1、高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学第二节第二节 直接证明与间接证明直接证明与间接证明 第二章第二章 推理与证明推理与证明高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学课前自主学案课前自主学案 高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学知识梳理知识梳理 1直接证明（1）综合法：从题设的_出发，运用一系列有关_作为推理的依据，逐步推演而得到要证明的结论，这种证明方法叫做综合法.综合法的推理方向是由_到_，表现为_，综合法的解题步骤用符号表示是：_.特点:“由因导果”，因此综合法又叫_法（2）分析法：分析法的推理方向是由_到_，论证中步步寻求使其成立的_，如此逐步归结到已知的条件和已经成立的事实，从而
2、使命题得证，表现为_，分析法的证题步骤用符号表示为_.已知条件 已确定真实的命题 已知 求证 由因索果 P0(已知)P1P2Pn(结论)顺推 结论 题设 充分条件 执果索因 B(结论)B1B2BnA(已知)高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学特点：“执果索因”，因此分析法又叫_法或_法.2间接证明假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立这样的证明方法叫反证法反证法是一种间接证明的方法（1）反证法的解题步骤：_推演过程中引出矛盾_.（2）反 证 法 的 理 论 依 据 是：原 命 题 为 真，则 它 的_为真，在直接证明有困难时，就可以转化
3、为证明它的_成立.逆推法 执果索因 否定结论 肯定结论 逆否命题 逆否命题 高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学（3）反证法证明一个命题常采用以下步骤：假定命题的结论不成立.进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾.由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的.肯定原来命题的结论是正确的.即“反设归谬结论”.（4）一般情况下，有如下几种情况的求证题目常常采用反证法：第一，问题共有n种情况，现要证明其中的一种情况成立时，可以想到用反证法把其它的n-1种情况都排除，从而肯定这种情况成立；高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学第二，命题是以否定命题
4、的形式叙述的；第三，命题用“至少”、“至多”的字样叙述的；第四，当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆命题又是非常容易证明的.高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学基础自测基础自测 1.（2009年广东卷）已知等比数列an满足an0，n=1,2,且a5 a2 n-5=22 n(n 3)，则 当 n 1 时，l o g2a1+log2a3+log2a2n-1=（）A.n(2n-1)B.(n+1)2C.n2 D.(n-1)2解析：由a5a2n-5=22n(n3)得a2n=22n,an0,则an=2n,log2a1+log2a3+log2a2n-1=1+3+(2n-1
5、)=n2,选C.答案：C高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学2.（2009年宁夏海南卷）等差数列an的前n项和为Sn，已知am-1+am+1-a2m=0,S2m-1=38,则m=（）A.38 B.20 C.10 D.9解析：因为an是等差数列，所以，am-1+am+1=2am，由am-1+am+1-a2m=0，得：2am-a2m0，所以，am2，又S2m-1=38,即(2m-1)(a1+a2m-1)/238，即（2m1）238，解得m10，故选C.答案：C高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学3设函数f(x)满足f(n+1)=(nN+)且f(1)=2，则f(20)=_.2)(2nnf答案
6、答案:974(2008年佛山一模)观察：；.对于任意正实数a,b，试写出使 成立的一个条件可以是_.1121571125.165.511231933112ba 答案答案:a+b=22 高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学课堂互动探究课堂互动探究 高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学用综合法证明数学命题 已知PA O所在的平面，AB是 O的直径，C是圆周上不同于A,B的任一点，过A点作AEPC于点E，如右图所示.求证：AE平面PBC.分析：用综合法，根据线面垂直的判定定理，只要证AE与平面PBC内的两条相交直线垂直即可.证明：（1）PA平面ABC，PABC.又AB是 O的直径，BCAC.
7、而PAAC=A，BC平面PAC.高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学又AE在平面PAC内，BCAE.PCAE，且PCBC=C，AE平面PBC.点评：证明直线与平面垂直的常用方法有：利用线面垂直的定义；利用线面垂直的判定定理；利用“若直线a直线b，直线a平面，则直线b平面”.高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学变式探究变式探究 1.如右图所示，设ABCD是空间四边形，ABAD，CBCD.求证：ACBD.证明：如下图所示，设BD的中点为K，连结AK，CK.高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学ABAD，K为BD的中点，AKBD.同理可证CKBD.且AKCK=K，BD平面ACK.AC 平面
8、ACK，ACBD.高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学用分析法证明数学命题用分析法证明数学命题 （2009年临沂月考）若a0，求证：.212122aaaa分析：用分析法.证明：要证 只需证 a0,两边均大于零，因此只需证212122aaaa212122aaaa高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学2222)21()21(aaaa只需证 22221441aaaaaaaa12222122只需证)1(22122aaaa只需证)21(2112222aaaa即证 2122aa此式显然成立.故原不等式成立 高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学变式探究变式探究 2.设实数x，y满足y+x2=0，0
9、a1.求证：loga(ax+ay)loga2+.81证明：要证loga(ax+ay)loga2+.0a1，只需证：ax+ay .又ax+ay =，只需证：ax+y ，（又0a2,则b2-a.于是a3+b3a3+(2-a)3=8-12a+6a2=6(a-1)2+22.与已知相矛盾，所以 a+b2.高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学变式探究变式探究 4.若0a1,0b ,又0a(1-a),0b(1-b),根据y=-x2+x(0 x 矛盾,因此，ab与(1-a)(1-b)不可能都大于41161414116116141高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学温馨提示温馨提示 高考总复习高考总复习
10、.文科文科.数学数学1.综合法是一种由因索果的证明方法，又叫顺推法.它常见的书面表达形式是：“,”或“”.利用综合法证明“若A则D”命题的综合法思考过程可表示为(如右图所示)：综合法的思维过程是由因导果的顺序，是从A推演到达D的途径，但由A推演出的中间结论未必唯一，如B，B1，B2等，可由 B，B1，B2能推演出的进一步的中间结论则可能更多,如C1，C2，C3，C4等等，最终能有一个（或多个）可推演出结论D即可.高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学2.分析法是一种执果索因的证明方法，又叫逆推法或执果索因法.它常见的书面表达形式是：“要证,只需证”或“”.对于命题“若A则D”利用分析法证明的
11、思路图如右图所示：分析法的思考顺序是执果索因的顺序，是从 D上溯寻其论据，如 C、C1、C2等，再寻求 C、C1、C2的论据，如B、B1、B2、B3、B4等等,继而寻求B、B1、B2、B3、B4的依据，如果其中之一B的论据恰为已知条件，于是命题已经得证3解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：如命题“若P则Q”的推演过程可用框图表示为：高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学4.反证法是一种间接的方法，常常是利用直接证法如综合法、分析法有困难时利用反证法来证明，即“正难则反”.高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学 题型展示台题型展示台 高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学 已
12、知曲线C:xy=1,过C上一点An(xn,yn)作一斜率为kn=-的直线交曲线C于另一点An+1（xn+1,yn+1），点列An(n=1,2,3,)的横坐标构成数列xn，其中x1=.(1)求xn与xn+1的关系式；（2）求证：+是等比数列 21nx71121nx31高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学解析：（1）设直线ln：y=kn(x+1)，联立x2-2nx+y2=0得(1+k2n)x2+(2k2n-2n)x+k2n=0，则=(2k2n-2n)2-4(1+k2n)k2n=0，kn=（）X2n =，即xn=，yn=kn(xn+1)=12 nn12 nn2222)1(1nnkknn1nn11
13、2nnn（2）证明：121111111nnnnnxxnn高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学x1x3x5x2n-1=x1x3x5x2n-1由于 ,可令函数 ，令f(x)=0，得cosx=，给定区间(0,)，则有f(x)0，则函数f(x)在(0,)上单调递减，f(x)f(0)=0，即x 在(0,)恒成立，又0 ，nn2124343211212435331nn121nnnxx11nnnnxxnyx11121xxxfsin2)(2244xsin24314121n高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学则有 ，即 .121sin2121nnnnnnyxxxsin211高考总复习高考总复习.文科文科
14、.数学数学 已知点B1(1,y1),B2(2,y2),Bn(n,yn)（nN*）在直线y=x+1上，点A1(x1,0)，A2(x2,0),A3(x3,0),，An(xn,0)顺 次 为 x 轴 上 的 点，其 中 x1=a(0 a 1)，对 于 任 意nN*,An,Bn,An+1构成以Bn为顶角的等腰三角形，设AnBnAn+1的面积为Sn.（1）证明：数列yn是等差数列;（2）求S2n-1（用a和n的代数式表示）.21高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学（1）设满足题设的等比数列为an,则an=qn-1，于是|an-an-1|=|qn-1-qn-2|=|q|n-2|q-1|,n2.因 此|
15、an+1-an+an-an-1+|a2-an|=|q-1|(1+|q|+|q|2+|q|n-1).因为|q|1,所以1+|q|+|q|2+|q|n-1=,即|an+1-an|+|an-an1|+|a2-a1|故首项为1，公比为q(|q|1)的等比数列是B-数列.nnqq|1|1|11q|11qq高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学（2）命题a：若数列xn是B-数列，则数列Sn是B-数列,此命题为假命题.事实上，设xn=1，nN*,易知数列xn是B-数列，但Sn=n,|Sn-1-Sn|+|Sn-Sn+1|+|S2-S1|=n.由n的任意性知，数列Sn是B-数列此命题为假命题.命题b:若数列Sn是B-数列，则数列xn是B-数列，此命题为真命题事实上，因为数列Sn是B-数列，所以存在正数M，对任意的nN*,有高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学|Sn+1-Sn|+|Sn-Sn-1|+|S2-S1|M,即|xn+1|+|xn|+|x2|M.于是|xn+1-xn|+|xn-xn-1|+|x2-x1|xn+1|+2|xn|+2|xn-1|+2|x2|+|x1|2M+|x1|.所以数列xn是B-数列.高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学祝祝您您
