1、h11.3.1利用导数判断函数的单调性利用导数判断函数的单调性h2复习复习 1.函数的单调性函数的单调性:对于任意的两个数对于任意的两个数x1，x2I，且当，且当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么函数，那么函数f(x)就是区间就是区间I上的上的增函数增函数.对于任意的两个数对于任意的两个数x1，x2I，且当，且当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么函数，那么函数f(x)就就是区间是区间I上的上的减函数减函数.2.导数的概念及其四则运算导数的概念及其四则运算h3引入新课引入新课 竖直上抛一个小沙袋，沙袋竖直上抛一个小沙袋，沙袋的高度的高度h是时间是时间t的函数，设的
2、函数，设h=h(t)，其图象如图所示。，其图象如图所示。横轴表示时间横轴表示时间t，纵轴表示沙袋的高度，纵轴表示沙袋的高度h,设沙袋的最高点为设沙袋的最高点为A，其横坐标为，其横坐标为t=t0.先考察沙袋在区间先考察沙袋在区间(a，t0)的运动情况：的运动情况：根据生活经验，我们知道，在这个区间根据生活经验，我们知道，在这个区间内，沙袋向上运动，其竖直向上的瞬时速内，沙袋向上运动，其竖直向上的瞬时速度大于度大于0，h4即在区间即在区间(a，t0)，0lim()0thh tt 我们说在此区间内，函数我们说在此区间内，函数h=h(t)是增函数是增函数.再考察沙袋在区间再考察沙袋在区间(t0，b)的
3、运动情况：的运动情况：在这个区间内，沙袋向下运在这个区间内，沙袋向下运动，其竖直向上的瞬时速度动，其竖直向上的瞬时速度小于小于0，即在区间，即在区间(t0，b)，0lim()0thh tt 我们说在此区间内，函数我们说在此区间内，函数h=h(t)是减函数。是减函数。h5用函数的导数判断函数单调性的法则：用函数的导数判断函数单调性的法则：1如果在区间如果在区间(a，b)内，内，f(x)0，则，则f(x)在此区间是增函数，在此区间是增函数，(a，b)为为f(x)的的单调单调增区间增区间；2如果在区间如果在区间(a，b)内，内，f(x)0时，时，s(t)是增函数；是增函数；当当v(t)=s(t)0，
4、则，则f(x)在这个区间上是在这个区间上是增函数增函数；如果函数如果函数y=f(x)在在x的某个开区间内，总的某个开区间内，总有有f(x)0，解此不等式得，解此不等式得 4133x或或4133x因此，区间因此，区间 413413(,)(,)33和为为f(x)的单调增区间；的单调增区间；h12令令3x28x+10，解此不等式得，解此不等式得 41341333x 因此，区间因此，区间 为为f(x)的单调的单调减区间。减区间。413413(,)33h13例例4证明函数证明函数f(x)=在在(0，+)上是减上是减函数函数.x1证明：证明：f(x)=()=(1)x2=，1x21xf(x)=在在(0，+)
5、上是减函数上是减函数.1x220,0,10.()0 xfxxx 即h14例例5求函数求函数y=x2(1x)3的单调区间的单调区间.解：解：y=x2(1x)3 =2x(1x)3+x23(1x)2(1)=x(1x)22(1x)3x =x(1x)2(25x)令令x(1x)2(25x)0，解得，解得0 x .52 y=x2(1x)3的单调增区间是的单调增区间是(0，)25h15 令令x(1x)2(25x)0，解得解得x0或或x 且且x1.25 x=1为拐点，为拐点，y=x2(1x)3的单调减区间是的单调减区间是 (，0)，(，+)25h16练习题练习题1函数函数y=3xx3的单调增区间是的单调增区间是
6、()(A)(0，+)(B)(，1)(C)(1，1)(D)(1，+)Ch172设设f(x)=x (x0,即即f(x)0,2函数函数f(x)=ln(cosx)在区间在区间(,0)上是上是增函数。增函数。2h218当当x1时，证明不等式：时，证明不等式：123xx证明：设证明：设f(x)=123xx 显然，显然，f(x)在在1，)上连续，且上连续，且f(1)=0 f(x)=211xx11(1)xx x x1,0，于是，于是f(x)0.11x x 故故f(x)是是1，+)上的增函数，应有：上的增函数，应有：当当x1时，时，f(x)f(1)=0，即当即当x1时，时，123xxh22能力提高题能力提高题h23h24h25h26h27h28h29h30h31h32h33(3x2)min=3h34h35h36h37h38h39将此题变为：函数在将此题变为：函数在(2,3)上为增函数，如何求？上为增函数，如何求？h404.1,ln(1).xxx例 已知求证()ln(1),(1)1()1;110,()0()(1,)1,()ln(1)(1)1 ln20f xxxxxfxxxxfxf xxf xxxf 证明：设则在上是增函数.当时1,ln(1).xxx当时
