1、 四川省 2017 级高三大数据精准教学第二次统一监测 理科数学 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用 0.5 毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试 条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”. 2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答 案；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸 上、试卷上答题无效. 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
2、目要 求的. 1.已知全集UR，集合 2 430Ax xx，12Bxx ，则 U C AB （ ） A.1,1 B.1,2 C.1,3 D.1,3 2.若复数z在复平面内对应的点的坐标为1,2，则 1 z i （ ） A. 13 22 i B. 13 22 i C.1 3i D.1 3i 3.已知向量1,2a，3,4b ，若/a b，则实数（ ） A. 11 3 B. 5 2 C. 1 2 D. 5 3 4.若 5 cos 45 ，则sin2（ ） A. 3 5 B. 3 5 C. 4 5 D. 4 5 5.函数 2 xx x f x ee 的大致图像是（ ） A. B. C. D. 6.若
3、6 2 a x x 展开式的常数项为 160，则a（ ） A.1 B.2 C.4 D.8 7.若过点 3,1P的直线l是圆 2 2 :2 34Cxy的一条对称轴， 将直线l绕点P旋转30得到直线 l ， 则直线 l 被圆 C 截得的弦长为（ ） A.4 B.2 3 C.2 D.1 8.如图， 已知圆锥底面圆的直径AB与侧棱SA，SB构成边长为2 3的正三角形， 点 C 是底面圆上异于 A， B 的动点，则 S，A，B，C 四点所在球面的面积是（ ） A.4 B. 32 3 C.16 D.与点 C 的位置有关 9.甲、乙、丙、丁 4 名学生参加体育锻炼，每人在 A，B，C 三个锻炼项目中恰好选择
4、一项进行锻炼，则甲 不选 A 项、乙不选 B 项的概率为（ ） A. 1 3 B. 4 9 C. 5 9 D. 7 12 10.若函数sin0,0,0yAx Ax的图像上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则 A（ ） A.4 B.2 C. D. 2 11.若函数 1 ln 1 x f xx x ，且210faf a，则 a 的取值范围是（ ） A. 1 , 3 B. 1 1 , 2 3 C. 1 0, 3 D. 1 0, 2 12.已知 O 为直角坐标系的原点，矩形OABC的顶点 A，C 在抛物线 2 4xy上，则直线OB的斜率的取值 范围是（ ） A. , 22, B. , 44,
5、C. ,22, D. , 2 22 2, 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.若实数 x，y 满足 1 20 20 y xy xy ，则2zxy的最小值为_. 14.已知平面平面，直线l，且l不是平面，的交线.给出下列结论： 平面内一定存在直线平行于平面；平面内一定存在直线垂直于平面； 平面内一定存在直线与直线l平行；平面内一定存在直线与直线l异面. 其中所有正确结论的序号是_. 15.阿波罗尼奥斯是古希腊时期与阿基米德、欧几里得齐名的数学家，以其姓氏命名的“阿氏圆” ，是指“平 面内到两定点的距离的比值为常数0,1 的动点轨迹”.设ABC的角 A，B，C 所对
6、的边分别为 a，b，c，顶点 C 在以 A，B 为定点，2的一个阿氏圆上，且 3 C ，ABC的面积为 3 2 ，则c _. 16.若关于 x 的不等式 2 1 ln1xxbx a 恒成立，则ab的最大值是_. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都 必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.（12 分） 已知数列 n a的前 n 项和是 n S，且22 nn Sa，等差数列 n b中， 1 20b ， 3 16b . （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）定义：
7、 , * , aab a b bab .记* nnn cab，求数列 n c的前 10 项的和 10 T. 18.（12 分） 某学校课外兴趣小组利用假期到植物园开展社会实践活动，研究某种植物生长情况与温度的关系.现收集了 该种植物月生长量 y（cm）与月平均气温 x（）的 8 组数据，并制成如图所示的散点图. 根据收集到的数据，计算得到如下值： x y 8 2 1 i i xx 1 8 ii i yyxx 18 12.325 224.04 235.96 （1）求出 y 关于 x 的线性回归方程（最终结果的系数精确到 0.01） ，并求温度为 28时月生长量 y 的预报 值； （2）根据 y
8、关于 x 的回归方程，得到残差图如图所示，分析该回归方程的拟合效果. 附：对于一组数据 122 , nn vvv，其回归直线 v 的斜率和截距的最小二乘估计分 别为 1 2 1 n li i n i i vv ， v. 19.（12 分） 如图，在四边形ABCD中，/AD BC，ABAD，30ABE，90BEC，2AD ，E 是AD的 中点.现将ABE沿BE翻折，使点 A 移动至平面BCDE外的点 P. （1）若3FCPF，求证：/DF平面PBE； （2）若平面PBE 平面BCDE，求平面PBE与平面PCD所成锐二面角的余弦值. 20.（12 分） 在直角坐标系内，点 A，B 的坐标分别为2,
9、0，2,0，P 是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜 率之积等于 1 4 .设点 P 的轨迹为 C. （1）求轨迹 C 的方程； （2）某同学对轨迹 C 的性质进行探究后发现：若过点1,0且倾斜角不为 0 的直线l与轨迹 C 相交于 M，N 两点，则直线AM，BN的交点 Q 在一条定直线上.此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线 方程；若不正确，请说明理由. 21.（12 分） 已知函数 2 11 0 2 x a x f xxa e . （1）若曲线 yf x在1x处切线的斜率为1e，判断函数 f x的单调性； （2）若函数 f x有两个零点 1 x， 2 x，证明 12 0xx
10、，并指出 a 的取值范围. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】 （10 分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 43 : xt C yt （t 为参数） ，曲线 2 1 cos : sin x C y ， （为参数） ，以 坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线 1 C， 2 C的极坐标方程； （2）射线tan0,0 2 yxx 分别交 1 C， 2 C于 A，B 两点，求 OB OA 的最大值. 23.【选修 4-5：不等式选讲】 （10 分） 已知
11、函数 32f xxx. （1）求 f x的值域； （2）记函数 f x的最小值为 M.设 a，b，c 均为正数，且a b cM ，求证： 149 12 abc . 四川省 2017 级高三大数据精准教学第二次统一监测 理科数学参考答案及评分标准 评分说明： 1.本解答只给出了一种（或两种）解法供参考.如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分参考制定相应的评分细则. 2.对计算题，当考生的解答在菜一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响 程度决定后部分的给分，但不得超过该正确部分解答得分的一半；如果后继部分的解得有严重错误，就不 再给分. 3.只给
12、整数分.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B C A D A B C B D C D 1.本小题主要考査一元二次不等式的解法、补集与并集等基础知识；考查运算求解能力. 由 2 430xx解得1x或3x ， 则 , 13 ,A ， 所以1,31,21,3 U C AB . 2.本小题主要考查复数的几何意义、复数的运算等基础知识；考查运算求解能力. 由1 2zi 得 1 211 213 11222 iizi i ii
13、. 3.本小题主要考查共线向量、平面向量的数量积等基础知识；考查运算求解能力. 因为/a b，所以4 12 3 ，解得 1 2 . 4.本小题主要考查诱导公式、余弦的二倍角公式、三角函数求值等基础知识；考查运算求解能力；考查化归 与转化思想. 法一：根据已知，有 2 2 53 sin2cos22cos121 2455 . 法 二 ： 由 5 c o s 45 得 10 cossin 5 ， 两 边 平 方 得 2 12 s i nc o s 5 ， 所 以 3 2 s i nc o s 5 ，即 3 sin2 5 . 5.本小题主要考查函数图象和性质等基础知识；考查抽象概括等数学能力；考查数形
14、结合、特殊与一般等思 想方法. 由 fxf x可知， f x为奇函数，排除 A，B；当0x时， 2 2 xx x f xx ee . 6.本小题主要考查二项式定理等基础知识；考查运算求解能力. 二项式展开式的常数项为 3 3 333 66 28160 a CxCa x ，解得1a . 7.本小题主要考查直线与圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力和 创新意识；考查化归与转化、数形结合等思想方法. 由题意知，点 P 在圆 C 上，且圆心 C 在直线l上，所以2PC .如图，设 l 与圆交于 P，Q 两点，线段PQ 的中点为 H，则在RtPHC中，cos303PHP
15、C，故直线 l 被圆 C 截得的弦长2 3PQ . 8.本小题主要考查圆锥的概念、球面面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力. 如图，设底面圆的圆心为 O，S，A，B，C 四点所在球面的球心为 1 O，连接SO，则SO平面ABC，且 1 O 在线段SO上.易知3SO，3AO .设球 1 O的半径为 R，在 1 RtO AO中，由勾股定理得 2 2 2 33RR，解得2R .故球面面积为 2 416R. 9.本小题主要考查分类加法原理和分步乘法原理、概率等基础知识；考查应用意识、创新意识；考查分类与 整合等思想方法. 法一：每位学生选择三个锻炼项目有 1 3 C种，则 4
16、人总的选择方式共有 4 14 3 3C种；其中甲、乙的选择方 式有 2 2 1 2 2C种，其余两人仍有 2 12 3 3C种，故甲不选 A、乙不选 B 项目的概率为 22 4 234 39 . 法二：只考虑甲、乙的选择，不加限制均为 3 种，受到限制后均为 2 种，而甲乙的选择相互独立，故甲不 选 A、乙不选 B 项目的概率为 224 339 . 10.本小题主要考查正弦函数的图象及其性质等基础知识；考查运算求解能力、应用意识和创新意识；考查 化归与转化、数形结合等思想方法. 作出函数sin0,0,0yAx Ax的大致图象，不妨取如图的相邻三个最值点.设其中两个最大值 点为 M，N，最小值点
17、为 P.根据正弦函数图象的对称性，易知MNP为等腰直角三角形，且斜边上的高 2PQA，所以斜边4MNA，则sinyAx周期4TA.由 2 T ，有 22 4TA ，所以 2 A . 11.本小题主要考查函数基本性质、不等式的解法等基础知识；考查运算求解能力、抽象概括能力和创新意 识；考查化归与转化、数形结合等思想方法. 由题知 f x的定义域为1,1，且 12 lnln1 11 x f xxx xx ，所以 f x为奇函数且在 1,1上单调递减.由210faf a，可知21faf a，于是有 111 121 21 a a aa ，解得 1 0 3 a. 12.本小题主要考査直线与抛物线的方程及
18、其位置关系等基础知识；考查运算求解、推理论证能力及创新意 识；考查化归与转化、数形结合等思想方法. 如图， 设 11 ,A x y， 22 ,C x y，则 1212 ,B xx yy，依题意， 四边形OABC为矩形， 则0OA OC， 即 1212 0x xy y， 所 以 22 12 12 0 16 x x x x ， 即 12 16x x ， 从 而 ， 直 线OB的 斜 率 12 12 yy k xx 2 22 1212 1212 121212 28 444 xxx xxxxx xxxxxx 1212 1212 88 22 2 44 xxxx k xxxx . 当且仅当 12 12 8
19、 4 xx xx ，即 12 4 2xx时等号成立，故 , 2 22 2,k . 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 题号 13 14 15 16 答案 3 3 e 13.本小题主要考查线性規划问题等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合等思想方法. 不等式组表示的可行域是以2,0，1,1，3,1为顶点的三角形及其内部，当目标函数2zxy过点 1,1时，z 取得最小值 3. 14.本小题主要考查平面与平面垂直的性质、空间直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的判定、直线与 直线的位置关系等基础知识；考查空间想象能力、逻辑推理能力. 若l与两平面的交线相交，则平面内不存
20、在直线与直线l平行，则错误；根据条件可推断正确. 15.本小题主要考査三角形面积公式、氽弦定理等基础知识；考查运算求解能力、应用意识和创新意识；考 查数形结合、化归与转化等思想方法. 由已知，不妨设2ba，由 3 C ， 2 133 sin 222 ABC Sa bCa ，解得1a ，则2b，据余 弦定理有 222 2cos3 3 caba b ，所以3c . 16.本小题主要考查函数的导数及其应用等基础知识；考查抽象概括能力、运算求解能力和创新意识；考查 化归与转化、数形结合等思想方法. 由0a，0x， 原 不 等 式 可 化 为 ln11x xab xa . 设 ln1 fx x x ，
21、则 22 1 ln1 2ln xx x x fx xx ， 当 2 0,xe时， 0fx， f x递增； 2, xe， 0fx， f x递减.所以， f x在 2 xe处取得极大值，且为最大值 2 1 e ；且xe时， 0f x .结合图象可知， 1 yxab a 的图象恒在 f x的图象的上方， 显然0a不符题意； 当0a时，ab为直线 1 yxab a 的横截距， 其最大值为 f x的横截距， 再令 0f x ， 可得xe， 所以ab取得最大值为e.此时 2 ae， 1 b e ，直线与 f x在点,0e处相切. 三、解答题：共 70 分.解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤.第 172
22、1 题为必考题，每个试题考生都 必须作答.第 22、23 题为选考题，考生依据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.（本小题满分 12 分） 本小题主要考查等比数列和等差数列的概念、通项公式、前 n 项和公式等基础知识；考查运算求解能力及 应用意识；考查分类与整合、化归与转化等思想方法. （1）对于数列 n a，当1n 时，由22 nn Sa得 1 2a 1 分 当2n时，由22 nn Sa， 11 22 nn Sa 两式相减得 1 2 nn aa ， 所以数列 n a是首项为 2，公比也为 2 的等比数列， 所以数列 n a的通项公式2n n a .3 分 设等差数列 n b的公差
23、为 d，则 31 162042bbd，解得2d ， 所以数列 n b的通项公式222 n bn.6 分 （2）由（1）知： * 2 ,13 222 * ,4 n nnn n cabnN nn .8 分 所以， 1012345610 Taaabbbb 3 1 410 1 7 12 aq bb q .10 分 3 4 2 1 2 7 142 225670 1 22 .12 分 18.（本小题满分 12 分） 本小题主要考査回归方程、统计案例等基础知识；考查抽象概括、数据处理、运算求解等能力和应用意识. （1）设月生长量 y 与月平均气温 x 之间的线性回归方程为 yabx. 8 1 8 2 1 2
24、35.96 1.053 224.04 ii i i i yyxx b xx ，.4 分 所以 12.325 1.053 186.63aybx ， 则 y 关于 x 的线性回归方程为1.056.63yx.6 分 当28x时，1.05 286.6322.77y （cm）. 所以，在气温在 28时，该植物月生长量的预报值为 22.77cm.8 分 （2）根据残差图，残差对应的点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度窄，该回归方程的 预报精度相应会较高，说明拟合效果较好.12 分 19.（本小题满分 12 分） 本小题主要考查平面与平面垂直的性质、直线与平面平行的判定、空间向量等基础知识；考
25、查空间想象能 力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化等思想方法. （1）法一：依题意得2BE ，4BC ， 1 / 4 DEBC.1 分 如图，在线段PB上取靠近点 P 的四等分点 G，连接FG，EG， 因为 1 4 PGPF PBPC ，所以 1 / 4 GFBC. 所以/DE GF.3 分 所以四边形DEGF为平行四边形，可得/DF EG.4 分 又DF 平面PBE，EG 平面PBE，.5 分 所以/DF平面PBE.6 分 法二：如图，在线段BC上取靠近点 B 的四等分点 H，连接FH，DH， 因为 3 4 CFCH CPCB ，所以/HF PB. 又HF 平面PBE，P
26、B 平面PBE， 所以/HF平面PBE.2 分 依题意得2BE ，4BC ， 1 / 4 DEBC， 而 1 4 BHBC，所以/DE BH. 所以四边形DEBH为平行四边形. 所以/DH EB. 又DH 平面PBE，EB 平面PBE， 所以/DH平面PBE.4 分 而DH 平面DFH，FH 平面DFH，DHFHH， 所以平面/DFH平面PBE. 因为DF 平面DFH，所以/DF平面PBE.6 分 （2）由90BEC，得BEEC. 又因为平面PBE 平面BCDE，平面PBE平面BCDEBE， 所以EC 平面PBE.7 分 以 E 为原点，建立如图所示空间直角坐标系Exyz， 则0,0,0E，
27、13 ,0, 22 P ， 0,2 3,0C，2,0,0B， 由 1 4 EDBC，得 13 ,0 22 D .8 分 则 13 , 2 3, 22 CP ， 1 3 3 ,0 22 DC . 设平面PCD的法向量为, ,nx y z， 则 0 0 CP n DC n ，即 13 2 30 22 13 3 0 22 xyz xy ， 故可取 3 3,1,7n .9 分 又EC 平面PBE，可取平面PBE的一个法向量为 0,2 3,0EC ，.10 分 则 77 cos, 77 n EC n EC n EC . 所以，平面PBE与平面PCD所成锐二面角的余弦值为 77 77 .12 分 20.（
28、本小题满分 12 分） 本小题主要考查轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力和创新意识；考查化 归与转化等思想方法. （1）由 1 224 yy xx ，得 22 44yx，即 2 2 10 4 x yy. 故轨迹 C 的方程为： 2 2 10 4 x yy.4 分 （2）根据题意，可设直线MN的方程为：1xmy， 由 2 2 1 1 4 xmy x y ，消去 x 并整理得 22 4230mymy.6 分 其中， 222 412416480mmm . 设 11 ,M x y， 22 ,N x y，则 12 2 2 4 m yy m ， 12 2 3 4 y y m .
29、因直线l的倾斜角不为 0，故 1 x， 2 x不等于2（ 1 y， 2 y不为 0） ，从而可设直线AM的方程为 1 1 2 2 y yx x ， 直线BN的方程为 2 2 2 2 y yx x ， 所以，直线AM，BN的交点 00 ,Q x y的坐标满足： 21 00 12 2 22 2 yx xx yx .9 分 而 2121 122 1212121 233 21 yxymymy yy yxymymy yy 2 1 22 1 2 1 1 2 32 3 934 44 3 3 34 4 mm y mmy mm m mmy y m ， 因此， 0 4x ，即点 Q 在直线4x上. 所以，探究发现
30、的结论是正确的.12 分 21.（本小题满分 12 分） 本小题主要考查函数图象和性质、函数零点、不等式、函数的导数等基础知识；考査运算求解能力、推理 论证能力、应用意识和创新意识；考查分类与整合、化归与转化、数形结合等思想方法. （1）由题 x xx axea fxxx ee ，.1 分 则111feae ，得1a ，.2 分 此时 1 x x e fxx e ，由 0fx得0x. 则0x时， 0fx， f x为增函数；0x时， 0fx， f x为增函数， 且 00 f ， 所以 f x 为 R 上的增函数.4 分 （2）当0a时，由 0fx得0x或lnxa， 若1a ，由（1）知， f x
31、为 R 上的增函数. 由 1 10 2 f ， 2 220fe， 所以 f x只有一个零点，不符合题意.6 分 若01a，则lnxa时， 0fx， f x为增函数；ln0ax时， 0fx， f x为减函数； 0x时， 0fx， f x为增函数. 而 00f xfa 极小 ，故 f x最多只有一个零点，不符合题意.6 分 若1a 时， 则0x时， 0fx， f x为增函数；0lnxa时， 0fx， f x为减函数；lnxa 时， 0fx， f x为增函数，得 21 lnlnln10 2 faaaf x 极小 ，故 f x最多只有一个 零点，不符合题意.7 分 当0a时，由 0fx得0x， 由0x
32、得 0fx， f x为减函数，由0x得 0fx， f x为增函数， 则 00f xfa 极小 . 又x时， 0f x ，x 时， 0f x ， 所以当0a时， f x始终有两个零点 1 x， 2 x，.8 分 不妨令 1 0x ， 2 0x ，构造函数 F xf xfx， 所以 xx xx xx eaea xxax ee e Fxfxf e x ， 由于0x时，0 xx ee，又0a，则 0 xx Fxax ee恒成立， 所以 F x为0,的减函数，.10 分 则 0000F xFff， 即 f xfx，故有 22 f xfx. 又 1 x， 2 x是 f x的两个零点，则 12 f xf x
33、， 所以 12 f xfx.结合 f x的单调性得 12 xx ， 所以 12 0xx，所求 a 的取值范围是,0.12 分 （二）选考题：共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 本小题主要考查曲线的参数方程、极坐标方程及其互化等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合、 化归与转化等思想方法. （1）消去参数 t，得曲线 1 C的直角坐标方程为340xy， 则曲线 1 C的极坐标方程为cos3 sin40.2 分 消去参数，得曲线 2 C的直角坐标方程为 2 2 11xy，即 2
34、2 20xyx， 所以曲线 2 C的极坐标方程为 2 2 cos0，即2cos.4 分 （2）射线tan0,0 2 yxx 的极坐标方程为0 2 ，.5 分 联立cos3 sin40，得 4 cos3sin A ， 所以 4 cos3sin OA ；.6 分 由 2cos ，得2cos B ，则2cosOB，.7 分 因此 2coscos3sin 4 OB OA cos213sin211 sin 2 4264 .9 分 由0 2 ，得 7 2 666 . 所以，当2 62 ，即 6 时， max 113 244 OB OA . 故 OB OA 的最大值为 3 4 .10 分 23.（本小题满分
35、 10 分）选修 4-5：不等式选讲 本小题主要考查含绝对值不等式的解法、基本不等式、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推 理论证能力；考查化归与转化等思想方法. （1）当3x时， 3 233f xxxx ，此时 6,f x ； 当30x 时， 3 23f xxxx ，此时3,6f x （ ）；.3 分 当0x时， 3 233f xxxx ，此时 3,f x ， 综上，函数 f x的值域为3,.5 分 （2）由（1）知，函数 f x的最小值为 3，则3M ，即3abc . 因为 1494949 14 bacacb abc abcabacbc .7 分 4949 14222 bacacb abacbc 36.9 分 其中，当且仅当 1 2 a ，1b， 3 2 c 取“=”. 又因为3abc ，所以 149 12 abc .10 分
