1、一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则 第九节二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续函数的运算与初等函数的连续性 第一章 定理定理2.连续单调递增连续单调递增 函数的反函数也连续单调函数的反函数也连续单调xx cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则定理定理1.在某点连续的在某点连续的有限个有限个函数经函数经有限次有限次和和,差差,积积,(利用极限的四则运算法则证明利用极限的四则运算法则证明)连续连续xx cos,sin商商(分母不为分母不为 0)运算运算,结果仍是一个在该点连续的函数结果仍是一
2、个在该点连续的函数.例如例如,例如例如,xysin 在在2,2 上连续单调递增，上连续单调递增，其反函数其反函数xyarcsin(递减递减).(证明略证明略)在在 1,1 上也连续单调递增上也连续单调递增.递增递增(递减递减)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理3.连续函数的复合函数是连续的连续函数的复合函数是连续的.xey 在在),(上连续上连续 单调单调 递增递增,其反函数其反函数xyln 在在),0(上也连续单调递增上也连续单调递增.证证:设函数设函数)(xu ,0连续连续在点在点 x.)(00ux ,)(0连续连续在点在点函数函数uxfy .)()(li
3、m00ufufuu 于是于是)(lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf 故复合函数故复合函数)(xf.0连续连续在点在点 x又如又如,且且即即机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例如例如,xy1sin 是由连续函数链是由连续函数链),(,sin uuy,1xu *R x因此因此xy1sin 在在*R x上连续上连续.复合而成复合而成,xyoxy1sin 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1.设设)()(xgxf与与均在均在,ba上连续上连续,证明函数证明函数 )(,)(max)(xgxfx 也在也在,ba上连续上连续.
4、证证:21)(x)()(xgxf )()(xgxf )()(21)(xgxfx )()(xgxf 根据连续函数运算法则根据连续函数运算法则,可知可知)(,)(xx 也在也在,ba上连续上连续 .)(,)(min)(xgxfx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续一切初等函数一切初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续例如例如,21xy 的连续区间为的连续区间为1,1(端点为单侧连续端点
5、为单侧连续)xysinln 的连续区间为的连续区间为Znnn ,)12(,2(1cos xy的定义域为的定义域为Znnx ,2 因此它无连续点因此它无连续点而而机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2.求求.)1(loglim0 xxax 解解:原式原式xxax1)1(loglim0 ealog aln1 例例3.求求.1lim0 xaxx 解解:令令,1 xat则则,)1(logtxa 原式原式)1(loglim0ttat aln 说明说明:当当,ea 时时,有有0 x)1ln(x 1 xexx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例4.求求
6、.)21(limsin30 xxx 解解:原式原式)21ln(sin30limxxxe xxxe230lim 6e 说明说明:若若,0)(lim0 xuxx则有则有 )()(1lim0 xvxuxx,)(lim0 xvxxe )(1ln)(lim0 xuxvxx e)()(lim0 xuxvxx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1,41,)(xxxxx 例例5.设设,1,21,)(2 xxxxxf解解:讨论复合函数讨论复合函数)(xf 的连续性的连续性.)(xf 1,2 xx1,2 xx故此时连续故此时连续;而而)(lim1xfx 21lim xx 1)(lim1xf
7、x )2(lim1xx 3 故故)(xf x=1为第一类间断点为第一类间断点.1)(),(2 xx 1)(,)(2 xx ,)(1为为初初等等函函数数时时xfx 在点在点 x=1 不连续不连续,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 内容小结内容小结基本初等函数基本初等函数在定义区间内连续在定义区间内连续连续函数连续函数的四则运算的结果连续的四则运算的结果连续连续函数连续函数的反函数连续的反函数连续连续函数连续函数的复合函数连续的复合函数连续初等函数在初等函数在定义区间内定义区间内连续连续说明说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性左、右连续性.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考与练习思考与练习,)(0连续连续在点在点若若xxf是否连是否连在在问问02)(,)(xxfxf续续?反例反例 ,1,1)(xf x 为有理数为有理数 x 为无理数为无理数处处间断处处间断,处处连续处处连续.反之是否成立反之是否成立?提示提示:“反之反之”不成立不成立.第十节第十节 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )(,)(2xfxf)(xf
