1、1 1 1第三讲第三讲 向量组的秩向量组的秩一、向量组的秩和最大线性无关组的概一、向量组的秩和最大线性无关组的概念念三、向量组的秩和最大线性无关组的三、向量组的秩和最大线性无关组的求法求法第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性二、向量组的秩和矩阵的秩的关系二、向量组的秩和矩阵的秩的关系2 2 2定义 设向量组 中有一部分向量组 ，该部分向量组满足以下条件件m ,21,21ii ri,(1)线性无关；(2)再加入原向量组中任意其它一个向量(如果有的话)所形成的新的部分向量组都线性相关；则称向量组 为向量组的一个最大线性无关组.m ,21riii ,21一、秩和最大线性无关组的概念一、
2、秩和最大线性无关组的概念3 3 3例例1 求 的最大线性无关组.10110,1,1,20000 1200 100,100 解：是线性无关的，因其对应的方程组为且其余向量都可由这两个向量线性表出：110010000 1,10 01,000000110110101,202 1.000000 4 4 4 最大线性无关组不一定是唯一的，但最大线性无关组中所含向量个数是一定的.秩的定义：向量组的秩=最大线性无关组中向量的个数.注：只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0.011,100 也是最大线性无关组.所以 是最大线性无关组.100,100 5 5 5等于它的行向量组的秩.定理 矩阵的秩等于
3、它的列向量组的秩,也二、向量组的秩和矩阵的秩的关系二、向量组的秩和矩阵的秩的关系 R(a1,a2,am).今后向量组 a1,a2,am 的秩也记作.最最大大无无关关组组行行即即是是行行向向量量组组的的一一个个所所在在的的最最大大无无关关组组，列列即即是是列列向向量量组组的的一一个个所所在在的的，则则的的一一个个最最高高阶阶非非零零子子式式是是矩矩阵阵若若rDrDADrrr注：注：6 6 6 下面我们讨论如何求一个向量组的秩和最大线性无关组。12,m 求向量组组的秩：作矩阵12,m 阶梯阵(行变换).阶梯阵中每行第一个非零元所对应的向量构成最大线性无关组。三、秩和最大线性无关组的求法三、秩和最大
4、线性无关组的求法7 7 7向量组的秩=矩阵的秩。例1.12011,2,3,41245 42213143120112001201123400330033124500440000 rrrrrr判别线性相关性，并求一个最大线性无关组和秩.解：由这些向量组成一个矩阵线性相关，最大线性无关组为：101,3.14 秩秩=2.8 8 8例2.设矩阵,97963422644121121112 A求矩阵A的各列构成的向量组的一个最大线性无关组，并把不属于最大线性无关组的列向量用最大线性无关组线性表示出来.解：97963422644121121112),(54321 A9 9 9rrrrrr 2131412431
5、121403316010 106120334321112112144622436979rr 1211214211124622436979rr r 342211214033160553600039rr 3253112140331640004300039rr 3434311214033160001300013r r4311214033160001300000101010r 23112141011230001300000rr 231311214011030001300000rr 13111207011030001300000 00000310003011040101rr 12111214033160
6、001300000111111,3),(54321 R A的列向量组的最大线性无关组含有三个向量，由最后一个矩阵易知 是一个最大线性无关组.421,00000310003011040101,04213 .3344215 ),(54321 A121212定义3 设有两个向量组 及表示,则称这两个向量组等价.线性表示若向量组与向量组能相互线性向量组线性表示,则称向量组能由向量组,若向量组中的每个向量都能由最后，介绍向量组等价的概念.注：注：向量组 A 和它自已的最大无关组 A0 等价.v向量组与其最大线性无关组等价向量组与其最大线性无关组等价.这是最大线性无关组这是最大线性无关组的一个本质性质的一个本质性质.131313小结：小结：1、向量组的秩和最大线性无关组的概念；2、向量组的秩和最大线性无关组的求法.
