1、-1- 1 1.3 3.2 2 “杨辉三角”与二项式系数的 性质 -2- 1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 课程目标课程目标 学习脉络学习脉络 1.能认识杨辉三角,并能利用它写出(a+b)n 次数不是很大时的展开式. 2.能记住二项式系数的性质,并能灵活运用 解决相关问题. 3.会用赋值法求展开式系数的和. -3- 1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SU
2、ITANG LIANXI 随堂练习 1.杨辉三角 (a+b)n展开式的二项式系数在当 n 取正整数时可以表示成如下形式: 上面的二项式系数表称为“杨辉三角”. 特点:(1)在同一行中,每行两端都是 1,与这两个 1 等距离的项的系数相 等. (2)在相邻的两行中,除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和, 即n+1 r = n r-1 + n r. -4- 1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 1利用杨辉三角,写出(a+b)7的展开式. 提示:
3、a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7. -5- 1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 2.二项式系数的性质 (1)对称性:在(a+b)n的展开式中,与首末两端等距离的两个二项式系数 相等,即n 0 = n n, n 1 = n n-1, n r = n n-r. (2)增减性与最大值:当 kn+1 2 时,二项式系数是逐渐增大的,由对称性可 知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值.当 n 是偶数时,中
4、间的 一项取得最大值;当 n 是奇数时,中间的两项n n-1 2 和n n+1 2 相等,且同时取得最 大值. -6- 1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考2(a+b)n的展开式中,第2 项与第6项的二项式系数相等, 则 n=( ) A.6 B.7 C.8 D.9 提示:由已知n 1 = n 5可知,n=1+5=6. -7- 1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重
5、点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 3.各二项式系数的和 n 0 + n 1 + n 2+ n n=2n. 思考 3你能证明n 0 + n 2 + n 4+= n 1 + n 3 + n 5+=2n-1 吗? 提示: (1+1)n=n 0 + n 1 + n 2+ n n=2n, (1-1)n=n 0 n 1 + n 2-+(-1)n n n=0, n 0 + n 2 + n 4+= n 1 + n 3 + n 5+=2n-1. -8- 1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITA
6、NG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 与杨辉三角有关的问题 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路. -9- 1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例题 1】 下列是杨辉三角的一部分. (1)你能发现组成它的相邻两行数有什么关系吗? (2)从图中的虚线上的数字你能发现什么规律? -10- 1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JIC
7、HU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 解:(1)杨辉三角的两条腰都是由数字 1 组成的,其余的数都等于它肩上 的两个数之和. (2)设 a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,若令 bn=an+1-an,则 b1=2,b2=3,b3=4,所以可 得bn是等差数列,从而得出其每一斜行数字的差组成一个等差数列. -11- 1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 规律总
8、结解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是:通过 观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系.然后将 数据间的这种联系用数学式子表达出来,使问题得解. -12- 1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二 有关二项式系数的性质的问题 (1)求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,当 n为奇数时,中间 两项的二项式系数最大;当 n 为偶数时,中间一项的二项式系数最大. (2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大
9、项是不同的,需根据各 项系数的正、负变化情况,一般采用列不等式组,解不等式组的方法求得. -13- 1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例题 2】 (1+2x)n的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等,求展 开式中二项式系数最大的项和系数最大的项. 思路分析:求(a+bx)n的展开式中系数最大的项,通常用待定系数法,即 先设展开式中的系数分别为 A1,A2,An+1,再设第 k+1 项系数最大,则由不 等式组 Ak
10、+1 Ak, Ak+1 Ak+2 确定 k 的值. -14- 1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 解:T6=n 5(2x)5,T7= n 6(2x)6,依题意有 n 525= n 626n=8. (1+2x)8的展开式中,二项式系数最大的项为 T5=8 4(2x)4=1 120x4. 设第 k+1 项系数最大,则有 8 k2 8 k-12-1, 8 k2 8 k+12+1, 解得 5k6. k=5 或 k=6( k0,1,2
11、,8). 系数最大的项为 T6=1 792x5,T7=1 792x6. -15- 1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 规律总结熟记二项展开式的通项是解决本题的关键,注意 k 只能取正整数. -16- 1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三 有关二项式系
12、数和与展开式的系数和的问题 赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法,注意取值要有利 于问题的解决,可以取一个值或几个值,也可以取几组值,解决问题时要避免 漏项. -17- 1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例题 3】 设(3x 1 3+ x 1 2)n的二项展开式中各项系数之和为 t,二项 式系数和为 h,若 h+t=272,则二项展开式含 x2项的系数为 . 思路分析:本题主要考查二项式系数与各项系数的区别,
13、用赋值法求各 项系数和,利用公式求二项式系数和. -18- 1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 解析:由已知令 x=1,则展开式各项系数和 t=(3+1)n=4n,二项式系数和 h=n 0 + n 1+ n n=2n, h+t=4n+2n=272,解得 n=4. (3x 1 3+ x 1 2)n=(3x 1 3+ x 1 2)4. 则展开式的通项公式为 Tr+1=4 r(3x1 3)4-r(x 1 2)r=34-r4 rx4
14、 3+ r 6,令4 3 + r 6=2, 则 r=4. 含 x2项的系数为 1. 答案:1 -19- 1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 规律总结求展开式中各项系数和或差的关键是给字母赋 值,赋值的选择则需要根据所求的展开式系数和或差的特征来进行. -20- 1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI
15、随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究四 易错辨析 易错点 混淆二项展开式中奇次项与奇数项、偶次项与偶数项的概念 【典型例题 4】 已知(2x-1)n二项展开式中,奇次项系数的和比偶次项 系数和小 38,求n 1 + n 2 + n 3+ n n的值. -21- 1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 错解:设(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+anxn, 则奇次项的系数和为 a0+a2+a4+, 偶次项的系数和为
16、a1+a3+a5+, 令 x=-1,得 (a0+a2+a4+)-(a1+a3+a5+)=(-3)n, 由已知可得,(-3)n=-38=(-3)8, n=8, n 1 + n 2 + n 3+ n n=28. -22- 1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 错因分析:错解有三处错误.一是误把奇次项、偶次项看成是奇数项、 偶数项.二是把n 1 + n 2 + n 3+ n n看成二项展开式各项二项式系数和,忽 略了n 0.三是(-
17、3)n=-38=(-3)8 也不成立.解答本题应认真审题,搞清已知条件 以及所要求的结论,避免失误. -23- 1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 正解:设(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+anxn.且奇次项的系数和为 A,偶次项的 系数和为 B. 则 A=a1+a3+a5+,B=a0+a2+a4+a6+ 由已知可知,B-A=38. 令 x=-1,得: a0-a1+a2-a3+an(-1)n=(-3)n, 即:(a0+
18、a2+a4+a6+)-(a1+a3+a5+a7+) =(-3)n,即 B-A=(-3)n. (-3)n=38=(-3)8, n=8. 由二项式系数性质可得:n 1 + n 2 + n 3+ n n=2n- n 0=28-1. -24- 1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 1.已知n 0+2 n 1+22 n 2+2n n n=729,则 n 1 + n 3 + n 5的值等于( ) A.64 B.32 C.63 D.31 解析:由已知(
19、1+2)n=3n=729,解得 n=6.则C 1 + C 3 + C 5 = C6 1 + C6 3 + C6 5=32. 答案:B -25- 1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 2.若(1-2x)2 011=a0+a1x+a2 011x2 011(xR),则a1 2 + a2 22+ a2 011 22 011的值为( ) A.2 B.0 C.-1 D.-2 解析:令 x=0,则 a0=1,令 x=1 2,则 a0+ 1 2 + 2
20、22+ 2 011 22 011=0,所以 1 2 + 2 22+ 2 011 22 011=-1. 答案:C -26- 1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 3.(x2+1)(x-2)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a11(x-1)11,则 a1+a2+a3+a11的值为 . 解析:令 x=1,得 a0=-2. 令 x=2,得 a0+a1+a2+a11=0. a1+a2+a3+a11=2. 答案:2 -27
21、- 1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 4.设(2 3 -1)n的展开式的各项系数之和为 M,二项式系数之和为 N,若 M,8,N 三数成等比数列,则展开式中第四项为 . 解析:当 x=1 时,可得 M=1,二项式系数之和 N=2n, 由题意,得 MN=64, 2n=64,n=6. 第四项 T4=C6 3(2 3 )3(-1)3=-160x. 答案:-160x -28- 1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质 SUITANG LI
22、ANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 5.若(3x-1)7=a7x7+a6x6+a1x+a0,求: (1)a7+a6+a1;(2)a7+a5+a3+a1; (3)a6+a4+a2+a0;(4)|a7|+|a6|+|a1|. -29- 1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 解:(1)令 x=0,则 a0=-1;令 x=1,则 a7+a6+a1+a0=27=128, 所以 a7+a6+a1=128-(-1)=129. (2)令 x=-1,则-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=(-4)7, 由- 2 得,a7+a5+a3+a1=1 2128-(-4) 7=8 256. (3)由+ 2 得,a6+a4+a2+a0=1 2128+(-4) 7=-8 128. (4) (3x-1)7展开式中,a7,a5,a3,a1均大于零,而 a6,a4,a2,a0均小于零, |a7|+|a6|+|a1|=(a1+a3+a5+a7)-(a0+a2+a4+a6)=8 256-(-8 128)=16 384.
