1、几何图形综合题几何图形综合题题型七题型七 几何图形综合题几何图形综合题例例1 如图，在等腰直角如图，在等腰直角ABC中，中，ACB90，D为为BC的中点，过点的中点，过点C作作CGAD于点于点G，过点，过点B作作FBCB于点于点B，交，交CG的延长线于点的延长线于点F，连接，连接DF交交AB于点于点E.(1)求证：求证：ACDCBF；(2)求证：求证：AB垂直平分垂直平分DF；(3)连接连接AF，试判断，试判断ACF的形状，并说明理由的形状，并说明理由类型一与全等三角形有关的问题类型一与全等三角形有关的问题(10年年3考：考：2019年年20题题，2014、2011年年23题题)典例精讲典例精
2、讲例1题图题型七题型七 几何图形综合题几何图形综合题证明：证明：(1)CGAD，AGC90.GCACAD90.GCAFCB90，CADFCB.FBBC，CBF90.ABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，ACB90，ACBC，CBFACB90.在在ACD和和CBF中中 ，ACDCBF(ASA)；CADFCBACBCACBCBF要证要证ACDCBF第一步：证角相等第一步：证角相等第二步：证线段相等第二步：证线段相等第三步：证得第三步：证得ACDCBF题型七题型七 几何图形综合题几何图形综合题(2)ACDCBF，CDBF.D为为BC的中点，的中点，CDBD.BDBF.ABC是等腰直角三角形，是等
3、腰直角三角形，ACB90，DBE45.CBF90，DBEFBE45.在在DBE和和FBE中中 ,DBEFBE(SAS)DEFE，DEBFEB90.AB垂直平分垂直平分DF；BDBFDBEFBEBEBE要证要证AB垂直平分垂直平分DF第一步：证线段相等第一步：证线段相等第二步：证角相等第二步：证角相等第三步：证全等第三步：证全等第四步：利用全等得线段相等，角相等得到第四步：利用全等得线段相等，角相等得到AB垂直平分垂直平分DF题型七题型七 几何图形综合题几何图形综合题对要判断对要判断ACF的形状的形状(3)ACF是等腰三角形，理由为：是等腰三角形，理由为：由由(1)知：知：CBFACD，CFAD
4、.由由(2)知：知：AB垂直平分垂直平分DF，AFAD.第一步：证第一步：证AFADCFAD，CFAF.第二步：证第二步：证CFAFACF是等腰三角形是等腰三角形第三步：证得三角形为等腰三角形第三步：证得三角形为等腰三角形题型七题型七 几何图形综合题几何图形综合题类型二与相似三角形有关的问题类型二与相似三角形有关的问题(10年年4考：考：2019年年23题题，2012、2011年年22题题，2010年年23题题)典例精讲典例精讲例2题图例例2 如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，点，点D、E、F分别在分别在BC、AB、AC上，上，EDFB.(1)求证：求证：DECDDFBE；(2)如图，若
5、如图，若D为为BC中点，连接中点，连接EF，AD.求证：求证：DE平分平分BEF；若四边形若四边形AEDF为菱形，求为菱形，求BAC的度数的度数及及 的值的值AEAB题型七题型七 几何图形综合题几何图形综合题(1)证明：证明：ABC中，中，ABAC，BC.BBDEDEB180，BDEEDFFDC180，EDFB，DEBFDC.BDECFD.即即DECDDFBE；DEDFBECD要证要证DECDDFBE，想到证三角形相似，想到证三角形相似第一步：证角相等第一步：证角相等等腰三角形两底角相等等腰三角形两底角相等第二步：证角相等第二步：证角相等第三步：证相似第三步：证相似(一线三等角一线三等角)第四
6、步：利用相似得到对应边成比例第四步：利用相似得到对应边成比例题型七题型七 几何图形综合题几何图形综合题要证要证DE平分平分BEF，想到证角相等，想到证角相等(2)证明：由证明：由(1)证得证得BDECFD，.D为为BC中点，中点，BDCD.BEDF，BDEDFE.第二步：证相似第二步：证相似BEDDEF.DE平分平分BEF；DEDFBECDBEBDDEDF第一步：证线段成比例第一步：证线段成比例第三步：利用相似得对应角相等第三步：利用相似得对应角相等题型七题型七 几何图形综合题几何图形综合题 解：解：四边形四边形AEDF为菱形，为菱形，AEFDEF.由由(2)知，知，BEDDEF，AEFDEF
7、BED180，AEF60.AEAF，BAC60.ABAC，ABC是等边三角形是等边三角形B60.又又BEDAEF60，BED是等边三角形是等边三角形BEDE.AEDE，AEBE AB.AEAB1212AEAB要求要求BAC的度数及的度数及 的值的值第一步：证第一步：证AEF60第二步：证第二步：证ABC为等边三角形为等边三角形第三步：证线段相等第三步：证线段相等题型七题型七 几何图形综合题几何图形综合题例例3 如图，在边长为如图，在边长为2的正方形的正方形ABCD中，点中，点E是是AB的中点，点的中点，点G是线段是线段DE上上一点，连接一点，连接CG并延长交并延长交AD于点于点F(点点F不与点
8、不与点A、点、点D重合重合)(1)若若AFBE，求证：，求证：DECF；(2)若点若点G是是DE的中点，求证：的中点，求证：DF2AF；(3)如图，连接如图，连接EF，若，若EFG与与CDG相似，相似，求求CF的长的长类型三与全等和相似三角形有关的问题类型三与全等和相似三角形有关的问题(10年年5考：考：2018、2017、2016、2015、2013年年23题题)典例精讲典例精讲例3题图题型七题型七 几何图形综合题几何图形综合题(1)证明：证明：四边形四边形ABCD为正方形，为正方形，要证要证DECF，想到证角为，想到证角为90ABBCCDDA，AFDC90.AFBE，AEDF.在在AED和
9、和DFC中，中，AEDDFC(SAS)第一步：证全等第一步：证全等AEDDFC.第二步：利用全等得角相等第二步：利用全等得角相等AEDADE90，DFCADE90.FGD90.第三步：证第三步：证FGD90DECF；AEDFAFDCDACD题型七题型七 几何图形综合题几何图形综合题PEQCEDCEPDEQ(3)如图，若AD、BC所在直线互相垂直，求 的值ABCD，ABCD.证明：(1)CGAD，AGC90.E、F、D、C四点共圆AB90，ACBC，CBFACB90.又ECGGCB，DBE FBE(SAS)要证DECDDFBE，想到证三角形相似(1)若AFBE，求证：DECF；(1)求证：ADB
10、C；ABBCCDDA，AFDC90.BAECBF.在AGB和DGC中，CGEEBG.GCAFCB90，CG2BCCE.GMAHMB.(2)证明：如解图，延长证明：如解图，延长BA、CF交于点交于点M.要证要证DF2AF四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，ABCD，ABCD.MGCD.在在EGM和和DGC中，中，EGMDGC(AAS)第一步：证全等第一步：证全等EMDCAB.AMEB.第二步：利用全等得线段相等第二步：利用全等得线段相等AEEB，AMAEEB，CD2AM.第三步：证第三步：证CD2AMAMCD，AMFDCF.第四步：证相似第四步：证相似 .DF2AF；第五步：利用相似得对应线
11、段成比例第五步：利用相似得对应线段成比例MDCGEGMDGC,EGDG例3题图AMCDAFDF12题型七题型七 几何图形综合题几何图形综合题要求要求CF的长的长(3)解：如解图，连接解：如解图，连接EC.EFG与与CDG相似，且点相似，且点F不与不与A、D重合，重合，EGFDGC，只有只有EFGGDC时时EFGCDG.E、F、D、C四点共圆四点共圆FECCDF180.FDC90，FEC90.AEFBEC90.AEFBCE.AB90，AEFBCE.第二步：证相似第二步：证相似例3题图第一步：证四点共圆第一步：证四点共圆题型七题型七 几何图形综合题几何图形综合题 .第三步：利用相似得对应线段成比例
12、第三步：利用相似得对应线段成比例AEEB1，BC2，AF ，DFADAF2 .第四步：求第四步：求DF长长在在RtCDF中，中，CDF90，CF .AEBCAFBE121232DFCD222232252例3题图题型七题型七 几何图形综合题几何图形综合题1.(2017安徽安徽23题题14分分)已知正方形已知正方形ABCD，点，点M为边为边AB的中点的中点(1)如图，点如图，点G为线段为线段CM上的一点，且上的一点，且AGB90，延长，延长AG，BG分别与边分别与边BC，CD交于点交于点E，F.求证：求证：BECF；求证：求证：BE2BCCE；(2)如图，在边如图，在边BC上取一点上取一点E，满足
13、，满足BE2BCCE，连接连接AE交交CM于点于点G，连接，连接BG并延长交并延长交CD于点于点F，求求tanCBF的值的值安徽安徽 10年中考真题精选年中考真题精选第1题图题型七题型七 几何图形综合题几何图形综合题(1)证明：证明：四边形四边形ABCD为正方形，为正方形，ABBC，ABCBCF90.又又AGB90，BAEABG90.又又ABGCBF90，BAECBF.ABEBCF(ASA)BECF；题型七题型七 几何图形综合题几何图形综合题AGB90，点，点M为为AB的中点，的中点，MGMAMB.GAMAGM.GAMCGE.CGECBG.又又ECGGCB，CGECBG.，即，即CG2BCCE
14、.CFGGBMBGMCGF，得，得CFCG，由知，由知，BECF，BECG，BE2BCCE.CECGCGCB题型七题型七 几何图形综合题几何图形综合题【一题多解】【一题多解】AGB90，M是是AB的中点，的中点，MGBM.MGBMBGCFGCGF.CFCG.又由又由知，知，CFBE，CGBE.CGFCGE90，MBGGBE90，CGEEBG.CEGCGB.CG2BCCE.即即BE2BCCE.题型七题型七 几何图形综合题几何图形综合题(2)解：如解图，延长解：如解图，延长AE，DC交于点交于点N，正方形正方形ABCD是正方形，是正方形，ABCD.NEAB.又又CENBEA，CENBEA.，即即B
15、ECNABCE.ABBC，BE2BCCE，CNBE.ABDN，CEBECNBA第1题解图题型七题型七 几何图形综合题几何图形综合题解得解得x1 ，x2 (舍去舍去)，.tanCBF .CNAMCGGMCFMB512512BEBC512FCBCBEBC512又又AMMB，CFCNBE.不妨假设正方形边长为不妨假设正方形边长为1，设设BEx，则由，则由BE2BCCE，得，得x21(1x)，第1题解图题型七题型七 几何图形综合题几何图形综合题2.(2015安徽安徽23题题14分分)如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，点中，点E、F分别是分别是AB、CD的中的中点，过点点，过点E作作AB的垂线，过
16、点的垂线，过点F作作CD的垂线，两垂线交于点的垂线，两垂线交于点G，连接，连接G1A、GB、GC、GD、EF，若，若AGDBGC.(1)求证：求证：ADBC；(2)求证：求证：AGDEGF；(3)如图，若如图，若AD、BC所在直线互相垂直，求所在直线互相垂直，求 的值的值第2题图ADEF题型七题型七 几何图形综合题几何图形综合题(1)证明：证明：点点E、F分别是分别是AB、CD的中点，且的中点，且GEAB，GFCD，GE、GF分别是线段分别是线段AB、CD的垂直平分线的垂直平分线GAGB，GCGD.在在AGD和和BGC中，中，AGDBGC(SAS)ADBC；GAGBAGDBGCGDGC题型七题
17、型七 几何图形综合题几何图形综合题(2)证明证明：AGDBGC，AGBDGC，在在AGB和和DGC中，中，AGBDGC，ABGDCG.，GAEGDF.又又GEAGFD90，AGE90GAE，DGF90GDF.即即AGEDGF.AGDEGF.AGDEGF；GAGDGBGCAGDGECFC题型七题型七 几何图形综合题几何图形综合题(3)解：如解图，延长解：如解图，延长AD交交GB于点于点M，交，交BC的延长线于点的延长线于点H，则，则AHBH，由由AGDBGC，知，知GADGBC，在在GAM和和HBM中，中，GADGBC，GMAHMB，GMAHMB.AGBAHB90.AGE AGB45.又又AGD
18、EGF，.第2题解图ADEFAGEG12AGEG22题型七题型七 几何图形综合题几何图形综合题3.(2016安徽安徽23题题14分分)如图如图，A，B分别在射线分别在射线OM，ON上，且上，且MON为钝为钝角现以线段角现以线段OA，OB为斜边向为斜边向MON的外侧作等腰直角三角形，分别是的外侧作等腰直角三角形，分别是OAP，OBQ，点，点C，D，E分别是分别是OA，OB，AB的中点的中点(1)求证：求证：PCEEDQ；(2)延长延长PC、QD交于点交于点R.如图，若如图，若MON150，求证：，求证：ABR为等边三角形；为等边三角形；如图，若如图，若ARBPEQ，求，求MON大小和大小和 的值
19、的值第3题图ABPQ题型七题型七 几何图形综合题几何图形综合题(1)证明：证明：点点C，D，E分别是分别是OA，OB，AB的中点，的中点，DE OC且且CE OD.四边形四边形CEDO是平行四边形是平行四边形ECOEDO.又又OAP，OBQ都是等腰直角三角形，都是等腰直角三角形，PCOQDO90.PCEPCOECOQDOEDOEDQ.又又PC AOOCDE，CE BOODDQ，PCEEDQ；1212 题型七题型七 几何图形综合题几何图形综合题(2)证明：如解图，连接证明：如解图，连接OR，PR与与QR分别为线段分别为线段OA与与OB的中垂线，的中垂线，ARORBR，ARCORC，ORDBRD.
20、在四边形在四边形OCRD中，中，OCRODR90，MON150，CRD30.ARBAROBRO2CRO2ORD2CRD60.ABR为等边三角形；为等边三角形；第3题解图题型七题型七 几何图形综合题几何图形综合题解：由解：由(1)知知PCEEDQ，EQPE，DEQCPE.E为为AB中点，中点，D为为OB中点，中点，EDAO.CEDACE.PEQCEDCEPDEQACECEPCPEACERCEACR90.即即PEQ为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，ARBPEQ，题型七题型七 几何图形综合题几何图形综合题在四边形在四边形OCRD中，中，OCRODR90，CRD ARB45.MON360909045135.又又AOP45，POD180.即即P、O、B三点共线，三点共线，在在APB中，中，APB90，E为为AB中点，中点，AB2PE.又又在等腰在等腰RtPEQ中，中，PQ PE，.ABPQ122PEPE222
