1、 高中数学专题题型分类大全函数专题一_函数的概念及其解析式的一般构成函数的概念及其解析式的一般构成 .1. 必修必修 1函数专题函数专题 一、一、函数的概念及其解析式的一般构成函数的概念及其解析式的一般构成 知知知知识识识识与与与与方方方方法法法法梳梳梳梳理理 理理 1.函数的概念：函数的概念：设 A、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 f， 使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一 确定 的数 f(x)和它对应，那么就称 f:AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数. 相关词： （1）定义域： A ； （2）值域： y| y=f(x), xA . 2.映射的概念：
2、设 A，B 是两个集合，如果按照某种对应关系 f，对于集 合 A 中的_任何一个_元素， 在集合 B 中都有唯一确定的元素 和它对应，那么这样的_对应_(包括集合 A，B，以及集合 A 到集合 B 的对应关系 f)叫做集合 A 到集合 B 的映射，记作： “ f：AB ” 3. 几种几种常见初等函数的解析式常见初等函数的解析式 函 数 解析式 参数 定义域 常函数 y = b bR R 绝对值 y=a|x| a0 R 反比例 y = k x k0 (- , 0) (0, +) 一次函数 y = ax + b a0 R 二次函数 y = ax2 + bx + c a0 R y=a(x - h)2
3、 + k 顶点:（h,k) y = a(x-x1)(x-x2) 零点: x1, x2 指数函数 y = ax a1,a0 R 对数函数 y = logax a1,a0 (0,+) 幂函数 y = x 为正整数 R 为负整数 (- , 0) (0, +) 为正分数 0, +) 为负分数 (0, +) 4.函数解析式的特殊构成：函数解析式的特殊构成： （1）分段函数：定义域分成几段，每段解析式不同. （2）复合函数：形如 fg(x),内函数 g(x)的函数值作为外函数 f(x)的自变量 取值，计算外函数的值即为复合函数值. （4）变换函数：经过平移或伸缩及对称等变换得到的函数. （3）合成函数：由
4、几个已知函数（初等或其复合与变换函数）通过加减乘 除等基本运算形成的函数. （5）周期函数：存在非零常数 T，使得对函数定义域内的任意数 x 都有 f(x+T)=f(x)成立. 5.解析解析式运算性质：式运算性质： （1）根式运算性质： ()n n a = a（n 为偶数时 a0,否则无意义） ； nn a= 为偶数） 为奇数） na na ( | ( .(nN*) （2）分数指数幂与根式换算:（m,nN*,n1) m n a(a0) = n am ; m n a (a0) = 1 n am . （3）指数式与对数式互化（a0, a1,b0） ： am = b logab=m （4）指数式运算
5、性质（a0, b0） aras =ar+s (ar)s =ars (ab)r= arbr ar as =ar-s (a b) r = a r br （5）对数式运算性质（m,a,b0,a,m1,M0, N0） loga（MN）= logaM+logaN, logaM N =logaM - logaN, logmb logma =logab, logaMn= nlogaM , alogaM= M, loga1= 0, logaa= 1. 6.常识常识知识与方法：知识与方法： （1）分数指数幂的底：负数不能像正数那样定义分数指数幂 （否则会造成运算矛盾） ，.零只能定义正的分数指数幂。 无理指数幂
6、也如此。 （2）求定义域的常用经验： 分式分母不为 0; 偶次根式下大于等于 0； 真数大于 0； 底数大于 0，不等于 1；0 的 0 次幂没意义；分段函数的定义 域为各段并集; 合成函数的定义域取交集；复合函数的定义 域：由外函数的定义域限制内函数的取值值域，进而确定内函数 自变量的取值范围,此即复合函数的定义域. （3）两种常见半周期(t)函数 f(x)(周期为 T=2t )的等式条件.： f(x + t) = k - f(x)， (kR) f(x + t) = k f(x) , (k0) （4）求函数解析式常用方法： 求已知函数的解析式 直接列等式法； 直接求参数法； 待定系数法. 利
7、用复合函数求未知函数的解析式 配项法； 换元法； 函数方程法. 题题型型型型分分分分类类类类例例例例析析析析 （一）函数概念的理解与应用 1. 函数对应关系解析式的判断函数对应关系解析式的判断 题型结构特征：题型结构特征：判断对应关系解析式的合理性，或两种表示 是否等价. 判断判断识识识识真真真真 给出下列四个对应： AR，BR，对应关系 f：xy，y 1 x1； Aa|1 2aN *，Bb|b1 n，nN *，对应关系 f：a b，b1 a； Ax|x0，BR，对应关系 f：xy，y2x； Ax|x 是平面内的矩形，By|y 是平面内的圆， 对应关系 f：每一个矩形都对应它的外接圆 其中是从
8、 A 到 B 的映射的是_ 【例题1】 下列函数中，表示同一函数的是（ ） A.y= 5 x5 与 y = x2 B. y= lnex与 y=elnx C.y=(x-1)(x+3) x-1 与 y=x+3 D. y = x0与 y= 1 x0 高中数学专题题型分类大全函数专题一_函数的概念及其解析式的一般构成函数的概念及其解析式的一般构成 .2. 2. 函数对应关系图像的判断函数对应关系图像的判断 题型结构特征：题型结构特征：判断图像表示的对应关系的合理性. 【例题2】 若函数 f(x)的定义域为 M=x| -2x2,值域 为 N=y|0y2，则函数 y=f(x)图象只可能是（ ） 类型题（一
9、) 1. 下列对应： MR，NN，对应关系 f：“对集合 M 中的元素，取 绝对值与 N 中的元素对应”； M1，1,2，2，N1,4，对应关系 f：xyx2， xM，yN； M三角形，Nx|x0，对应关系 f：“对 M 中的三 角形求面积与 N 中元素对应” 是集合 M 到集合 N 上的函数的有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D0 个 2. 下列各组函数中，表示同一个函数的是( ) Ayx1 和 yx 21 x1 Byx0和 y1 Cf(x)x2和 g(x)(x1)2 Df(x) x 2 x 和 g(x) x x2 3. 已知函数 f(x)|x1|，则下列函数与 f(x)相等的函数是(
10、 ) Ag(x)|x 21| |x1| Bg(x) |x 21| |x1|，x1， 2，x1 Cg(x) x1，x0， 1x，x0 Dg(x)x1 4. a，b 为实数，集合 Mb a，1，Na，0，f：x2x 表示 把集合 M 中的元素 x 映射到集合 N 中为 2x， 则 ab( ) A2 B0 C2 D2 （二）函数的定义域 1. 求函数定义域求函数定义域 题型结构特征：题型结构特征：已知函数解析式求其定义域. 【例题3】 函数 f(x) 1 2|x| x21(x4)0的定义域为 _. 解法解法辩辩辩辩伪伪伪伪 1.已知函数 f(x2 3) = lg x2 x2 - 4 ，求 f(x)的
11、定义域. 错解 1只需 lg x2 x2 - 4 有意义， x2 x2 - 4 0, x 2 4 0, x 2 或 x 0, x 1. 即 f(x)的定义域为( - , - 3)(1, +). 2.函数 f(x + 2)的定义域为 -1，2，求函数 f(x)的定义域. 错解因为函数 f(x + 2)的定义域为 -1，2，所以 1 x + 2 2, 则 3 x 0 函数 f(x)的定义域为 - 3, 0. 2. 逆用函数定义域逆用函数定义域 题型结构特征：题型结构特征：已知函数定义域求解析式中相关参数. 【例题4】 若函数 f(x)2x22axa的定义域为 R， 则实 数 a 的取值范围为_ 类
12、型题（二) 1. 2017 山东理 1设函数 y = 4 - x 2 的定义域为 A，函数 y = ln(1 - x)的定义域为 B, 则 AB = ( ) A.（1,2） B.(1,2 C.（-2,1） D.-2,1) 2. 若函数 12 2 2 aaxx xf定义域为 R， 则a的取值范围 是_ 3. 函数 1 ( )lg(1) 1 f xx x 的定义域是 （ ） A.(, 1) B(1,) C( 1,1) (1,) D(,) 4. 2014 山东理 3函数 1)(log 1 )( 2 2 x xf 的定义域为( ) A. ) 2 1 0( ， B. (2,+) C. ), 2() 2
13、1 0(U， D. )2 2 1 0(， U 5. 已知函数 y = 3 x - 1 kx2 + 4kx + 3 的定义域为 R，则 k 的取值范围 是 . 6. 已知集合 Ax|x4，g(x) 1 1xa的定义域为 B，若 AB，则实数 a 的取值范围是_ 7. （1）若 f(x)的定义域为-1,1，则 f(2x1)的定义域是 . （2）若 f(x + 1)的定义域为-1, 1，则 f(2x)的定义域是 . （3）若 f(x + 3)的定义域为-5, -2，则 f(x + 1) + f(x 1)的定 义域. 8. 2 2 ( )lg x x f x ，则 2 2 ( )( ) x x ff的
14、定义域为 . 2 -2 x y O A 2 -2 x y O B 2 y 2 -2 x O C 2 2 -2 x y O D 2 高中数学专题题型分类大全函数专题一_函数的概念及其解析式的一般构成函数的概念及其解析式的一般构成 .3. （三）函数式的运算与求值 1. 根式及分数指数幂的运算根式及分数指数幂的运算 题型结构特征：题型结构特征：含有根式或分数指数幂式子的运算问题. 判断判断识识识识真真真真 下列根式中分数指数幂的互化，正确的是（ ） A. 1 2 ()xx B. 1 3 2 6 yy C. 3 4 3 4 1 ( )x x D. 1 3 3 xx (x0) 2. 指数式的运算指数式
15、的运算 题型结构特征：题型结构特征：含有指数式的运算问题. 【例题5】 设 f(x)= 4x 4x + 2，若 01.若 logab+logba=5 2 ， ab=ba，则 a= ，b= . 5. 抽象函数值的计算问题抽象函数值的计算问题 题型结构特征：题型结构特征：没有解析式，但常常给出函数具有的某种性 质(如恒等关系式)等已知条件，进而求函数值. 【例题8】 已知 f(x)是定义在(0，)上的函数，对任意 x0，y0 都有 f(x y)f(x)f(y)若 f(3)1，则 f(9)_ 类型题（三) 1. （2015 浙江理 12）若 2 log 3a ，则22 aa 2. 2015 陕 西
16、文 10设 ( )ln ,0f xxab ， 若 ()pfab ， () 2 ab qf ， 1 ( ( )( ) 2 rf af b ，则下列关系式中正确的是 （ ） Aq rp Bq rp Cp rq Dp rq 3. 设25 ab m，且 11 2 ab ，则 m = ( ) A.10 B.10 C.20 D.100 4. 下列函数中，不满足 f(2x)2f(x)的是( ) Af(x)|x| Bf(x)x|x| Cf(x)x1 Df(x)x 5. 2014 四川文 7已知0b ， 5 log ba，lgbc，510 d ，则 下列等式一定成立的是（ ） A.dac B.acd C.cad
17、 D.dac 6. 对于函数 ( )lgf xx 定义域中任意 12 ,x x 12 ()xx 有如下结 论： 1212 ()( )()f xxf xf x ； 1212 ()()()f xxf xf x ； 12 12 ( )() 0 f xf x xx ； 1212 ()() () 22 xxf xf x f .上述结论中 正确结论的序号是 ( ) A B C D （四）反函数 1. 求反函数解析式求反函数解析式 题型结构特征：题型结构特征：判断或求反函数. . 判断判断识识识识真真真真 函数)(2 1 Rxy x 的反函数是 A. )0(log1 2 xxy B. ) 1)(1(log2
18、xxy C. )0(log1 2 xxy D. ) 1)(1(log2xxy 【例题9】 2016 上海文已知点(3,9)在函数 f(x) = 1 + ax的 图像上，则 f(x)的反函数 f - 1 (x) = . 【例题10】 2014 全国大纲 12函数( )yf x的图象与函数 ( )yg x 的图象关于直线0xy对称，则( )yf x的反函 数是（ ） Ay=g(x) By=g(-x） Cy= - g(x) Dy= - g(- x) 解法解法辩辩辩辩伪伪伪伪 函数 f(x)=x3+1 的反函数 f -1(x)=_. 错答 1 3 (1)x 高中数学专题题型分类大全函数专题一_函数的概
19、念及其解析式的一般构成函数的概念及其解析式的一般构成 .4. 错解由 yx3+1，得 x3 1y 1 3 (1)y, 将 y 改成 x，x 改成 y 可得答案. 2. 利用反函数计算利用反函数计算 题型结构特征：题型结构特征：利用反函数关系求值或解参数. . 【例题11】 2017 上海 8 定义在（0，+）上的函数 y = f(x) 的反函数为 y = f - 1(x)， 若 31 ,0 ( ) ( ),0 x x g x f xx 为奇函数， 则 f - 1(x) = 2 的解为 类型题（四) 1. 函数 3 ln(1)(1)yxx 的反函数是（ ） A 3 (1) (1) x yex B
20、 3 (1) (1) x yex C 3 (1) () x yexR D 3 (1) () x yexR 2. 若函数 y=f(x)是函数 (0,1) x ya aa且 的反函数，其图像 经过点( , )a a，则 f(x)=（ ） A. 2 log x B. 1 2 log x C. 1 2x D. 2 x 3. （2015 上海文 4）设 f-1(x)为 f(x)= x 2x+1 的反函数，则 f-1(2)= . （五）分段函数 1. 分段函数求值分段函数求值 题型结构特征：题型结构特征：无参分段求值. . 【例题12】 2015 新课标 2函数 2 1 1 log (2),1, ( )
21、2,1, x x x f x x , 则 2 ( 2)(log 12)ff( ) A3 B6 C9 D12 2. 分段函数求参分段函数求参 题型结构特征：题型结构特征： 分段式含参或分段点含参或等式含参.确定参 数值. . 【例题13】 已知函数 f(x) 1x，x0， ax，x0， 若 f(1)f(-1)， 则实数 a 的值等于( ) A1 B2 C3 D4 【例题14】 已知实数 a0，函数 2,1 ( ) 2 ,1 xa x f x xa x , 若 f(1-a)=f(1+a)，则 a 的值为 . 3. 分段函数求解析式分段函数求解析式 题型结构特征：题型结构特征：已知某段函数求未知段函
22、数. . 【例题15】 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x).若当 0x1 时.f(x)= x(1-x)，则当-1x0 时，f(x) =_. A1 B2 C3 D4 解法解法辩辩辩辩伪伪伪伪 已知奇函数 f(x)，当 x0 时，f(x) = x2 + 2x,求 x0）， f（x）（x0 且 f(x)为偶函数，判断 F(m) F(n)能否大于零？ 高中数学专题题型分类大全函数专题一_函数的概念及其解析式的一般构成函数的概念及其解析式的一般构成 .5. 7. 分段函数的最值分段函数的最值 题型结构特征：题型结构特征：分段函数最值要分段考察. . 【例题21】 2015浙江理
23、10已知函数 2 2 3,1 ( ) lg(1),1 xx f xx xx ， 则 ( ( 3)f f ，( )f x的最小值是 8. 绝对值分段函数绝对值分段函数 题型结构特征：题型结构特征：由绝对值确定的分段函数. . 【例题22】 已知 f(x)x|xa|b，xR. (1)当 a1，b0 时，判断 f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)当 a1，b1 时，若 f(2x)5 4，求 x 的值； (3)若 b0， 2x， x0，且 xy，都有 f(x) + 2f(y) 3f( x + 2y 3 ). (1)试判断 f1(x) = log2x 及 f2(x) = (x + 1)2是否在集合 A
24、中？ 说明理由； (2)设 f(x)A，且定义域是(0,+)，值域是(1,2)，f(1) 3 2 , 写出一个满足以上条件的 f(x)的解析式；并证明你写出的函数 f(x)A. 类型题补充类型题补充 高中数学专题题型分类大全函数专题一_函数的概念及其解析式的一般构成函数的概念及其解析式的一般构成 .9. 方法点拨及参考答案或提示方法点拨及参考答案或提示函数专题（一）函数专题（一） （一）函数概念的理解与应用 1. 函数对应关系解析式的判断函数对应关系解析式的判断 方法要领指点方法要领指点：注意函数的三要素：定义域、值域、对应关系。 两个函数是否相同， 也就取决于这三方面是否相同。判 断一种关系
25、是否是（由 A 到 B 的）函数(或映射)，也要 注意这三方面。即考察 A（定义域）集合中的每一个元 素在 B（未必是值域，但一定包含值域）集合是否有且 唯一元素与之对应， 另外由 A 到 B 可多对一， 但不能一 对多. . 判断判断识识识识真真真真 【解析】(1)g(x) |x 21| |x1|x1|，x1， 2，x1， 与 f(x)的定义域 和对应关系完全一致，故选 B. (2)对于，当 x1 时，y 值不存在，所以不是从 A 到 B 的映射； 对于，A，B 两个集合分别用列举法表述为 A2，4，6，B1，1 2， 1 3， 1 4，由对应关系 f： ab，b1 a知，是从 A 到 B
26、的映射； 不是从 A 到 B 的映射， 如 A 中元素 1 对应 B 中两个元素 1；是从 A 到 B 的映射 【例题1】 B 解析 A 中两函数值域不同，C、D 是定义域不同 2. 函数对应关系图像的判断函数对应关系图像的判断 方法要领指点方法要领指点：注意考察图像，也要从三要素方面审查。即从 图像上读出定义域，值域及对应关系是否合理. . 【例题2】 注意定义域和值域的限制，A 中定义域为 -2,0M,D 中值域不等于 N=0,2， C 中对应关系属于有一 对多情况。只有 B 正确. 类型题（一) 1. A. 2.D. 3.B 4.解析: 12a， b a20 a2， b0 ab2. （二
27、）求函数的定义域 1. 求函数定义域求函数定义域 方法要领指点方法要领指点： 参见 知知识识与与方方法法梳梳理理 6 求定义域常用经验. . 【例题3】 解析: 要使函数有意义须满足 2|x|0， x210， x40， 解 得 x1 且 x2，x4 或 x1 且 x2. 函数的定义域为x|x1 且 x2，x4 或 x1 且 x 2，用区间表示为(，2)(2，11，2)(2，4) (4，) 解法解法辩辩辩辩伪伪伪伪 1. 正解 lg x2 x2 - 4 有意义时， x2 x2 - 4 0, x 2 4 0, 即 x2 4 x2 - 3 1，即 f(x)定义域为(1, +) 2.正解因为函数 f(
28、x + 2)的定义域为 -1，2，所以 1 x 2, 则 1 x + 2 4 函数 f(x)的定义域为1, 4. 2. 逆用函数定义域逆用函数定义域 方法要领指点方法要领指点： 虽然定义域已知，但仍然还是从如何求定义域 思考入手. . 【例题4】 解析: 函数 f(x)的定义域为 R，所以 2x22ax a0 对任意 xR 恒成立，因此有(2a)28a0，解 得2a0 类型题（二) 1. D解析:A= -2, 2, B=(-, 1)，故 AB = -2, 1). 2. 1,0 3.C 4.C 5.0k 0, x 0, y 0, 所以只有 x = 4y 成立，故 log2 x y = 2. 【例
29、题6】 解析（1） f(- x)ln(1 - x) - ln(1x)ln1 - x 1 + x - ln1 + x 1 - x - ln(1+x) - ln(1-x) - f(x). （2）当 x(-1，1)时， 2x 1 + x2 (-1，1)，且 f( 2x 1 + x2 ) ln(1+ 2x 1 + x2 ) ln(1 - 2x 1 + x2 )ln 1 + x2 + 2x 1 + x2 - 2xln( 1 + x 1 - x) 22 ln1 + x 1 - x2ln(1x) - ln(1 - x)2f(x). 高中数学专题题型分类大全函数专题一_函数的概念及其解析式的一般构成函数的概念
30、及其解析式的一般构成 .10. 4. 指数与对数式的混合运算指数与对数式的混合运算 方法要领指点方法要领指点： 注意运用指数式与对数式的运算法则及相互间 的转化处理. 判断判断识识识识真真真真 D 【例题7】 a=4,b=2C 解析: 设 logaa = t，则 logab = 1 t , 由 t + 1 t = 5 2 且 t1 解得 t = 2，于是 log ba = 2,a = b 2. 由 a b = ba得 b2b = ba.又 b1，a = 2b 则 b2 = 2b,解得 b = 2,a=4. 5. 抽象函数值的计算问题抽象函数值的计算问题 方法要领指点方法要领指点： 给出的函数恒
31、等性质的充分利用是关键，根据 需要将恒等式中的变量进行有效赋值. 【例题8】 解析f(3)f( 9 3 )f(9) - f(3)，得 f(9)2f(3) 2. 类型题（三) 1. 10 3 2. C C 解析： 1 ()lnln 2 pfababab ； ()ln 22 abab qf 11 ( ( )( )ln 22 rf af bab 因为 2 ab ab ，由 ( )lnf xx 是个递增函数， ()() 2 ab ffab 所以qpr，故答案选 C 3. A 解析： a=log2m, b=log5m， 1 a + 1 b = 1 log2m + 1 log5m =logm2+logm5
32、 =logm10, m = 10 4. C 解析:f(x)kx 与 f(x)k|x|均满足 f(2x)2f(x)得：A，B，D 满足条件 5. B 6.B （四）反函数 1. 求反函数解析式求反函数解析式 方法要领指点方法要领指点： 掌握反函数的概念，求反函数步骤是：反解 x； 对换 x,y.不是所有函数都有反函数.反函数与原函 数是关于 y = x 直线对称的，解题时可充分利用. . 判断判断识识识识真真真真 C.解析 由 y = 2x + 1得 x + 1 = log2y， 即 x = log2y 1, 将 x , y 对换即得反函数 y = log2x 1 .答案选 C 【例题9】 lo
33、g2(x - 1) 解析 由 f(3) = 9解得 a = 2， 即f(x) = 1 + 2x, 反解 x = log2(y - 1). 故反函数为 f -1(x) = log2(x - 1) 【例题10】 D.解析设( )yf x的反函数上任一点 M(x,y)， 则有 x = f(y)，即(y,x)在函数( )yf x的图象上. 又函数 ( )yf x的图象与函数( )yg x的图象关于直线0xy 对称， 则有( - x, - y)在函数 y = g(x)图象上， 所以- y = g( - x) 即 y = - g( -s x)，答案选 D 解法解法辩辩辩辩伪伪伪伪 正解由 yx3+1，得
34、x3 1y , 将 y 改成 x，x 改成 y 可得 y 3 x - 1 ,此即 f(x)的反函数( 3 x - 1 不等价于 1 3 (1)x ， 定义域 不同）. 2. 利用反函数计算利用反函数计算 方法要领指点方法要领指点： 常利用 y = f - 1(x)等价于 f(y) = x. 【例题11】 解析， 由 f - 1(x) = 2,得 f(2) = x, x = f(2) = g(2) = - g( - 2) = - ( 3 - 2 - 1) = 8 9 类型题（四) 1. D 2.B. 3. 2 3 （五）分段函数 1.1. 分段函数求值分段函数求值 方法要领指点方法要领指点： 分
35、段函数求值注意取段. . 【例题12】 C 解析由已知得 2 ( 2)1 log 43f ，又 2 log 121 ，所以22 log 12 1log 6 2 (log 12)226f ，故 2 (2 )( l o g1 2 )9ff ，故选 C 2.2. 分段函数求参分段函数求参 方法要领指点方法要领指点： 分段函数求参数常须讨论参数进而选择段位表 示解析式. . 【例题13】 B解析 f(1) = a, f( - 1) = 2 所以 a = 2 【例题14】 a = - 3 4 . 解析 a0 时，f(1 a) = 2(1 a) + a, f(1 + a) = - (1 + a) 2a,
36、由 f(1-a)=f(1+a)得 a = - 3 4 . 3.3. 分段函数求解析式分段函数求解析式 方法要领指点方法要领指点： 充分利用函数的对称性及周期变化规律，将已 知函数式递推到未知段段函数解析式. . 【例题15】 解析当-1 x 0 时，0 x + 1 1, 则 f(x) = 1 2 f(x + 1) = 1 2 (x + 1)1 (x + 1) = - 1 2 x(x + 1). 解法解法辩辩辩辩伪伪伪伪 正解f(x)是奇函数，f(-x) = - f(x),当 x 0. f(x) = - f( - x) = - (x2 - 2x) = - x2 + 2x. 4.4. 解分段函数不
37、等式解分段函数不等式 方法要领指点方法要领指点： 分段函数分段解，注意自变量的范围. . 解法解法辩辩辩辩伪伪伪伪 正解x 0 时，由 x2 - x 1 2 2+ 20 1 恒成立，即 x 1 2 ; 当 0 2 0 + 0 + 1 2 1, 则 0 1 解得 x - 1 4 , 即- 1 4 0, 且 a 0 即 a 2. 分段点处必有 (a 2) 1 loga 1，则 a 3. 综上 a 取值范围是(2,3 【例题20】 解析 (1)f(1)0，ab10， 又 xR，f(x)0 恒成立， a0， b24a0， b24(b1)0b2，a1. f(x)x22x1(x1)2. F(x) （x1）
38、2（x0）， （x1）2（x0） ax21（xn0，|m|n|， F(m)F(n)f(m)f(n)am21an21a(m2 n2)0， F(m)F(n)大于零 7.7. 分段函数的最值分段函数的最值 题型结构特征：题型结构特征：分段函数最值要分段考察,分段求其最值，最 值中再取最值. . 【例题21】 0, 2 2 -3解析 x1 时， f(x) = x + 2 x - 3 = ( x - 2 x ) 2 + 2 2 - 3，当 x = 2 时 f(x)取得最小值 2 2 - 3； 当 x 2 2 - 3 综上 f(x)最小值取 2 2 - 3. 8. 绝对值分段函数绝对值分段函数 方方法要领
39、指点法要领指点： 依据绝对值概念分段(去除绝对值符号). . 【例题22】 解析 (1)当 a1，b0 时，f(x)x|x1|既不 是奇函数也不是偶函数. f(1)2，f(1)0，f(1)f(1)，f(1)f(1) 所以 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数 (2)当 a1，b1 时，f(x)x|x1|1， 由 f(2x)5 4，得 2 x|2x1|15 4 即 2 x1 （2x）22x1 40 或 2 x0 t2t20或 t0，a1，ln (ab)ln abbln abln a；当 00，不成立； 中，当a b 1，即 ab 时，左边0，右边ln a - lnb0， 左边右边成立； 当a b
40、1 时， 左边ln a b ln a - ln b0， 若 ab1 时，右边ln a - ln b，左边右边成立；若 0b0，左边lna b ln a - ln bln a， 右边ln a，左边右边成立，正确； 中，若 01，所以 g(x)是 R 上的减函数，由符号函 数 1,0, sgn0,0, 1,0. x xx x 知， 1,0, sgn ( )0,0,sgn 1,0. x g xxx x 4. (0,2)解析因为函数1)( 2 mxxxf是 1, 1上的平 均值函数，所以 (1)( 1) 1 ( 1) ff m ，即关于x的方程 2 1xmxm， 在(1 , 1 )内 有 实 数 根 ， 即 2 10mxmxm ，若0m ，方程无解，所以 0m ，解得方程的根为 1 1x 或 2 1xm.所以必有 111m ，即02m，所以实数m的取值范围 是02m，即(0,2) . 5. 解析 当1 2 3 2 .
