1、112马尔萨斯人口模型：假设某特定区域在马尔萨斯人口模型：假设某特定区域在 t0 时刻的人口时刻的人口p(t0)=p0为已知的，该区域人口的自然增长率为为已知的，该区域人口的自然增长率为。人口的增长与人口的总数成正比，所以人口的增长与人口的总数成正比，所以 t 时刻的人口时刻的人口总数总数 p(t)满足如下的微分方程：满足如下的微分方程：00,ptp tp tp生活中常常有这样一类问题：生活中常常有这样一类问题：问问 题题 的的 提提 出出这些常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来这些常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的问题，实际问题中归结出来的微分
2、方程主求解一些特殊类型的问题，实际问题中归结出来的微分方程主要靠数值解法。要靠数值解法。3解析法：给出精确解析解。只适合少数简单情况。解析法：给出精确解析解。只适合少数简单情况。近似解法：给出解的近似表达式。如级数法近似解法：给出解的近似表达式。如级数法,逐步逼近法。逐步逼近法。数值方法：给出方程在离散点上的近似解。它适合计算机数值方法：给出方程在离散点上的近似解。它适合计算机求解求解,应用广泛应用广泛,具有理论应用价值。具有理论应用价值。常微分方程的解法：常微分方程的解法：内容分类：内容分类：定解问题定解问题初值问题初值问题边值问题边值问题单步法单步法Euler方法方法Taylor方法和方法
3、和Runge-Kutta方法方法多步法多步法Adams方法和一般线性多部法方法和一般线性多部法线性多部法的收敛性与稳定性线性多部法的收敛性与稳定性4一阶常微分方程初值问题的一般形式：一阶常微分方程初值问题的一般形式：问题问题:求函数求函数(),y xaxb满足满足(,),()dyf x yaxbdxy a其中其中:f(x,y)为已知函数为已知函数,是已知值是已知值.(可能是观察值或实验值可能是观察值或实验值)基本条件：基本条件：f(x,y)在在D上连续；上连续；f(x,y)在在D上关于变量上关于变量y满足满足Lipschitz连续条件：连续条件：设设(,),Dx y axb y 121212.
4、(,)(,),f x yf x yL yyaxby y满足解的满足解的存在唯一存在唯一5对求解区域对求解区域a,b做剖分做剖分 构造数值解法的基本思想构造数值解法的基本思想在区间在区间xk,xk+1上对微分方程做积分上对微分方程做积分,则有则有0012,nkknxaxxxxb 常用等步长常用等步长:()hb a n,则有则有(0,).kxakh kn将微分方程的准确解记为将微分方程的准确解记为y(x),(,).kkkf x yf称为步长。称为步长。(1,2,)kn()ky x的近似解记为的近似解记为,ky11()()(,()kkxkkxy xy xf x y xdx1kkkhxx能不能将微分转
5、化为积分？能不能将微分转化为积分？6因此，建立节点处近似值因此，建立节点处近似值yn满足的差分公式满足的差分公式称之为称之为Euler公式公式.10(,),0,1,2,1kkkkyyhfxyykn对对右边的积分应用左矩形公式，则有右边的积分应用左矩形公式，则有1()()(,()kkkky xy xhfxy x11()()(,()kkxkkxy xy xf x y xdx7Euler公式的几何意义公式的几何意义y10(,),0,1,2,1kkkkyyhfxyykn特点：特点：简单，精度低简单，精度低.8例例 求解初值问题求解初值问题 2 0101 xyyxyy解：解：Euler公式的具体形式为公
6、式的具体形式为12nnnnnxyyh yy取步长取步长 h=0.1，那么即可计算该微分方程。，那么即可计算该微分方程。具体结果见下页。具体结果见下页。912yx解析解：解析解：10(2)前向差分近似微分法前向差分近似微分法前向差分前向差分1()()kkky xy xh近似近似 ,得得1()()(,()kkkkky xy xf xy xh将近似号改为等号，结合初始条件即得：将近似号改为等号，结合初始条件即得：(,),()dyf x yaxbdxy a10(,),0,1,2,1kkkkyyhfxyyknkdy xdx前面前面Euler方法是通过左矩形积分方法推导出来的，实际上方法是通过左矩形积分方
7、法推导出来的，实际上 Euler方法还可以通过其他几种方法推导出来。方法还可以通过其他几种方法推导出来。11(3)Taylor展开法展开法()211()()()(,(),2!kkkkkykxkkkkyy xy xh f xy xhxx忽略高阶项忽略高阶项 ，2kh结合初值条件结合初值条件y(x0)=即得即得()(,),()(,()kkkdyy xf x ydxy xf xy x将将 y(xk+1)在在x=xk点进行点进行Taylor展开展开1110(,),0,1,2,1kkkkyyhfxyyknEuler公式的局部截断误差：公式的局部截断误差：22111()()()=,2!2kkkkkkkkk
8、yyxy xyhhxx12后退的后退的Euler公式公式如果采用后向差分如果采用后向差分1()()kkky xy xh近似近似 ,得得111()()(,()kkkkky xy xf xy xh将近似号改为等号，结合初始条件即得：将近似号改为等号，结合初始条件即得：(,),()dyf x yaxbdxy a1110(,),0,1,2,1kkkkyyhfxyykn1ndy xdx未知未知这一类公式称为隐式的，相对应的前面介绍的这一类公式称为隐式的，相对应的前面介绍的Euler公式称为公式称为显式的显式的13显式：更加方便计算显式：更加方便计算隐式：数值稳定性更好隐式：数值稳定性更好显式与隐式的特点
9、显式与隐式的特点：隐式方程的计算方法隐式方程的计算方法：隐式方程常用迭代法计算，而迭代的过程实质是逐步显式化。隐式方程常用迭代法计算，而迭代的过程实质是逐步显式化。设用设用Euler公式公式 给出迭代的初值给出迭代的初值 ，用它代入后退，用它代入后退Euler公式，使之转化为显式，得公式，使之转化为显式，得1(,)kkkkyyhfxy 01ny 10111(,)kkkkyyhfxy然后再代入后退然后再代入后退Euler公式公式 21111(,)kkkkyyhfxy14如此反复进行得：如此反复进行得：1111(,)0,1,2nnkkkkyyhfxyn如果迭代过程收敛，则极限值如果迭代过程收敛，则
10、极限值 必满足隐式必满足隐式方程，从而获得后退方程，从而获得后退Euler方法的解。方法的解。11limnkknyy 后退后退Euler方法局部截断误差为方法局部截断误差为22111()(),2!2 ,kkkkkkkkkyyyxhhxxxy 15例例 用后退用后退Euler方法求解初值问题方法求解初值问题 2 0101 xyyxyy解：解：(1)取步长取步长 h=0.1，首先用，首先用Euler方法计算初值，方法计算初值，12nnnnnxyyh yy(2)用它代入后退用它代入后退Euler公式，使之转化为显式，得公式，使之转化为显式，得 1111(,)0,1,2kknnnnyyhfxyk161
11、71822111()(),2!2kkkkkkkkkyyxhhyxxyx 22111()()()=,2!2kkkkkkkkkyyxy xyhhxxEuler后退后退Euler 误差误差如果将这两种方法进行算术平均，即可消除误差的主如果将这两种方法进行算术平均，即可消除误差的主要部分要部分 从而获得更高的精度。这种平均化的从而获得更高的精度。这种平均化的方法通常称为梯形方法，其计算公式为：方法通常称为梯形方法，其计算公式为：2,2yh111(,)+(,)2kkkkkkhyyfxyfxy19即为前面导出的梯形微分方程公式即为前面导出的梯形微分方程公式.1110(,)(,)2,0,1,2,1kkkkk
12、khyyf xyf xyykn若对上式右边的积分应用梯形求积公式，则可导出差分公式若对上式右边的积分应用梯形求积公式，则可导出差分公式11()()(,()kkxkkxy xy xf x y xdx梯形公式也可以通过积分的方法来获得：梯形公式也可以通过积分的方法来获得：将微分方程化为积分方程的形式将微分方程化为积分方程的形式20梯形方法的求解梯形方法的求解梯形方法是隐式的，可用迭代法求解。同后退的梯形方法是隐式的，可用迭代法求解。同后退的Euler方法方法一样，仍用一样，仍用Euler方法提供迭代初值，则梯形法的迭代公式方法提供迭代初值，则梯形法的迭代公式为：为：011111(,)0,1,2(,
13、)(,)2kkkknnkkkkkkyyhf xynhyyf xyf xy21例例 用梯形方法求解初值问题用梯形方法求解初值问题 2 0101 xyyxyy 解：解：(1)取步长取步长 h=0.1，首先用，首先用Euler方法计算初值，方法计算初值，012kkkkkxyyh yy(2)用它代入梯形公式，使之转化为显式，得用它代入梯形公式，使之转化为显式，得 11111222nkkkknkkknkxxyyyyhyy222324问题问题梯形法虽然提高了精度，但其算法复杂，在迭代公式进行计梯形法虽然提高了精度，但其算法复杂，在迭代公式进行计算时，每迭代一次，都要重新计算函数算时，每迭代一次，都要重新计
14、算函数 f 的值，而迭代又要的值，而迭代又要反复进行若干次，计算量很大，而且往往难以预测。反复进行若干次，计算量很大，而且往往难以预测。1用用Euler公式求得一个初步的近似值公式求得一个初步的近似值再用梯度公式将它校正一次再用梯度公式将它校正一次为了控制计算量，通常只迭代一两次就转入下一步为了控制计算量，通常只迭代一两次就转入下一步的计算的计算2预测值预测值校正值校正值这个方法也叫做：改进的这个方法也叫做：改进的Euler公式公式 或或 预估预估-校正公式校正公式25预测预测1(,)kkkkyyhf xy校正校正111(,)(,)2kkkkkkhyyf xyf xy这个公式也可以写为这个公式
15、也可以写为1(,)(,(,)2kkkkkkkkhyyf xyf xh yhf xy262728梯形法步骤：梯形法步骤：预估校正法步骤：预估校正法步骤：Euler 梯形梯形 梯形梯形 梯形梯形Euler 梯形梯形 Euler 梯形梯形29Euler两步方法两步方法如果采用后向差分如果采用后向差分1()()kkky xy xh近似近似 ,得得后向后向Euler方法方法1ndy xdxndy xdx如果采用前向差分如果采用前向差分1()()kkky xy xh近似近似 ,得得 Euler方法方法如果采用中心差分如果采用中心差分11()()2kkky xy xh近似近似 ,得得Euler两步方法两步方
16、法ndy xdx(,),dyf x yaxbdx112(,)kkkkyyhfxy即即30前面介绍过的数值方法，无论是前面介绍过的数值方法，无论是Euler方法，后退的方法，后退的Euler方方法，还是改进的法，还是改进的Euler方法，他们都是方法，他们都是单步法单步法，其特点是在计，其特点是在计算算 yn+1 时值用到前一步的信息时值用到前一步的信息 yn；然而；然而Euler两步法中的公式两步法中的公式除了除了 yn 外，还显含更前面一部的信息外，还显含更前面一部的信息 yn-1，即调用了前面两，即调用了前面两步的信息，步的信息，Euler两步法两步法因此而得名。因此而得名。单步法的优点：
17、单步法的优点：单步法的优点是单步法的优点是“自开始的自开始的”，只要给出初值，只要给出初值 y0，依计算公，依计算公式可顺次计算式可顺次计算 y1，y2 而两步法除了给出初值而两步法除了给出初值 y0，还需要求助于其他单步法再提供，还需要求助于其他单步法再提供一个开始值一个开始值 y1，然后才能启动计算公式依次计算，然后才能启动计算公式依次计算 y2，y3 31两步法的优点：两步法的优点：两步法的优点是它调用了两个节点上的已知信息，从而能以两步法的优点是它调用了两个节点上的已知信息，从而能以较少的计算量获得较高的精度。较少的计算量获得较高的精度。如果用如果用Euler两步公式与梯形公式相匹配，
18、得到下列预测两步公式与梯形公式相匹配，得到下列预测-校校正系统：正系统：112(,)kkkkyyhf xy111(,)(,)2kkkkkkhyyf xyf xy校正校正预测预测32例例 用用Euler两步法求解初值问题两步法求解初值问题 2 0101 xyyxyy 解：解：(1)取步长取步长 h=0.1，首先用，首先用Euler方法计算初值，方法计算初值，010002xyyh yy(2)用它代入用它代入Euler两步法公式，得两步法公式，得112(,)kkkkyyhf xy333435例例 用用Euler两步法的预测校正方法求解初值问题两步法的预测校正方法求解初值问题 2 0101 xyyxy
19、y 解：解：(1)取步长取步长 h=0.1，首先用，首先用Euler方法计算初值，方法计算初值，010002xyyh yy(2)用它代入用它代入Euler两步法公式，得两步法公式，得112(,)kkkkyyhf xy111(,)(,)2kkkkkkhyyf xyf xy(3)用它代入梯形公式，得用它代入梯形公式，得363738ans=1/(x-1+2*exp(-x)MATLAB 解解常常微分方程初值问题命令微分方程初值问题命令2,02(0)1dyyxyxdxy解析解命令解析解命令:dsolve(eqn1,.)1()12xy xxe 解析解解析解:例例syms x ydsolve(Dy=y-x*y2,y(0)=1,x)39 MATLAB 解解常常微分方程初值微分方程初值问题命令问题命令数值解命令数值解命令:ode23(f,a,b,y0)2,02(0)1dyyxyxdxy例例f=inline(y-x.*y.2);x,y=ode23(f,0,2,1)40作作 业业1 1思考题思考题1 1中的（中的（a a）（f f）2 2习题习题3 3
