“1”，由题意可知，从乙仓库运出4(1)到甲仓库，乙仓库最后占两仓库和的2(1)。当乙仓库没有往甲仓库运时，乙仓库占两仓库和的几分之几？2(1)（14(1)）3(2)甲仓库占两仓库和的几分之几？13(2)3(1)甲仓库原来占两仓库和的几分之几？3(1)（14(1)）9(4)原来甲仓库时乙仓库的几分之几？4（94）5(4)答：原来甲仓库的粮食是乙仓库的5(4)。48 练之有素练之有素1 甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出3(1)到乙仓库后，又从乙仓库运出3(1)到甲仓库，这时甲、乙
36、两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？2 甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出5(1)到乙仓库后，又从乙仓库运出4(1)到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？3 甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出3(1)到乙仓库后，又从乙仓库运出5(2)到甲仓库，这时乙仓库的粮食是甲仓库的10(9)。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？49 法之有趣法之有趣 曹冲称象曹冲称象 早在一千七百多年前的一天，吴国的孙权送给魏国领袖曹操一只大象，长久居住在中原的曹操从来没有看过这种庞然大物，好奇地想知道这个大怪物的体重到底有多重？于是，他对着臣
37、子们说：“谁有办法把这只大象称一称？”当时，大臣们为此热烈讨论着最好的办法 在大家一筹莫展的时候，曹操七岁的儿子曹冲，突然开口说：“我知道怎么秤了！”他请大家把大象赶到一艘船上，看船身沉入多少，在船身上做了一个记号。然后又请大家把大象赶回岸上，把一筐筐的石头搬上船去，直到船下沈到刚刚画的那一条线上为止。接着，他请大家把在船上的石头逐一称过，全部加起来就是大象的重量了！曹冲想到把大象替换成同样重量的石头，称出石头的重量，就知道大象的体重了。这就是运用的“替换策略”!替换策略替换策略50 解之有法解之有法 所谓替换策略,就是用一种相等的数值、数量、关系、方法、思想去替代变换另一种数值、数量、关系、
38、方法、思路的一种策略.运用这种策略解题,可以化繁为简、化难为易,不仅拓宽解题思路,而且优化解题方法.在问题迎刃而解的同时,发展了我们的思维,提高了我们的解题能力.根据替换的形式,可以把替换分为数值替换、数量替换、关系替换、方法替换、思路替换等等.学之有道学之有道替换策略可以用在图形猜数字里哟。替换策略可以用在图形猜数字里哟。5152 学之有道学之有道 替换策略还可以解决生活中的实际问题替换策略还可以解决生活中的实际问题例1：爷爷买了6千克梨和8千克苹果，共用了50元，梨的单价是苹果的2倍，求苹果和梨的单价各是多少元？【分析与解答】【分析与解答】关键信息关键信息：梨的单价是苹果的2倍。我们可以将
39、1千克梨替换成2千克苹果，即：1千克梨=21千克苹果。因此，题目可理解为：爷爷买了62千克苹果和8千克苹果，共用了50元，这样我们就可以算出苹果的单价了。62820（千克）50202.5（元）再算出梨的单价：2.525（元）答：苹果的单价是2.5元，梨的单价是5元。解法二：解法二：同样的道理，我们可以将8千克苹果替换成82=4千克梨，这样我们可以算出梨的单价：50（64）5（元）梨的单价是苹果的2倍，那么苹果了的单价：522.5（元）答：苹果的单价是2.5元，梨的单价是5元。53 练之有素练之有素 1：达能饼干的钙含量相当于1杯牛奶的钙含量。小明早餐吃了12块饼干，喝了1杯牛奶，钙含量共计50
40、0毫克。你知道每块饼干的钙含量大约是多少毫克吗？1杯牛奶呢？2：王老师用31.5元买了4支钢笔和9支圆珠笔，圆珠笔的价格是钢笔的1/3,每支圆珠笔和每支钢笔的单价各是多少元？3：甲乙两数之和如果加甲数得170，如果加乙数得130，加、乙两数之和是多少？54枚枚 举举 策策 略略 法之有趣法之有趣55 枚举策略枚举策略 枚举也称作穷举，指的是从问题所有可能的解的集合中一一枚举各元素。在进行归纳推理时，如果逐个考察了某类事情的所有可能情况，因而得出一般结论，那么这结果是可靠的，这种方法叫做枚举法。从这里可以看出枚举法要将问题的所有可能的答案一一列举，然后根据条件判断此答案是否合适，合适就保留，不合
41、适就丢弃。学之有道学之有道例1.妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，有多少种不同的吃法？【分析与解答】【分析与解答】需要考虑吃的天数和吃的顺序不同。一天吃完：7；两天吃完：5+2，2+5，4+3，3+4；三天吃完：3+2+2，2+3+2，2+2+3。答：一共有8种不同的吃法。56 例2：有面值为1分，2分，5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。问：有多少种不同的支付方法?【分析与解答】【分析与解答】要付2角3分钱,最多只能使用4枚5分币.因为全部1分和2分币都用上时,共值12分,所以最少要用3枚5分币.当使用3枚5分币时,53=15,23-15=8,所以使用2分币最多4枚,最少2枚,可有23=15+(2+2+2+2),23=15+(2+2+2+1+1),23=15+(2+2+1+1+1+1),答：共3种支付方法。57 练之有素练之有素1、用0、1、2三个数字可以组成哪些三位数(每个数不得用相同的数字)?并把它们按照从大到小的顺序排列起来。2、用3、0、2、8可以组成哪些没有重复数字的四位数?一共可以组成多少个?3.小强在暑假中要做语文、数学、外语三科作业，他今天做这科，明天做另一科。如果第一天小强做数学，到第五天他仍做数学，那么他有多少种不同的做题方式?4、小明有4块糖，每天至少吃一块，也可以一下全吃完。问小明把糖吃完有多少种不同的方法?5859
