1、不等式及其性质 引导性材料：引导性材料：1.据气象预报，某天的最高气温是据气象预报，某天的最高气温是10，最，最 低气温为低气温为-5，由此我们说这一天的气温，由此我们说这一天的气温 不低于不低于 ，并且不高于，并且不高于 ；2.统计全班同学的年龄，年龄最大者为统计全班同学的年龄，年龄最大者为16岁，岁，可以知道全班每个同学的年龄都可以知道全班每个同学的年龄都 17岁；岁；若设物体若设物体A的重量为的重量为x克；某天的气温为克；某天的气温为t；本班某同学的年龄为本班某同学的年龄为a岁，上述不等关系能用岁，上述不等关系能用 式子表示出来吗？式子表示出来吗？-510小于小于 x2，x 3，t-5，
2、t10，a 17 -7-5，3+41+4，5+312-5 a+2a+1，x+3 6，a0，(1)上述式子有哪些表示数量关系的符号？上述式子有哪些表示数量关系的符号？这些符号表示什么关系？这些符号表示什么关系？(2)这些符号两侧的代数式可随意交换这些符号两侧的代数式可随意交换 位置吗？位置吗？(3)什么叫不等式？什么叫不等式？练习：练习：1.判断下列式子哪些是不等式？为什么？判断下列式子哪些是不等式？为什么？(1)3 2 (2)a2+1 0 (3)3x2+2x (4)x 2x+1 (5)x=2x-5 (6)x2+4x 3x+1 (7)a+bc2.用用“”或或“”填空：填空：(1)4 -6 (2)
3、-1 0 (2)-8 -4(3)7+3 4+3 (4)7+(-3)4+(-3)(5)73 43 (6)7(-3)4(-3)3.用不等式表示：用不等式表示：(1)a是正数是正数 (2)a是负数是负数(3)x与与3的和小于的和小于6 (4)x与与2的差大于的差大于-1(5)x的的4倍大于等于倍大于等于7 (6)y的一半小于的一半小于3a0a0 x+36x-2-14x7y321 1.你能检验你能检验x=2及及x=3是否为方程是否为方程x+3=6 的解吗？的解吗？2.已知数值：已知数值：(1)判断判断:上述数值，哪些使不等式上述数值，哪些使不等式x+36 成立？哪些使之不成立？成立？哪些使之不成立？(
4、2)说出几个使不等式说出几个使不等式x+36成立的成立的x的值，的值，及使之不成立的及使之不成立的x的值的值.总结：判断不等式是否成立的方总结：判断不等式是否成立的方 法不等号两边的大小关系是否与法不等号两边的大小关系是否与 不等号一致不等号一致3.有理数有理数x，y在数轴上的对应点的位置在数轴上的对应点的位置 如图，用如图，用“”或或“”填空：填空：(1)x+y 0 (2)xy 0 (3)x-y 00 xy4.(1)用不等式表示：用不等式表示：x与与3的和小于等于的和小于等于6；解：解：(1)x+36；(2)x取取-5，0，2，3时不等式成立；时不等式成立；(3)x3时，时，不等式不等式x+
5、36总成立；总成立；x3时，不等式时，不等式x+36总不成立总不成立.(2)写出使上述不等式成立的几个写出使上述不等式成立的几个x的值；的值；(3)x取何值时，不等式取何值时，不等式x+36总成立？取总成立？取何值时总不成立？何值时总不成立？5.绝对值小于绝对值小于3的非负整数有的非负整数有 ；6.下列选项正确的是（下列选项正确的是（）A.a不是负数，则不是负数，则a0B.b是不大于是不大于0的数，则的数，则b0；C.m不小于不小于-1，则，则m-1；D.a+b是负数，则是负数，则a+b.市某天的最低气温是市某天的最低气温是-7，最高气温，最高气温 是是6，设这天气温为，设这天气温为t，则，则
6、 t满足的满足的 条件是条件是 .0，1，2D-7t68.依题意列不等式：依题意列不等式：（1）a的的3倍与倍与7的差是非正数；的差是非正数；（2）x与与6的和大于的和大于9且小于且小于12.解：解：（1）3a-70 （2）9x+612小结：小结：1.掌握不等式是否成立的判断方法；掌握不等式是否成立的判断方法；2.依题意列出正确的不等式依题意列出正确的不等式.（注意注意：表示不等关系的词语要用：表示不等关系的词语要用 不等号来表示，不等号来表示，“不大于不大于”即即“”，“不小于不小于”即即“”）1.什么是等式？什么是等式？2.等式的基本性质是什么？等式的基本性质是什么？3.用用“”或或“”填
7、空：填空：7+3 4+3 7+（-3）4 +（-3）73 43 7（-3）4（-3）(1)上述不等式中哪题的不等号与上述不等式中哪题的不等号与74 一致？一致？(2)观察思考，猜出不等式的基本性质观察思考，猜出不等式的基本性质-如何用数学语言表示？如何用数学语言表示？-与等式的基本性质有什么联系与区别？与等式的基本性质有什么联系与区别？不等式的三条基本性质：不等式的三条基本性质：1.不等式两边都不等式两边都加上加上（或（或减去减去）同一个）同一个 数或同一个整式数或同一个整式，不等号的方向不变；，不等号的方向不变；2.不等式两边都不等式两边都乘乘（或（或除以除以）同一个）同一个 正数正数，不等
8、号的方向不变；，不等号的方向不变；3.*不等式两边都不等式两边都乘乘（或（或除以除以）同一个）同一个 负数负数，不等号的方向改变，不等号的方向改变；数学语言表示的性质：性质1.如果ab,那么a+cb+c,a-cb-c性质2.如果ab,c0,那么acbc,a/cb/c性质3.如果ab,c0,那么acbc,a/cb,那么bb,bc,那么ac解：解：(1)根据不等式基本性质根据不等式基本性质1，两边都，两边都 加上加上2，得，得 x-2+23+2 x5(2)根据不等式基本性质根据不等式基本性质1，两边都减去，两边都减去5x，得得 6x-5x5x-1-5x x-1例例1.根据不等式的基本性质，把下列根
9、据不等式的基本性质，把下列 不等式化成不等式化成xa或或xa的形式：的形式：(1)x-2 3 (2)6x 5x-1(3)x5 (4)-4x321例例2.设设ab，用，用“”或或“”填空：填空：(1)a-3 b-3 (2)(3)-4a -4b2a2b解：解：(1)ab 两边都减去两边都减去3，由不等式基本性质，由不等式基本性质1 得得 a-3b-3 (2)ab，并且，并且20 两边都除以两边都除以2，由不等式基本性质，由不等式基本性质2 得得 (3)ab，并且，并且-40 两边都乘以两边都乘以-4，由不等式基本性质，由不等式基本性质3 得得 -4a-4b2a2b变式训练：变式训练：1.用用“”或
10、或“”在横线上填空，并在横线上填空，并在题后括号内填写理由在题后括号内填写理由.ab (2)ab a-4 b-4()4a 4b()(3)3m5n (4)4x5x -m ()x 0()(5)(6)a-18 a 2b()a 9()35n4a2b不等式基不等式基本性质本性质1不等式基不等式基本性质本性质3不等式基不等式基本性质本性质3不等式基不等式基本性质本性质1不等式基不等式基本性质本性质2不等式基不等式基本性质本性质12.单项选择：单项选择：(1)由由 xy 得得 axay 的条件是（的条件是（）0 C.a0 D.a0(2)由由 xy 得得 axay 的条件是（的条件是（）0 C.a0 D.a0
11、(3)由由 ab 得得 am2bm2 的条件是（的条件是（）是任意有理数是任意有理数(4)若若 a1，则下列各式中错误的是（，则下列各式中错误的是（）4 B.a+56 C.02a21ADCD3.判断正误：判断正误：(1)a+84 (2)32 a-4 ()3a2a()(3)-1-2 (4)ab0 a-1a-2()a0,b 0()归纳小结：归纳小结：1.本节重点本节重点(1)掌握不等式的基本性质，尤其是性质掌握不等式的基本性质，尤其是性质3；(2)能正确应用性质对不等式进行变形；能正确应用性质对不等式进行变形；2.注意事项注意事项（1）要反复对比不等式性质与等式性质）要反复对比不等式性质与等式性质
12、 的异同点；的异同点；（2）当不等式两边都乘以（或除以）同）当不等式两边都乘以（或除以）同 一个数时，一定要看清是正数还是一个数时，一定要看清是正数还是 负数；负数；对于未给定范围的字母，应对于未给定范围的字母，应 分情况讨论分情况讨论.1是是3的的 ，两边分别在同一条直线上，两边分别在同一条直线上.因此一个角的对顶角可看作是把这个角的两边因此一个角的对顶角可看作是把这个角的两边 延延长得到的没有公共边的角长得到的没有公共边的角AOC和BOD有公共顶点，且AOC的两边分别是BOD两边的反向延长线.如图直线AB与CD相交于点O，1和3有公共顶点O，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对
13、顶角.对顶角：那么对顶角有那么对顶角有什么样的关系呢？什么样的关系呢？由12180，23180，可得13.（对顶角相等）（对顶角相等）3=11=68（）已知已知3=68解：解：（等量代换）（等量代换）2=1801=1124=2=112（对顶角相等）（对顶角相等）如图所示，有一个破损的扇形零件，怎样用量角器量出这个扇形零件的圆心角的度数.观察下列各图，寻找对顶角（不含平角观察下列各图，寻找对顶角（不含平角)ABCDOabcAABBCCDDOOEFGH 如图如图a a，图中共有图中共有 对对顶角对对顶角 如图如图b b，图中共有图中共有 对对顶角对对顶角 如图如图c c，图中共有图中共有 对对顶角
14、对对顶角 研究小题中直线条数与对顶角的对数之研究小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有间的关系，若有n n条直线相交于一点，则可形成条直线相交于一点，则可形成 对对顶角对对顶角 若有若有20082008条直线相交于一点，则可形成条直线相交于一点，则可形成 对对对顶角对顶角.其中一条直线叫做另一条其中一条直线叫做另一条直线的直线的垂线垂线1.定义：当两条直线AB和CD所成的四个角中，如果有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直.2.垂直用符号“”来表示，读作“垂直于”.如“直线AB垂直于直线CD”，就记作“ABCD”.O OA AB BC CD D3.交点O叫做垂足探究新知探究新知：垂
15、线的定义FEMNO记作：记作：_,垂足为垂足为_.ABOE记作：记作：_，垂足为垂足为_.试一试试一试 填一填填一填MNEFOABOEO或者或者MNEF于于O或者或者ABOE于于O你能举出生活中直线互相垂直的例子吗？你能举出生活中直线互相垂直的例子吗？生活中的垂直生活中的垂直1 1、ABCDABCD（已知）（已知）1=901=90（垂线的定（垂线的定义）义）2 2、1=901=90（已知）（已知）ABCDABCD（垂线的定（垂线的定义）义）A AB BC CD D1 1A AB BC CD D1 1垂直有以下两层含义解：解：135，255（已知）（已知）垂直垂直 AOE18012 180355
16、5 90OEAB (垂直的定义垂直的定义)CDABOE12例例 如图，已知直线如图，已知直线AB、CD都经过都经过O点，点，OE为射线，为射线，若若135 255，则，则OE与与AB的位置关系的位置关系是是 .应用新知应用新知1、两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是定两条直线垂直的是()（A）有两个角相等有两个角相等 （B）有两对角相等）有两对角相等 （C）有三个角相等有三个角相等 （D）有四对邻补角有四对邻补角（C）练一练练一练2、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确的有（的有（）个）
17、个（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直直角，则这两条直线互相垂直（2）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直则这两条直线互相垂直（3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直条直线互相垂直（4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直两条直线互相垂直 （A）4 （B）3 （C）2 （D）1ALOA动手操作LABLAB根据以上的操作，你能得出什么结论？根据以上的操作，你能得出
18、什么结论？垂线的第一性质：垂线的第一性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（1）“过一点过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外在已知直线外.（2）“有且只有有且只有”中，中，“有有”指存在，指存在，“只有只有”指唯指唯一性一性.注意：注意：总结：总结：1.在小学学段我们曾在小学学段我们曾通过折纸的方法，通过折纸的方法，得到两条垂得到两条垂线，现在你可以用几种折法得到两条垂线？线，现在你可以用几种折法得到两条垂线？2.2.如图如图(5)(5)：直线：直线a a上有一点上有一点A A，经过点，经过点A A，你能折出，你能折出几条与几条与a a垂直的直线？如图垂直的直线？如图(6)(6)：直线：直线a a外有一点外有一点B,B,经过点经过点B B，你能折出几条与，你能折出几条与a a垂直的直线？垂直的直线？过点A、B分别可以做直线a的几条垂线呢？1.过点过点P 向线段向线段AB 所在直线引垂线，正确的是（所在直线引垂线，正确的是（）.A B C DC课堂练习PPPPPPABO2、问题：如何画一条线段或射线的垂线？3.如图如图，已知，已知AB.CD相交于相交于O,OECD于于O,AOC=36，则，则BOE=.（A）36 (B)64 (C)144 (D)54 ABOCDED
