1、2.3 离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差 2.3.1 离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值 考考 纲纲 定定 位位 重重 难难 突突 破破 1.理解离散型随机变量的均值的含义，理解离散型随机变量的均值的含义， 能计算简单离散型随机变量的均值能计算简单离散型随机变量的均值 2.理解离散型随机变量均值的性质理解离散型随机变量均值的性质 3.掌握两点分布、二项分布的均值掌握两点分布、二项分布的均值 4.会利用离散型随机变量的均值解决一会利用离散型随机变量的均值解决一 些相关的实际问题些相关的实际问题. 重点：重点：离散型随机变量的均值的含离散型随机变量的均值的含 义；离散型随
2、机变量均值的计算；两义；离散型随机变量均值的计算；两 点分布、二项分布的均值点分布、二项分布的均值 难点：难点：利用离散型随机变量的均值解利用离散型随机变量的均值解 决一些相关的实际问题决一些相关的实际问题. 01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升 课时作业 自主梳理自主梳理 1离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值 (1)定义：一般地，若离散型随机变量定义：一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为的分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则称则称 E(X) 为随机变量为随机变量 X 的均值或数学期望的均值或数学期望 (2)意义： 离散型随
3、意义： 离散型随机变量机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的 (3)性质：如果性质：如果 X 为离散型随机变量，则为离散型随机变量，则 YaXb(其中其中 a，b 为常数为常数)也是随机变量，且也是随机变量，且 E(Y)E(aXb) . x1p1x2p2xipixnpn 平均水平平均水平 aE(X)b 2两点分布、二项分布的均值两点分布、二项分布的均值 (1)若随机变量若随机变量 X 服从两点分布，则服从两点分布，则 E(X) . (2)若随机变量若随机变量 X 服从二项分布服从二项分布 XB(n，p)，则，则 E(X) . np P 双基
4、自测双基自测 1已知已知 的分布列如下表，则的分布列如下表，则 的均值为的均值为( ) 1 0 1 2 P 1 4 3 8 1 4 1 8 A.0 B1 C.1 8 D.1 4 解析：解析：E()11 4 03 8 11 4 21 8 1 4 1 4 1 4 1 4. 答案：答案：D 2一名射手每次射击中靶的概率均为一名射手每次射击中靶的概率均为 0.8，则他独立射击，则他独立射击 3 次中靶次数次中靶次数 X 的均值为的均值为 ( ) A0.8 B0.83 C3 D2.4 解析：解析：XB(3,0.8)，E(X)30.82.4. 答案：答案：D 3 设 设 E(X)10， 则， 则 E(3X
5、5)_. 解析：解析：E(3X5)3E(X)5310535. 答案：答案：35 探究一探究一 求离散型随机变量的均值求离散型随机变量的均值 典例典例 1 在在 10 件产品中，有件产品中，有 3 件一等品、件一等品、4 件二等品、件二等品、3 件三等品从这件三等品从这 10 件产品件产品 中任取中任取 3 件，求取出的件，求取出的 3 件产品中一等品件数件产品中一等品件数 X 的分布列和数学期望的分布列和数学期望 解析解析 从从 10 件产品中任取件产品中任取 3 件，共有件，共有 C3 10种结果从 种结果从 10 件产品中任取件产品中任取 3 件，其中件，其中 恰有恰有 k 件一等品的结果
6、数为件一等品的结果数为 Ck 3C 3k 7 ，其中，其中 k0,1,2,3. P(Xk)C k 3C 3k 7 C3 10 ，k0,1,2,3. 随机变量随机变量 X 的分布列是的分布列是 X 0 1 2 3 P 7 24 21 40 7 40 1 120 E(X)0 7 24 121 40 2 7 40 3 1 120 9 10. 求随机变量的数学期望关键是写出分布列，一般分为四步：求随机变量的数学期望关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定确定 X 的可能取值；的可能取值； (2)计算出计算出 P(Xk)；(3)写出分布列；写出分布列；(4)利用数学期望的计算公式计算利用数学期望的计算
7、公式计算 E(X) 1已知随机变量已知随机变量 X 的分布列为：的分布列为： X 2 1 0 1 2 P 1 4 1 3 1 5 m 1 20 试求：试求：(1)E(X)；(2)若若 Y2X3，求，求 E(Y) 解析：解析：(1)由随机变量分布列的性质，得由随机变量分布列的性质，得1 4 1 3 1 5 m 1 20 1，所以，所以 m1 6， ， E(X)(2)1 4 (1)1 3 01 5 11 6 2 1 20 17 30. (2)解法一解法一 由公式由公式 E(aXb)aE(X)b，得，得 E(Y)E(2X3)2E(X)32(17 30) 362 15. 解法二解法二 由于由于 Y2X
8、3，所以，所以 Y 的分布列如下：的分布列如下： Y 7 5 3 1 1 P 1 4 1 3 1 5 1 6 1 20 E(Y)(7)1 4 (5)1 3 (3)1 5 (1)1 6 1 1 20 62 15. 探究二探究二 两点分布与二项分布的均值两点分布与二项分布的均值 典例典例 2 某运动员投篮命中率为某运动员投篮命中率为 p0.6. (1)求投篮一次时命中次数求投篮一次时命中次数 的均值；的均值； (2)求重复求重复 5 次投篮时命中次数次投篮时命中次数 的均值的均值 解析解析 (1)投篮一次，命中次数投篮一次，命中次数 服从两点分布，则服从两点分布，则 E()p0.6. (2)重复重
9、复 5 次投篮，命中的次数次投篮，命中的次数 服从二项分布，服从二项分布，即即 B(5,0.6) 则则 E()np50.63. 求两点分布、二项分布的均值的方法：求两点分布、二项分布的均值的方法： (1)准确判断随机变量所服从的分布类型是解决此类问题的关键，通常情况下，在准确判断随机变量所服从的分布类型是解决此类问题的关键，通常情况下，在 n 次独立重复试验中事件发生的次数次独立重复试验中事件发生的次数 服从二项分布，直接代入公式即可求得数服从二项分布，直接代入公式即可求得数 学期望学期望 (2)对于两点分布，要准确辨别成功率对于两点分布，要准确辨别成功率 p. 2根据以往统计资料，某地车主购
10、买甲种保险的概率为根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险但不购买，购买乙种保险但不购买 甲种保险的概率为甲种保险的概率为 0.3，设各车主购买保险相互独立，设各车主购买保险相互独立 (1)求该地求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率；种的概率； (2)X 表示该地的表示该地的 100 位车主中甲、乙两种保险都不购买的车主数，求位车主中甲、乙两种保险都不购买的车主数，求 X 的期望的期望 解析：解析：设该车主购买乙种保险的概率为设该车主购买乙种保险的概率为 p， 由题意知由题意知 p(10.5)0.3，解得，解得
11、p0.6. (1)设所求概率为设所求概率为 P1，则，则 P11(10.5)(10.6)0.8. 故该地故该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率为种的概率为 0.8. (2)对每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为对每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为 (10.5)(10.6)0.2. XB(100,0.2)，E(X)1000.220. 所以所以 X 的期望是的期望是 20 人人 探究三探究三 均值的实际应用均值的实际应用 典例典例 3 (2015 年高考四川卷年高考四川卷)某市某市 A， B 两所中学的学生组队参加辩论赛，两所中学的学生组队
12、参加辩论赛， A 中学推中学推 荐了荐了 3 名男生、名男生、2 名女生，名女生，B 中学推荐了中学推荐了 3 名男生、名男生、4 名女生，两校所推荐的学生一名女生，两校所推荐的学生一 起参加集训由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取起参加集训由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人、女生中人、女生中 随机抽取随机抽取 3 人组成代表队人组成代表队 (1)求求 A 中学至少有中学至少有 1 名学生入选代表队的概率；名学生入选代表队的概率； (2)某场比赛前，从代表队的某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取名队员中随机抽取 4 人参赛，设人参赛，设 X 表示参
13、赛的男生人表示参赛的男生人 数，求数，求 X 的分布列和数学期望的分布列和数学期望 解析解析 (1)由题意，参加集训的男、女生各有由题意，参加集训的男、女生各有 6 名名 参赛学生全从参赛学生全从 B 中学抽取中学抽取(等价于等价于 A 中学没有学生入选代表队中学没有学生入选代表队)的概率为的概率为C 3 3C 3 4 C3 6C 3 6 1 100. 因此，因此，A 中学至少有中学至少有 1 名学生入选代表队的概率为名学生入选代表队的概率为 1 1 100 99 100. (2)根据题意，根据题意，X 的可能取值为的可能取值为 1,2,3. P(X1)C 1 3C 3 3 C4 6 1 5，
14、 ， P(X2)C 2 3C 2 3 C4 6 3 5， ， P(X3)C 3 3C 1 3 C4 6 1 5. 所以所以 X 的分布列为的分布列为 X 1 2 3 P 1 5 3 5 1 5 因此，因此，X 的数学期望为的数学期望为 E(X)1P(X1)2P(X2)3P(X3)11 5 23 5 31 5 2. 1实际问题中的均值问题实际问题中的均值问题 均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方 案的预测， 产品合格率的预测， 投资收益等， 都可以通过随机变量的均值来进行估计案的预测，
15、 产品合格率的预测， 投资收益等， 都可以通过随机变量的均值来进行估计 2概率模型的解答步骤概率模型的解答步骤 审题， 确定实际问题是哪一种概率模型， 可能用到的事件类型， 所用的公式有哪些审题， 确定实际问题是哪一种概率模型， 可能用到的事件类型， 所用的公式有哪些 确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值 对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论 3已知甲盒内有大小相同的已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和个红球和 3 个黑球，乙盒内有大小相同的个黑球，乙盒内有大小相同的 2 个红球和个红球和 3 个黑球，
16、现从甲、乙两个盒内各任取个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球个球 (1)求取出的求取出的 4 个球均为黑球的概率；个球均为黑球的概率； (2)求取出的求取出的 4 个球中恰有个球中恰有 1 个红球的概率；个红球的概率； (3)设设 为取出的为取出的 4 个球中红球的个数，求个球中红球的个数，求 的分布列和数学期望的分布列和数学期望 解析：解析：(1)设设“从甲盒内取出的从甲盒内取出的 2 个球均为黑球个球均为黑球”为事件为事件 A，“从乙盒内取出的从乙盒内取出的 2 个球均个球均 为黑球为黑球”为事件为事件 B，且事件，且事件 A、B 相互独立相互独立 P(A)C 2 3 C2 4 1
17、2， ，P(B)C 2 3 C2 5 3 10， ， 取出的取出的 4 个球均为黑球的概率个球均为黑球的概率 P(AB)P(A) P(B) 3 20. (2)设设“从甲盒内取出的从甲盒内取出的 2 个球均为黑球；从乙盒内取出的个球均为黑球；从乙盒内取出的 2 个球中，个球中，1 个是红球，个是红球，1 个是个是 黑球黑球”为为事件事件 C，“从甲盒内取出的从甲盒内取出的 2 个球中，个球中，1 个是红球，个是红球，1 个是黑球；从乙盒内取出个是黑球；从乙盒内取出 的的 2 个球均为黑球个球均为黑球”为事件为事件 D，且事件，且事件 C、D 互斥互斥 P(C)C 2 3 C2 4 C1 2C 1
18、 3 C2 5 3 10， ，P(D)C 1 3 C2 4 C2 3 C2 5 3 20， ， 取出的取出的 4 个球中恰有个球中恰有 1 个红球的概率为个红球的概率为 P(C)P(D) 9 20. (3) 可能的取值为可能的取值为 0,1,2,3. 由由(1)(2)得得 P(0) 3 20， ，P(1) 9 20，且 ，且 P(2)C 1 3 C2 4 C1 2C 1 3 C2 5 C 2 3 C2 4 C2 2 C2 5 7 20， ， P(3)C 1 3 C2 4 C2 2 C2 5 1 20. 故故 的分布列为的分布列为 0 1 2 3 P 3 20 9 20 7 20 1 20 则则
19、 E()0 3 20 1 9 20 2 7 20 3 1 20 13 10. 求离散型随机变量的分布列及均值求离散型随机变量的分布列及均值 典例典例 (本小题满分本小题满分 12 分分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概 率分别为率分别为2 3和 和3 5.现安排甲组研发新产品 现安排甲组研发新产品 A，乙组研发新产品，乙组研发新产品 B.设甲、乙两组的研发相设甲、乙两组的研发相 互独立互独立 (1)求至少有一种新产品研发成功的概率；求至少有一种新产品研发成功的概率； (2)若新产品若新产品 A 研发成功，预计企业可获利润研发成
20、功，预计企业可获利润 120 万元；若新产品万元；若新产品 B 研发成功，预计研发成功，预计 企业可获利润企业可获利润 100 万元求该企业可获利润的分布列和数学期望万元求该企业可获利润的分布列和数学期望 解析解析 记记 E甲组研发新产品成功甲组研发新产品成功，F乙组研发新产品成功乙组研发新产品成功由题设知由题设知 P(E) 2 3， ，P(E)1 3， ，P(F)3 5， ，P(F)2 5，且事件 ，且事件 E 与与 F，E 与与F，E与与 F，E与与F都相都相 互独立互独立.2 分分 (1)记记 H至少至少有一种新产品研发成功有一种新产品研发成功， 则则HE F，于是，于是 P(H)P(E
21、)P(F)1 3 2 5 2 15， ， 故所求的概率为故所求的概率为 P(H)1P(H)1 2 15 13 15.6 分 分 (2)设企业可获利润为设企业可获利润为 X 万元， 则万元， 则 X 的可能取值为的可能取值为 0,100,120,220.因为因为 P(X0)P( E F)1 3 2 5 2 15， ，7 分分 P(X100)P( EF)1 3 3 5 3 15， ，8 分分 P(X120)P(E F)2 3 2 5 4 15， ，9 分分 P(X220)P(EF)2 3 3 5 6 15， ，10 分分 故所求的分布列为故所求的分布列为 X 0 100 120 220 P 2 1
22、5 3 15 4 15 6 15 11 分分 数学期望为数学期望为 E(X)0 2 15 100 3 15 120 4 15 220 6 15 300 4801 320 15 2 100 15 140.12 分分 规范与警示规范与警示 (1)解答本题的易误点：解答本题的易误点： 对事件不作叙述且不判断事件的独立性；对事件不作叙述且不判断事件的独立性； 应正确写出随机变量应正确写出随机变量 X 的值；的值； 利用公式求利用公式求 E(X)时易出现计算错误时易出现计算错误 (2)求解均值问题，要注意语言叙述的规范性，不要漏掉必要的说明及出现跳步严重求解均值问题，要注意语言叙述的规范性，不要漏掉必要
23、的说明及出现跳步严重 的现象的现象 (3)随机变量的均值计算比较复杂，在运算时要注意一些运算技巧，如把问题归结为随机变量的均值计算比较复杂，在运算时要注意一些运算技巧，如把问题归结为 二项分布的均值，运用均值的性质简化运算，运算时注意一些项的合并等二项分布的均值，运用均值的性质简化运算，运算时注意一些项的合并等. 随堂训练随堂训练 1随机变量随机变量 的分布列为的分布列为 1 2 3 P 0.2 0.5 m 则则 的数学期望是的数学期望是( ) A2 B2.1 C2.3 D随随 m 的变化而变化的变化而变化 解析：解析：0.20.5m1，m0.3， E()10.220.530.32.1. 答案
24、：答案：B 2同时抛掷同时抛掷 5 枚均匀的硬币枚均匀的硬币 80 次，设次，设 5 枚硬币正好出现枚硬币正好出现 2 枚正面向上，枚正面向上，3 枚反面向枚反面向 上的次数为上的次数为 X，则，则 X 的均值是的均值是( ) A20 B25 C30 D40 解析：解析：抛掷一次正好出现抛掷一次正好出现 3 枚反面向上，枚反面向上，2 枚正面向上的概率为枚正面向上的概率为C 2 5 25 5 16.所以 所以 X B 80， 5 16 .故故 E(X)80 5 16 25. 答案：答案：B 3(2016 高考四川卷高考四川卷)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬同时抛掷两枚质地均匀的硬币
25、，当至少有一枚硬 币正面向上时，就说这次试验成功，则在币正面向上时，就说这次试验成功，则在 2 次试验中成功次数次试验中成功次数 X 的均的均 值是值是_ 解析：解析：由题可知：在一次试验中成功的概率由题可知：在一次试验中成功的概率 P11 4 3 4，而该试验是 ，而该试验是 一个一个 2 次的独立重复试验，成功次数次的独立重复试验，成功次数 X 服从二项分布服从二项分布 XB 2，3 4 ， E(X)23 4 3 2. 答案：答案：3 2 4盒中装有盒中装有 5 节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池现有无放回地每次取一节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池现有无放回地每次取一 节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数 X 的分布列及均值的分布列及均值 解析：解析：X 可取的值为可取的值为 1,2,3， 则则 P(X1)3 5， ，P(X2)2 5 3 4 3 10， ，P(X3)2 5 1 4 1 1 10. 抽取次数抽取次数 X 的分布列为的分布列为 1 2 3 P 3 5 3 10 1 10 E(X)13 5 2 3 10 3 1 10 1.5. 课时作业
