1、2.2.3 独立重复试验与二项分布独立重复试验与二项分布 考考 纲纲 定定 位位 重重 难难 突突 破破 1.理解理解 n 次独立重复试验的模型次独立重复试验的模型 2.理解二项分布模型，并能用它解理解二项分布模型，并能用它解 决一些简单的实际问题决一些简单的实际问题. 重点：重点：n 次独立重复试验模次独立重复试验模 型；二项分布模型及应用型；二项分布模型及应用 难点：难点： 利用二项分布模型解决利用二项分布模型解决 实际问题实际问题. 01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升 课时作业 自主梳理自主梳理 1n 次独立重复试验次独立重复试验 在在 条件下重复做的条件下
2、重复做的 n 次试验称为次试验称为 n 次独立重复试验次独立重复试验 2二项分布二项分布 在在 n 次独立重复试验中，用次独立重复试验中，用 X 表示事件表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的发生的 概率为概率为 p，则，则 P(Xk) ，k0,1,2，n. 此时称随机变量此时称随机变量 X 服从二项分布，记作服从二项分布，记作 ，并称，并称 p 为为 相同相同 Ck np k(1 p)n k XB(n，p) 成功概率成功概率 双基自测双基自测 1已知已知 XB 6，1 3 ，则，则 P(X2)等于等于( ) A. 3 16 B. 4 243 C.
3、13 243 D. 80 243 解析：解析：P(X2)C2 6 1 3 2 2 3 4 80 243. 答案：答案：D 2某电子管正品率为某电子管正品率为3 4，次品率为 ，次品率为1 4，现对该批电子管进行测试，设第 ，现对该批电子管进行测试，设第 次首次测到次首次测到 正品，则正品，则 P(3)( ) AC2 3 1 4 2 3 4 BC2 3 3 4 2 1 4 C. 1 4 2 3 4 D. 3 4 2 1 4 解析：解析： 3 表示第表示第 3 次首次测到正品， 而前两次都没有测到正品， 故其概率是次首次测到正品， 而前两次都没有测到正品， 故其概率是 1 4 2 3 4. 答案：
4、答案：C 3下列说法正确的是下列说法正确的是_ 某同学投篮的命中率为某同学投篮的命中率为 0.6， 他， 他 10 次投篮中命中次投篮中命中的次数的次数 X 是一个随机变量， 且是一个随机变量， 且 X B(10,0.6)； 某福彩的中奖概率为某福彩的中奖概率为 P，某人一次买了，某人一次买了 8 张，中奖张数张，中奖张数 X 是一个随机变量，且是一个随机变量，且 X B(8，P)； 从装有从装有 5 个红球、个红球、5 个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次 数数 X 是随机变量，且是随机变量，且 XB n，1 2 . 解
5、析：解析：显然满足独立重复试验的条件，而显然满足独立重复试验的条件，而虽然是有放回地摸球，但随机变量虽然是有放回地摸球，但随机变量 X 的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球， 不符合二项分布的定义不符合二项分布的定义 答案：答案： 探究一探究一 求求 n 次独立重复试验的概率次独立重复试验的概率 典例典例 1 某气象站天气预报的准确率为某气象站天气预报的准确率为 80%，计算：，计算：(结果保留到小数点后面第结果保留到小数点后面第 2 位位) (1)5 次预报中恰有次预报中恰有 2 次准确
6、的概率；次准确的概率； (2)5 次预报中至少有次预报中至少有 2 次准确的概率；次准确的概率； (3)5 次预报中恰有次预报中恰有 2 次准确，且其中第次准确，且其中第 3 次预报准确的概率次预报准确的概率 解析解析 (1)记预报一次准确为事件记预报一次准确为事件 A，则，则 P(A)0.8. 5 次预报相当于次预报相当于 5 次独立重复试验，次独立重复试验，2 次准确的概率为次准确的概率为 pC2 5 0.820.230.051 20.05，因此，因此 5 次预报中恰有次预报中恰有 2 次准确的概率为次准确的概率为 0.05. (2)“5 次预报中至少有次预报中至少有 2 次准确次准确”的
7、对立事件为的对立事件为“5 次预报全部不准确或只有次预报全部不准确或只有 1 次次 准确准确”， 其概率为其概率为 pC0 5 (0.2)5C1 5 0.80.240.006 72. 所求概率为所求概率为 1p10.006 720.993 280.99. (3)说明第说明第 1,2,4,5 次中恰有次中恰有 1 次准确次准确 概率为概率为 pC1 4 0.80.230.80.020 480.02. 恰有恰有 2 次准确，且其中第次准确，且其中第 3 次预报准确的概率约为次预报准确的概率约为 0.02. 解答此类题目首先分析随机变量是否满足独立重复试验的条件，若满足，再利用解答此类题目首先分析随
8、机变量是否满足独立重复试验的条件，若满足，再利用 P(Xk)Ck np k (1 p)n k(k 0,1,2，n)计算即可计算即可 1某射手射击一次，击中目标的概率是某射手射击一次，击中目标的概率是 0.9，他连续射击，他连续射击 3 次，且他各次射击是否击次，且他各次射击是否击 中目标之间没有中目标之间没有影响，有下列结论：影响，有下列结论： 他三次都击中目标的概率是他三次都击中目标的概率是 0.93； 他第三次击中目标的概率是他第三次击中目标的概率是 0.9； 他恰好他恰好 2 次击中目标的概率是次击中目标的概率是 20.920.1； 他恰好他恰好 2 次未击中目标的概率是次未击中目标的概
9、率是 30.90.12. 其中正确结论的序号是其中正确结论的序号是_(把正确结论的序号都填上把正确结论的序号都填上) 解析：解析：三次射击是三次射击是 3 次独立重复试验，故正确结论的序号是次独立重复试验，故正确结论的序号是. 答案：答案： 探究二探究二 二项分布二项分布 典例典例 2 在一次数学考试中，第在一次数学考试中，第 14 题和第题和第 15 题为选做题规定每位考生必须且只题为选做题规定每位考生必须且只 需在其中选做一题设需在其中选做一题设 4 名考生选做这两题的可能性均为名考生选做这两题的可能性均为1 2. (1)求其中甲、乙求其中甲、乙 2 名考生选做同一道题的概率；名考生选做同
10、一道题的概率； (2)设这设这 4 名考生中选做第名考生中选做第 15 题的学生数为题的学生数为 ，求，求 的分布列的分布列 解析解析 (1)设事件设事件 A 表示表示“甲选做甲选做 14 题题”，事件，事件 B 表示表示“乙选做乙选做 14 题题”，则甲、，则甲、 乙乙 2 名考生选做同一道题的事件为名考生选做同一道题的事件为“ABA B ” ”，且事件，且事件 A，B 相互独立相互独立 所以所以 P(ABA B ) P(A)P(B)P(A)P(B)1 2 1 2 (11 2) (11 2) 1 2. (2)随机变量随机变量 的可能取值为的可能取值为 0,1,2,3,4，且，且 B(4，1
11、2) 所以所以 P(k)Ck 4(1 2) k(1 1 2) 4k Ck 4(1 2) 4(k 0,1,2,3,4) 所以所以 的分布列为的分布列为 0 1 2 3 4 P 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 用概率知识解决实际问题：用概率知识解决实际问题： 用概率知识解决实际问题的关键是建模、 利用二项分布求解时， 注意用概率知识解决实际问题的关键是建模、 利用二项分布求解时， 注意 n 是独立重复试是独立重复试 验的次数，验的次数，p 是每次试验中某事件发生的概率是每次试验中某事件发生的概率 2有有 10 台各为台各为 7.5 千瓦的机床，如果每台机床的使用情况是互相独立的，且每台
12、机千瓦的机床，如果每台机床的使用情况是互相独立的，且每台机 床平均每小时开动床平均每小时开动 12 min，问：全，问：全部机床用电超过部机床用电超过 48 千瓦的可能性有多大？千瓦的可能性有多大？ 解析：解析： 由于每台机床正在工作的概率为由于每台机床正在工作的概率为12 60 1 5， 而且每台机床有 ， 而且每台机床有“工作工作”与与“不工作不工作” 两种情况，故每一时刻正在工作的机床台数服从二项分布，即两种情况，故每一时刻正在工作的机床台数服从二项分布，即 XB(10,0.2)，P(X k)Ck 10(0.2) k(0.8)10k(k 0,1,2，10)，据题意，据题意，48 千瓦可供
13、千瓦可供 6 台机床同时工作，台机床同时工作， 用电超过用电超过 48 千瓦，即意味着有千瓦，即意味着有 7 台或台或 7 台以上的机床在工作，这一事件的概率为台以上的机床在工作，这一事件的概率为 P(X7)P(X7)P(X8)P(X9)P(X10) C7 10(0.2) 7(0.8)3 C8 10(0.2) 8(0.8)2 C9 10(0.2) 9(0.8)1 C10 10(0.2) 10(0.8)0 1 1 157. 求服从二项分布的分布列求服从二项分布的分布列 典例典例 (本小题满分本小题满分 12 分分)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得
14、比赛的局者获得比赛的 胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是1 2外，其余每局比赛甲队获胜的概 外，其余每局比赛甲队获胜的概 率都是率都是2 3.假设各局比赛结果相互独立 假设各局比赛结果相互独立 (1)分别求甲队以分别求甲队以 30，31,32 胜利的概率；胜利的概率； (2)若比赛结果为若比赛结果为 30 或或 31，则胜利方得，则胜利方得 3 分，对方得分，对方得 0 分；若比赛结果为分；若比赛结果为 32， 则胜利方得则胜利方得 2 分，对方得分，对方得 1 分求乙队得分分求乙队得分 X 的分布列的分布列 解析解析 (1)记记“甲队以甲队以
15、 30 胜利胜利”为事件为事件 A1， “甲队以甲队以 31 胜利胜利”为事件为事件 A2， “甲甲 队以队以 32 胜利胜利”为事件为事件 A3， 由题意，各局比赛结果相互独立，由题意，各局比赛结果相互独立， 故故 P(A1) 2 3 3 8 27， ，1 分分 P(A2)C2 3 2 3 2 12 3 2 3 8 27， ，3 分分 P(A3)C2 4 2 3 2 12 3 2 1 2 4 27. 所以，甲队以所以，甲队以 30 胜利、以胜利、以 31 胜利的概率都为胜利的概率都为 8 27，以 ，以 32 胜利的概率为胜利的概率为 4 27.5 分 分 (2)设设“乙队以乙队以 32 胜
16、利胜利”为事件为事件 A4， 由题意，各局比赛结果相互独立，所以由题意，各局比赛结果相互独立，所以 P(A4)C2 4 12 3 2 2 3 2 11 2 4 27.6 分 分 由题意，随机变量由题意，随机变量 X 的所有可能的取值为的所有可能的取值为 0,1,2,3. 根据事件的互斥性得根据事件的互斥性得 P(X0)P(A1A2)P(A1)P(A2)16 27. 又又 P(X1)P(A3) 4 27， ，P(X2)P(A4) 4 27， ， P(X3)1P(X0)P(X1)P(X2) 3 27， ，10 分分 故故 X 的分布列为的分布列为 X 0 1 2 3 P 16 27 4 27 4
17、27 3 27 12 分分 规范与警示规范与警示 (1)甲以甲以 32 胜利极易写成胜利极易写成 C2 4 2 3 2 12 3 2 2 3 16 81，或 ，或 C2 4 2 3 2 12 3 2 8 27. (2)求解求解 X0,1,2,3 对应的概率，利用对应的概率，利用 P(X0)P(A1A2)等可减少计算量，避免等可减少计算量，避免 失分失分 (3)解答此类问题步骤要规范，语言叙述要准确，在写分布列时表格要完整解答此类问题步骤要规范，语言叙述要准确，在写分布列时表格要完整. 随堂训练随堂训练 1任意抛掷三枚硬币，恰有两枚正面朝上的概率为任意抛掷三枚硬币，恰有两枚正面朝上的概率为( )
18、 A.3 4 B.3 8 C. 1 3 D. 1 4 解析：解析：每枚硬币正面朝上的概率为每枚硬币正面朝上的概率为1 2，正面朝上的次数 ，正面朝上的次数 XB 3，1 2 ，故所求概率为，故所求概率为 C2 3 1 2 2 1 2 3 8. 答案：答案：B 2在在 4 次独立重复试验中，事件次独立重复试验中，事件 A 至少发生至少发生 1 次的概率为次的概率为65 81，则事件 ，则事件 A 在在 1 次试验次试验 中出现的概率为中出现的概率为( ) A.1 3 B.2 5 C.5 6 D.3 4 解析：解析：由题意知，由题意知，C0 4p 0 1p 4 165 81， ，p1 3. 答案：
19、答案：A 3设设 XB(4，p)，且，且 P(X2) 8 27，那么一次试验成功的概率 ，那么一次试验成功的概率 p 等于等于_ 解析：解析：P(X2)C2 4p 2(1 p)2 8 27， ， 即即 p2(1p)2 1 3 2 2 3 2， ， 解得解得 p1 3或 或 p2 3. 答案：答案：1 3或 或2 3 4甲投篮的命中率为甲投篮的命中率为 0.7，乙投篮的命中率为，乙投篮的命中率为 0.6，每人各投，每人各投 3 次，每人恰好都投中次，每人恰好都投中 2 次的概率是多少？次的概率是多少？(结果保留两位有效数字结果保留两位有效数字) 解析：解析：甲、乙投篮相互没有影响甲、乙投篮相互没有影响 甲投篮甲投篮 3 次恰好投中次恰好投中 2 次的概率为次的概率为 P3(2)C2 3 0.720.30.441， 乙投篮乙投篮 3 次恰好投中次恰好投中 2 次的概率为次的概率为 P3(2)C2 3 0.620.40.432， 甲、乙恰好都投中甲、乙恰好都投中 2 次的概率是次的概率是 P0.4410.4320.19. 课时作业
