1、h1h2观察现实生活中的各种球形观察现实生活中的各种球形h3圆的定义圆的定义平面内平面内到一个到一个定点定点距离距离等于定长等于定长的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做圆圆。圆只是一条曲线，而不是一个圆只是一条曲线，而不是一个“圆面圆面”。圆面圆面：平面内到一个定点的距离：平面内到一个定点的距离小于或等于小于或等于定长定长的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做圆面圆面。问题问题：谁能模仿圆和圆面，给球面和球下定义？：谁能模仿圆和圆面，给球面和球下定义？定义定义1 1：到一个定点的距离：到一个定点的距离等于等于定长的点的集合定长的点的集合是一个是一个球面球面。定点。定点球心球心，定长，定长球半径球半径定义定义2
2、2：到一个定点的距离：到一个定点的距离小于或等于小于或等于定长的点定长的点的集合是一个的集合是一个球体球体（简称（简称“球球”）。）。h4一、球的概念一、球的概念:半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体球面所围成的几何体叫做球体.将圆心为将圆心为O的半圆（及其内部）绕其直径所的半圆（及其内部）绕其直径所在的直线旋转一周，所形成的几何体叫做球在的直线旋转一周，所形成的几何体叫做球与定点与定点(圆心圆心)的距离等于或小于定长的距离等于或小于定长(半径半径)的点的集合叫做球体，简称球的点的集合叫做球体，简称球.球的旋转
3、定义球的旋转定义球的集合定义球的集合定义1.球的定义球的定义h52.球的有关概念球的有关概念球体与球面的区别：球体与球面的区别：球面：半圆以它的直径为旋转轴球面：半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面旋转所成的曲面.球球(即球体即球体):球面所围成的几何体球面所围成的几何体.它包括它包括球面和球面所包围的空间球面和球面所包围的空间.半圆的圆心叫做半圆的圆心叫做球心球心.一个球用它的球心字母一个球用它的球心字母 来表示，例如来表示，例如 球球O.连结球心和球面上任意一点的连结球心和球面上任意一点的 线段叫做球的半径（线段线段叫做球的半径（线段OP).连结球面上两点并经过球心的连结球面上两点并经过
4、球心的 线段叫做球的直径（线段线段叫做球的直径（线段AB).OABPh6问题问题：一条：一条直线直线与与圆圆相交，在相交，在圆内圆内的部分是的部分是什么图形？什么图形？把把直线直线换成换成平面平面，圆圆换成换成球球，即用一个平面，即用一个平面去截球，去截球，情况又怎样呢情况又怎样呢？我们用一个平面去截一个球我们用一个平面去截一个球,是是 什么图形呢？什么图形呢？圆面圆面二、球的截面二、球的截面h7rdRO2.球心到截面的距离球心到截面的距离d与球的半径与球的半径R和截面半和截面半径径r有下面的关系有下面的关系:1.球心和截面圆心的连线垂直于该截面球心和截面圆心的连线垂直于该截面22dRr用一个
5、平面去截一个球用一个平面去截一个球,截面是圆面截面是圆面(黄色圆面黄色圆面).).截面的性质：截面的性质：截面的定义：截面的定义：h8大小圆的定义：大小圆的定义：1.大圆：大圆：球面被球面被经过球心经过球心的平面截得的圆叫做大圆的平面截得的圆叫做大圆.如如 O(浅蓝色圆面）浅蓝色圆面）.oO 2.小圆：球面被小圆：球面被不经过球不经过球心心的平面截得的圆叫做小的平面截得的圆叫做小圆圆.如如 O(黄色圆面）黄色圆面）.问题：问题：在球中，球心到截面的距离在球中，球心到截面的距离 与截面圆的大小与截面圆的大小 有什么关系？有什么关系？d 30.dR当时，截面称作小圆 20,.dRr当时，截面和球相
6、切 10,.dRr当时，则截面圆最大 称作大圆2222dRrrRd由h9R?半球半球V高等于底面半径的旋转体体积对比高等于底面半径的旋转体体积对比三、球的体积和表面积三、球的体积和表面积3333VRR圆柱313VR圆锥3232:,.3434RRRVV半球表面积为：猜测从而h10OABCO 例例1:已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心 O的距离等于球半径的一半，且的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，表面积，求球的体积，表面积解：如图，设球解：如图，设球O半径为半径为R，截面截面 O的半径为的半径为r，,2RO OABC是正三角形232 3O
7、 AABr323h11OABCO 例例1:已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心 O的距离等于球半径的一半，且的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，表面积，求球的体积，表面积222,Rt OO AOAO OO A在中222R2 3R()()234R333444256()33381VR21664S4499Rh124.若两球体积之比是若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是_.练习练习1:241:2 231:41.若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2倍倍,则半径变为原来则半径变为原来的的_倍倍.2.若球半径变为原来的若
8、球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来倍，则表面积变为原来的的_倍倍.3.若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是，则其体积之比是_.h132.一个正方体的顶点都在球面上一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是它的棱长是4cm,这个球的体积为这个球的体积为cm3.8 3323.有三个球有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一球切于正一球切于正方体的各侧棱方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点一球过正方体的各顶点,求这三个求这三个球的体积之比球的体积之比_.1.球的直径伸长为原来的球的直径伸长为原来的2倍倍,体积变为原来的倍体积变为原来的倍.练习练习2:33:22:1h
9、147.将半径为将半径为1和和2的两个铅球，熔成一个大铅球，的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的表面积是那么这个大铅球的表面积是_.6.若两球表面积之差为若两球表面积之差为48,它们大圆周长之和为它们大圆周长之和为12,则两球的直径之差为则两球的直径之差为_.9练习练习2:4312 35.长方体的共顶点的三个侧面积分别为长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ，则它的外接球的表面积为则它的外接球的表面积为_.3,5,15h15四、球面距离四、球面距离h16纬度：纬度：P的纬度是指球半径的纬度是指球半径OP和赤道平面所成的角度和赤道平面所成的角度 PA纬度是线面角纬度是线面角h17经过经过P点
10、的经线与地轴确点的经线与地轴确定的半平面定的半平面和和本初子午本初子午线与地轴确定的半平面线与地轴确定的半平面所成的二面角的度数所成的二面角的度数（即（即AOB的度数）的度数）经度：经度：PBOAMQ经度是二面角经度是二面角h18纬线是与赤道所在平面平行的截面圆，纬线纬线是与赤道所在平面平行的截面圆，纬线上的度数叫做纬度，纬度是纬线上的点与球心上的度数叫做纬度，纬度是纬线上的点与球心连线和赤道所在平面所成的角的度数，即线面连线和赤道所在平面所成的角的度数，即线面角的度数角的度数.若点若点P P在北半球，就是北纬多少度；在北半球，就是北纬多少度；若点若点P P在南半球，就是南纬多少度在南半球，就
11、是南纬多少度经线上的度数叫做经度，经度的概念与二面经线上的度数叫做经度，经度的概念与二面角的度数有关角的度数有关.经度差是经线与地轴所确定平面经度差是经线与地轴所确定平面的两个半平面的二面角大小，的两个半平面的二面角大小，.若旋转是向东进若旋转是向东进行的，则点行的，则点P P的经度就是东经多少度，若旋转是的经度就是东经多少度，若旋转是向西进行的，则点向西进行的，则点P P的经度就是西经多少度的经度就是西经多少度.h19 假如你要乘坐从北京直飞纽约的飞机假如你要乘坐从北京直飞纽约的飞机,设设想一下想一下,它需要沿着怎样的航线飞行呢它需要沿着怎样的航线飞行呢?航程大航程大约是多少呢约是多少呢?(
12、3)这无数条弧长哪条最短这无数条弧长哪条最短?(1)北京和纽约间的距离是一条线段的长吗北京和纽约间的距离是一条线段的长吗?(2)经过球面上的这两点有多少条弧呢经过球面上的这两点有多少条弧呢?我们不妨先看一个例子！我们不妨先看一个例子！不是不是,是一端圆弧的长是一端圆弧的长.无数条无数条.h20例例1：已知地球半径为：已知地球半径为R,A、B两点均位于北纬两点均位于北纬45度线上，其经度差为度线上，其经度差为90度度.求求(1)在北纬在北纬45度圈上劣弧度圈上劣弧 的长度的长度;(2)在经过在经过A、B两地的大圆上劣弧两地的大圆上劣弧 的长度的长度.ABABOO1ABm11(1)90,BOOOO
13、 BOBR解：在中，11245,2OBOBOR1190,ABOAO BABR在中，h21AB纬圆中纬圆中 的长度为的长度为OO1ABmA3R 大圆中劣弧大圆中劣弧 的长度为的长度为AmB22224RR(2)60AOBAOOBABRAOB在中，3R大圆中劣弧的长度为h22大圆中大圆中 的的长度小于纬圆长度小于纬圆中中 长度长度AmBABOO1ABmh23球面上两点之间的最短连球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一点的大圆在这两点间的一段劣孤的长度段劣孤的长度.即：球面距离是球面上即：球面距离是球面上过两点的大圆在这两点过两点的大圆在这两点之间的劣
14、弧的长度之间的劣弧的长度.P PQ QO1.定义定义四、球面距离h24图中的弧图中的弧 的长度就是的长度就是AB 两点的球面距离两点的球面距离.AB.BAO关键：球心角关键：球心角(弧度弧度),.AOBRABR设球心角球半径为则弧长2.两点的球面距离公式两点的球面距离公式球面上两点距离不能通过解三角形直接求得，球面上两点距离不能通过解三角形直接求得，一般地是先求出大圆半径一般地是先求出大圆半径R和这两点在大圆上和这两点在大圆上的劣弧所对的圆心角的劣弧所对的圆心角，再求出弧长，再求出弧长.飞机、轮船都是尽可能以大圆弧为航线航行飞机、轮船都是尽可能以大圆弧为航线航行.h25 结合平面几何知识结合平
15、面几何知识:在以两个定点为端点的弧在以两个定点为端点的弧中，半径越大弧长越小中，半径越大弧长越小.(见右图）显然，在球面见右图）显然，在球面上北京、纽约间的最短距离是过这两点的大圆上上北京、纽约间的最短距离是过这两点的大圆上劣弧的长劣弧的长.P PQ Q.理论根据理论根据OO1ABmh26例例2：我国首都靠近北纬：我国首都靠近北纬60 纬线。求北纬纬线。求北纬60 纬线纬线的长度约等于多少的长度约等于多少km（地球半径约为（地球半径约为6 370km）.OAB轴截面轴截面BOK60 Ah27解：解：如图，如图，A是北纬是北纬60 纬线上的一点，纬线上的一点，AK是它的半是它的半径，所以径，所以
16、OKAK.设设c是北纬是北纬60 的纬线长，因为的纬线长，因为AOB=OAK=60，所以，所以c=2AK 答：北纬答：北纬60 纬线长约等于纬线长约等于2.0015 104km.C2.0015 104（km）.2 3.142 6370 0.5=2OAcosOAKABOK60 由计算器算得由计算器算得2cos60OAh281.位于同一经线上两点的球面距离位于同一经线上两点的球面距离例例3.求东经求东经线上，纬度分别为北纬线上，纬度分别为北纬和和的两地的两地A，B B的球面距离的球面距离(设地球半径为设地球半径为R).386857赤道赤道AOB，根据，根据A，B B的球面距离为的球面距离为68又E
17、OBEOA38,30lR6lR6R6R解解 EOBEOA,AOB O O N N S S E E A A B B二二.应用举例应用举例h29练习：练习：已知地球的半径为已知地球的半径为 6371km,上海的位置约为东上海的位置约为东经经1210,北纬北纬310，台北的位置约为东经，台北的位置约为东经1210,北纬北纬250,求两个城市间的距离。求两个城市间的距离。他他们们在在同同一一个个大大圆圆上上上上，上上海海与与台台北北在在同同一一经经线线 OAB62531AOB3606637126371 的的弧弧长长ABrh30AOB练习：练习：已知地球的半径为已知地球的半径为 6371km,北京的位置
18、约为东北京的位置约为东经经1160,北纬北纬400，纽约的位置约为西经，纽约的位置约为西经740,北纬北纬400,求两个城市间的距离。求两个城市间的距离。1OCD1707411636040)(,CODBODAOC4063716371222222222cos,cos,cosODOCOBOAOBOAABOBOAAOBCODODOCODOCCDAB其其中中由由余余弦弦定定理理，得得：489916470.cosAOBAOB36099.4863712 的的弧弧长长ABh31（1 1）设地球的半径为）设地球的半径为R R，在北纬，在北纬30 30 纬线上有甲纬线上有甲乙两地，它们的经度相差乙两地，它们的经
19、度相差120 120 ，那么这两地的，那么这两地的纬线的长为纬线的长为_.33R填空题填空题:AKB地地轴轴C C赤赤 道道经度经度120120纬度纬度30303030O ORt AKO解：中3302AKOA COSR 2333AKR甲乙两地弧长h32（2）设地球的半径为）设地球的半径为R，在北纬，在北纬30 圈上有圈上有A、B两点，它们的经度相差两点，它们的经度相差180 ，则，则A、B两点的球面两点的球面距离是距离是_.AKB地地轴轴C C赤赤 道道3030O O30303030P（2）解：POB=30 AOB=120又又AB的球面距即大圆的球面距即大圆ACB上的劣弧上的劣弧 的长的长ACB 32R 2.3R的弧长的弧长ACB 填空题填空题:h33（4）设地球的半径为）设地球的半径为R，在北纬，在北纬45 圈上有圈上有A、B两点，它们的经度分别是东经两点，它们的经度分别是东经140 与西经与西经130 ，则，则A、B两点的球面距离是两点的球面距离是_.3R填空题填空题:（3）设地球的半径为）设地球的半径为R，在北纬，在北纬45 圈上有圈上有A、B两点，它们的经度分别是东经两点，它们的经度分别是东经110 与东经与东经20 ，则，则A、B两点的球面距离是两点的球面距离是_.3Rh34课堂小结h35
