1、 第第5 5章章 插值与逼近插值与逼近多项式多项式Lagrange插值插值:整体性强整体性强,光滑性好光滑性好(无穷阶连续无穷阶连续),但不一定收敛但不一定收敛;分段分段Lagrange多项式多项式插值插值:局部性局部性好好,光滑性差光滑性差(C0连续连续),收敛性保证收敛性保证;分段分段 Hermite多项式多项式插值插值:局部性局部性好好,满足一定光滑性满足一定光滑性,收敛性保证收敛性保证,但需要导数值但需要导数值信息信息;插值插值:局部性局部性好好,满足一定光滑性满足一定光滑性,收敛性保证收敛性保证,只需要函数值只需要函数值信息。信息。样条插值：样条插值：（样条函数样条函数满足一定光滑性
2、的分段多项式）。满足一定光滑性的分段多项式）。?以以x1,x2,xn为节点的为节点的m次样条函数的全体记为：次样条函数的全体记为：（1 1）在每个区间）在每个区间(-(-，x1，xj,xj+1，(j=1,2,=1,2,n-1)1)和和,:21nxxx 样条函数是一个重要的逼近工具，在插值、数值微分、曲样条函数是一个重要的逼近工具，在插值、数值微分、曲 xn,+)上，上，s(x)是是一个次数不超过一个次数不超过m的实系数的实系数代数多项式代数多项式；（2 2）s(x)在在对区间对区间(-，+)上具有直至上具有直至m-1阶的连续导数阶的连续导数，则称则称y=s(x)为对应于分割为对应于分割的的m次
3、样条函数次样条函数，x1 1,x2 2,xn n 称为称为Sm(x1,x2,xn)定义定义5.35.3 对区间对区间(-，+)的一个分割：的一个分割：若若分段分段函数函数s(x)满足条件：满足条件：线拟合等方面有着广泛的应用。线拟合等方面有着广泛的应用。样条节点样条节点，m=1=1时，样条函数是分段线性函数；时，样条函数是分段线性函数；m=2 2时，是时，是1 1阶连续可微的阶连续可微的分段分段二次多项式；二次多项式；显然显然,m次样条函数比一般的次样条函数比一般的m次分段插值多项式的光滑性好。次分段插值多项式的光滑性好。问题问题:如何判断一个分段的多项式函数是如何判断一个分段的多项式函数是样
4、条函数样条函数?),.,1,0()(njxpmjP)(xs10 ),(xxxp211 ),(xxxxp1 ),(jjjxxxxpxxxpnn ),(设设)(xqjx1x2xjxnx)(0 xp)(1xp)(1xpj)(xpj)(xpn ),()()()(1jijjijxpxp1,1,0mi1,1,0 mi)()()(1xpxpxqjjj)()(jijxq)(xqj)(xpjnj,2,1光滑因子光滑因子即有即有由由m次样条函数的定义，可知次样条函数的定义，可知nj,2,1令令mP可知可知 jijjijxpxp)()(1 ,0即，即，xj是是q(x)的的 m重零点，从而有重零点，从而有mjjxxc
5、)(进一步可得，进一步可得，)(1xpjmjjxxc)()(1xpj,)(100mmxaxaaxp,)()()(1101mxxcxpxpmnnnnxxcxpxp)()()(1s(x)是是m次样条的次样条的充要条件充要条件应为应为mxxcxpxp)()()(2212njmjjxxcxp10)()(,)()()(22110mmxxcxxcxp对于满足上述性质的如下形式的分段对于满足上述性质的如下形式的分段m次多项式次多项式s(x)，),.,1,0()(njxpmjP)(xs10 ),(xxxp211 ),(xxxxp1 ),(jjjxxxxpxxxpnn ),()mxamax)(易见易见Cm-1(
6、-(-,+,+)类的分段类的分段m次多项式。次多项式。为了便于表示分段信息为了便于表示分段信息,引进截断多项式：引进截断多项式：(),mxaxa0,xa(5-30)amax)(m次截断多项式次截断多项式Cm-1(-(-,+,+)表示表示(-,+)上上m-1次连续可微函数的集合。次连续可微函数的集合。1()()(),nmmjjjs xpxcxx1()()(),nmmjjjs xpxc xx定理定理5.55.5 任意任意s(x)Sm(x1 1,x2 2,xn)均可唯一地表示为均可唯一地表示为定理定理5.65.6 为使为使s(x)Sm(x1,x2,xn)，必须且只须存在，必须且只须存在pm(x)Pm
7、x (4-31)其中其中pm(x)Pm，cj(j=1,2,=1,2,n)为实数。为实数。和和n个实数个实数c1 1,c2 2,cn，使得，使得x ),.,(dim 21nmxxxSspan结论结论),.,(21nmxxxS,1mxx mnmmxxxxxx)(,)(,)(211nmm次样条空间的维数：次样条空间的维数：例例1 验证分片多项式是三次样条函数。验证分片多项式是三次样条函数。()S x 解解 利用上面的定理利用上面的定理(光滑因子光滑因子)验证验证所以由定理所以由定理5.5可知该函数为三次样条函数可知该函数为三次样条函数3(3),x1 2x3x 2328259xxx31x 2326 1
8、93xxx10 x 226 193xx0 x32(1),x3,x1 2x2328259xxx2326 193xxx226 193xx2326 193xxx2328259xxx21110)(2323xcxbxaxxxxxS123cxbxax23xx 31,x11123cxxbxa13323xxx1 1a 13b 3c 。例例，设，设是以是以0 0，1 1，2 2为节点的三次样条函数，则为节点的三次样条函数，则a=,b=,c=。解解：1 1）由）由比较比较1,1,x,x2 2,x3 3的系数，可得的系数，可得2 2）由连续性，应有）由连续性，应有2,a2,b 1231xcxbxax123xxx1c
9、ba211233cba即，即，即即1231xcxbxax123xxx1223xcbxax1223xxxcba 2323523cba1231xcxbxax123xxx126xbxax126xxba26 26826ba3cba523cba2,2,3abc 。826 ba由一阶导数连续性，应有由一阶导数连续性，应有由二阶导数连续性，应有由二阶导数连续性，应有即，即，从而，从而，即，即，有些实际问题中提出的插值问题，要求插值曲线具有些实际问题中提出的插值问题，要求插值曲线具有较高的光滑性和几何光顺性。有较高的光滑性和几何光顺性。模线员用压铁压住弹性均匀的窄木条（模线员用压铁压住弹性均匀的窄木条（样条样
10、条）的两端，）的两端，强迫强迫样条样条通过一组已知离散的型值点。通过一组已知离散的型值点。的形状后，再沿着的形状后，再沿着样条样条画出所需的曲线。画出所需的曲线。形下，该曲线可以由形下，该曲线可以由三次样条函数三次样条函数表示。表示。插值不仅具有较好的插值不仅具有较好的收敛性收敛性和和稳定性稳定性，而且其，而且其光滑性光滑性也也较高，因此，样条函数成为了重要的插值工具。较高，因此，样条函数成为了重要的插值工具。5.3.2 5.3.2 三次样条插值及其收敛性三次样条插值及其收敛性(简介，学生自学简介，学生自学)例如，在船体放样时，例如，在船体放样时，当当样条样条取得合适取得合适在小挠度的情在小挠
11、度的情由于样条函数由于样条函数其中应用较多的是其中应用较多的是三次样条插值三次样条插值。0,1,in。.,1,0,)(niyxsii设给定节点设给定节点 a=x0 0 x1 1xn=b 及节点上的函数值及节点上的函数值 f(xi)=)=yi 3121()(,)ns xx xxS三次样条插值问题就是构造三次样条插值问题就是构造使使(5-33)插值问题：插值问题：三次样条插值问题实际上是一种特殊类型的分段三次多项式三次样条插值问题实际上是一种特殊类型的分段三次多项式1）它只在插值区间端点比它只在插值区间端点比Lagarnge多项式插值问题多两个多项式插值问题多两个边界条件，但却在内点处有一阶、二阶
12、连续的导函数，从而要比边界条件，但却在内点处有一阶、二阶连续的导函数，从而要比分段分段Lagarnge插值更光滑。插值更光滑。2）分段分段Hermite三次多项式插值问题，只有被插值函数在所有三次多项式插值问题，只有被插值函数在所有插值节点处的函数值和导数值都已知时才能使用，而且在内节点处插值节点处的函数值和导数值都已知时才能使用，而且在内节点处二阶导函数一般不连续。二阶导函数一般不连续。样条节点为插值节点样条节点为插值节点iiiidxcxbxaxS233)(1,iixxx1,1,0niiiyxS)(ni,1,0)0()0(iixSxS1,1,0ni)0()0(iixSxS1,1,0ni)0(
13、)0(iixSxS1,1,0ni下面我们讨论三次样条插值多项式下面我们讨论三次样条插值多项式s3 3(x)的构造。的构造。一般来讲，一般来讲，构造三次样条插值多项式构造三次样条插值多项式s3 3(x)，若用待定系数法，若用待定系数法，其中其中 ai,bi,ci,di 为待定系数，共有为待定系数，共有4n个。个。按定义按定义s3 3(x)应满足：应满足：（1 1）插值条件）插值条件n+1+1个：个：连续性条件连续性条件n-1个：个：可写成可写成（2 2）在内节点一阶导数连续性条件）在内节点一阶导数连续性条件n-1-1个：个：（3 3）在内节点二阶导数连续性条件）在内节点二阶导数连续性条件n-1个
14、：个：共计个共计个4n-2条件。条件。因此要确定因此要确定4n个系数，尚需要另外附加个系数，尚需要另外附加2个条件。个条件。第一种：固支条件（第一类边界条件）第一种：固支条件（第一类边界条件）称为称为自然边界条件自然边界条件；00()(),S xfx00()(),Sxfx0()()0,nfxfx0(0)(0),nS xS x0(0)(0),nS xS x0(0)(0),nSxSx通常有如下三种类型的附加条件，称为边界条件：通常有如下三种类型的附加条件，称为边界条件：特别地，特别地，已知已知 f(x0)=f(xn)确定的周期函数。确定的周期函数。()()nnS xfx第三种：周期条件第三种：周期
15、条件()(),nnSxfx第二种：第二种：()S x 20000()32,sxa xb xc00026)(bxaxs 21111()32,s xa xb xc11126)(bxaxs 0(1)1,s 01(0)(0)0,ss1)1(1s01(0)(0),ss)0()0(10ss 0(1)0,s 1(1)0s。例例，已知，已知 f(-1)=1,(-1)=1,f(0)=0,(0)=0,f(1)=1,(1)=1,求求 f(x)在区间在区间-1,1-1,1上的上的三次自然样条插值多项式。三次自然样条插值多项式。且且 解解：这里：这里n=2=2区间区间-1,1分成两个子区间，故设分成两个子区间，故设32
16、00000()1,0s xa xb xc xdx 3211111()0,1s xa xb xc xdx由插值条件和连续性条件：由插值条件和连续性条件：由在内点一阶、二阶导数连续性条件：由在内点一阶、二阶导数连续性条件：以及由自然边界条件：以及由自然边界条件：得到如下得到如下88阶线性方程组：阶线性方程组：00001,abcd11111,abcd00d01d010,cc010,bb00620,ab11620,ab011,2aa 013,2bb01010ccbb。()S x 则则 f(x)在区间在区间-1,1-1,1上的三次自然样条插值多项式为：上的三次自然样条插值多项式为：待定系数法过于繁琐，当
17、待定系数法过于繁琐，当n较大时，计算量过大，不实用。较大时，计算量过大，不实用。解之，解之，32131,022xxx 32130,122xxx()kks xm 下面我们介绍一种构造三次样条（下面我们介绍一种构造三次样条（3-Spline）插值多项式的）插值多项式的因为因为s(x)在每一个子区间在每一个子区间 xk,xk+1 上都是三次多项式，因此，上都是三次多项式，因此，当当xxk,xk+1 时，时，此方法的特点是：只需求解一个不超过此方法的特点是：只需求解一个不超过n+1设设阶线性方程组，而且力学意义明显。阶线性方程组，而且力学意义明显。(0,1,),kn1(0,1,1)kkkhxxkn在在
18、x0,xn上可以将上可以将s(x)表示成分段两点三次表示成分段两点三次Hermite插值多项式。插值多项式。由由5.2中的例中的例6，211()()1 2kkkkkkkxxxxs xs xxxxx211()kkkkkxxm xxxx21111()1 2kkkkkkkxxxxs xxxxx2111()kkkkkxxmxxxx(5-34)三转角方程构造法三转角方程构造法。xL10 11Lx 20Lx 21Lx22111332()2()()()()kkkkkkkkkkhxxhxxs xxxyxxyhh2211122()()()()kkkkkkkkxxxxxxxxmmhh。12121246426)(k
19、kkkkkkkmhxxxmhxxxxs,),()2(61131kkkkkkkxxxyyhxxx即即(4-35)因此，求因此，求s(x)的关键在于确定的关键在于确定n+1个常数个常数m0,m1,mn。为此，对为此，对s(x)求二阶导数，得求二阶导数，得(4-36)0,1,1knn个方程个方程n+1个未知量个未知量lim()kxxsx1136(2)(),kkkkkkxxxyyh112426()kkkkkkkmmyyhhh。kkkkkkkkmhxxxmhxxxxs2111211246426)(11316(2)(),kkkkkxxxyyh112111246()kkkkkkkmmyyhhh。)1,2,1
20、()(lim)(lim nkxsxskkxxxx在在（5-36）中以中以k-1-1取代取代k，便得，便得s(x)在在 xk-1-1,xk 上的表达式，并求得上的表达式，并求得 11122624642kkkkkkkkkkxxxxxxmmhh于是，对于于是，对于1,kkxxx(5-37)(5-38)得得由由lim()kxxs xlim()kxxs x112426()kkkkkkkmmyyhhh112111246()kkkkkkkmmyyhhh本节我们考虑下面三类边界条件。本节我们考虑下面三类边界条件。111111121kkkkkkkmhmhhmh112213kkkkkkyyyyhh。(5-39)1
21、,2,1(,211nkgmmmkkkkkk1,kkkkhhh1113,kkkkkkkkkyyyyghhkkkkhhhh11用用除等式两端，并化简所得方程，得到基本方程组除等式两端，并化简所得方程，得到基本方程组方程组方程组（5-40）中含中含n-1-1个方程、个方程、n+1+1个未知数个未知数m0 0,m1 1,mn。(5-40)其中其中11,kkkkhhh(5-41)为了解出为了解出mk(k=0,1,n)，还应补充两个方程。，还应补充两个方程。过在插值条件过在插值条件（5-33）上再附加两个边界条件来解决这个问题。上再附加两个边界条件来解决这个问题。因此，我们通因此，我们通n-1个方程个方程
22、n+1个未知量个未知量(1,2,1)kn,)(,)(00nnfxsfxs一、第一类边界条件是一、第一类边界条件是此时，化为此时，化为n-1-1阶线性方程组阶线性方程组(5-42)00,mf即即1121102,mmgf112,kkkkkkmmmg(2,3,2)kn121112,nnnnnnmmgf(5-43)进一步进一步 12233212222nn 解出解出m1,m2,mn-1。(5-44)12321nnmmmmm11023211nnnngfggggf三对角三对角严格对严格对角占优角占优n-1个方程个方程n-1个未知量个未知量nnmf。00()()nns xfs xf二、第二类边界条件是二、第二
23、类边界条件是(5-45)(5-45)从而边界方程可表示为从而边界方程可表示为并与并与（5-40）联立即得所需方程组：联立即得所需方程组：10001003()2,2yyhmmfh11113()22nnnnnnnyyhmmfh。(5-46)00lim()xxs xf01102000426()mmyyhhh。lim()nnxxs xf112111246()nnnnnnnmmyyhhh。由由（5-37），（5-38）边界条件可得边界条件可得两端两端20h两端两端12nh)1,2,1(,211nkgmmmkkkkkkn+1个个方方程程n+1个个未未知知量量此时化为此时化为n+1+1阶线性方程组阶线性方程
24、组1122122122212nn解得解得m0,m2,mn。(5-47)0231nnmmmmm0231nnggggg其中其中g1,g2,gn-1 如（如（4-414-41）定义，而）定义，而 (5-48)三对角三对角严格对角占优严格对角占优1000003,2yyhgfh1113.2nnnnnnyyhgfh)2,1,0(),(lim)(lim)()(0pxsxspxxpxxn001102000426lim()(),xxs xmmyyhhh 设设 f(x)是以是以xn-x0为一个周期的函数，这时为一个周期的函数，这时s(x)也应以也应以xn-x0 0由（由（5-375-37）和（）和（5-385-3
25、8）得）得从而得从而得m0=mn，所以，所以三、第三类边界条件是周期性条件三、第三类边界条件是周期性条件于是于是s(x)在端点处满足条件在端点处满足条件(5-49)为周期。为周期。112111246lim()(),nnnnnxxnnns xmmyyhhh00lim()xxs xflim()nnxxfs x0lim()xxs xlim()nxxs x再注意到，再注意到，nnnnmhhmhmh10111011211,32112001nnnhyyhyy,211nnnnngmmm简写为简写为 将将（5-51）与与（5-40）联立，并用联立，并用mn取代取代m0 0，得，得n阶线性方程组阶线性方程组(5
26、-50)其中其中(5-51)122331122222nnn得出得出m1,m2,mn。(5-52)1231nnmmmmm12321nnggggg1n 注意到，不论采用哪类边界条件，所得方程组的系数矩阵（见注意到，不论采用哪类边界条件，所得方程组的系数矩阵（见（5-445-44）、（）、（5-475-47）和（）和（5-525-52）都是严格对角占优阵，所以非奇）都是严格对角占优阵，所以非奇异，故方程组有唯一解。异，故方程组有唯一解。严格对角严格对角占优占优n个方程个方程n个未知量个未知量10010110101,3.nnnnnnnnnnnhhhhhhyyyyghh1110hhh101,yy 211
27、,yy011hh，020ff。例例 给定插值条件给定插值条件-1-10 01 11 10 01 1用三转角方程构造法求用三转角方程构造法求 f(x)的三次自然样条插值多项式。的三次自然样条插值多项式。解：解：由由（5-40）和和（5-46）可得三转角方程：可得三转角方程：其中其中012mm101122mmm122mmixiy100003()2yyhfh10211101()()3yyyyhh211213()2yyhfh1,20110hhh从而从而 01211121220 xxxxxs,0123)1(22xxxx0,1232123xxx 11210121221xxxxxs,23)1(0122xxx
28、x1,0232123xxx()S x 32131,022xxx 32130,122xxx即满足给定插值条件的即满足给定插值条件的 f(x)的三次自然样条插值多项式为：的三次自然样条插值多项式为：01012122311202223mmmmmmm 01221030.520.500123mmm032m ，10m ，232m，解之，解之，代入（代入（4-35），得），得即即,21,21111kkkkkkkkhhhhhh0,kg 112,kkkkkkmmmg14,15m ()s x 给定插值条件给定插值条件0 01 12 23 30 00 00 00 0以及第一类边界条件以及第一类边界条件m0 0=1,
29、=1,m3 3=0,=0,求三次样条插值函数。求三次样条插值函数。所求方程组为所求方程组为即即再由再由m0 0=1,=1,m3 3=0,=0,解得解得代入（代入（4-35），得），得解解012112022mmm123112022mmm2115m。1,2k。1(1)(15 11),0,115xxxx1(1)(2)(73),1,215xxxx21(3)(2),2,3.15xxxixiy例例2 2用三次样条插值函数用三次样条插值函数s(x)计算诸节点中点处的函数值，并计算诸节点中点处的函数值，并例例3 已知正弦函数表已知正弦函数表以及边界条件以及边界条件xi 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3
30、1.5 1.7fi 0.4794 0.64420.78330.89120.96360.99750.9917 9463.0)9.1(,4794.0)5.0(ss x 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 s(x)0.56462 0.71733 0.841440.93206 0.98547 0.99959 0.97386 sinx 0.56464 0.71736 0.84147 0.93204 0.98545 0.999570.97385 解解 利用在第二类边界条件，计算结果列表如下：利用在第二类边界条件，计算结果列表如下：将计算结果与将计算结果与sinx在相应点处的函数值相比较。在相应点处的函数值相比较。101max(),iii nhxx 设设f(x)C2 2 a,b,s(x)是以是以a=x0 0 x1 1xn=b为节点为节点，上述结果表明，三次样条插值的逼近效果较好。上述结果表明，三次样条插值的逼近效果较好。下面的定理说明了三次样条插值函数的收敛性。下面的定理说明了三次样条插值函数的收敛性。满足三种边界条件中的任何一种的三次样条插值函数，记满足三种边界条件中的任何一种的三次样条插值函数，记()fx。收敛于收敛于f(x)和和)(xs在在 a,b 上分别一致上分别一致则当则当h0时，时，s(x)和和定理定理5.7
