1、第五章 二元一次方程组1.创设情景，导入新课已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数大1，甲数的两倍与乙数的和比丙数大20，求这三个数.上述问题中，设甲数为x，乙数为y，丙数为z，由题意可得到方程组：232+-20-1xyzx y zx y232+-20-1xyzx y zx y这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？在这个方程组中，和 都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程.（linear equation with three unknowns）像这样共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组.（system of
2、 linear equations with three unknowns）三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.2.类比学习，探究新知我们能解这个三元一次方程组吗？232+-20-xyzx y zx y 能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？在解三元一次方程组时的消元与解二元一次方程组的消元有什么不同？解上面的方程组时，你能先消去未知数y（或z），从而得到方程组的解吗？（先独立思考，再进行小组讨论，由学生代表回答思考所获）3.理解巩固用你学到的方法解方程：26(1)2-+18-xyzx y zx y 10(2)2+3+173+2-xyzxy zxy z
3、8 观察（2）,此方程组与前面不一样，三个方程都不缺“谁”，消谁好，用什么方法消？4.实际应用某校初中三个年级共有651人，八年级的学生比九年级的学生人数多10%，七年级的学生比八年级多5%，求三个年级各有多少学生？解：由题意设七，八，九年级的学生人数分别为x,y,z人，得方程：651(1+10%)(+%)xyzyzxy 1 5 由可将z用y表示，由可将x用y表示，代入得到关于y的一元一次方程.231220200 xyz解得：所以，七，八，九年级的学生人数分别为231,220,200人.5.课堂小结(1)三元一次方程组的概念；三元三元一次方程组一次方程组二元二元一次方程组一次方程组一元一元一次
4、方程一次方程消元消元消元消元(2)三元一次方程组的解法；(3)谈谈求解多元一次方程组的思路.6.布置作业1.课本习题5.92.有同学说列三元一次方程组能解决的问题，一元一次方程也能解决，说一下你的看法.问题情境问题情境1 老师今天来的时候给大家带了漫画、漫画、作文、英语读物三种书作文、英语读物三种书,共共2626本，本，漫画漫画书比作文书多书比作文书多1 1本，本，漫画书的两倍与英漫画书的两倍与英语读物的和比作文书多语读物的和比作文书多1818本，本，问老师每种书各带了多少本?思考思考)3(182)2(1)1(26yzxyxzyx列式：这这里里有有几几个个未未知知量量？有有几几个个等等量量关关
5、系系？可可列列出出几几个个方方程程？问题情景问题情景2今有上等谷子三捆，中等谷子二捆，下等谷今有上等谷子三捆，中等谷子二捆，下等谷子一捆，共得谷子三十九斗；子一捆，共得谷子三十九斗；如果有上等谷如果有上等谷子二捆，中等谷子三捆，下等谷子一捆，共子二捆，中等谷子三捆，下等谷子一捆，共得谷子三十四斗；得谷子三十四斗；上等谷子一捆，中等谷子上等谷子一捆，中等谷子二捆，下等谷子三捆，共得谷子二十六斗。二捆，下等谷子三捆，共得谷子二十六斗。问上中下三等的谷子每捆各可得几斗？问上中下三等的谷子每捆各可得几斗？解：上等谷子一捆有解：上等谷子一捆有x x斗，中等谷子一捆有斗，中等谷子一捆有y y斗，下等谷子斗
6、，下等谷子 一捆有一捆有z z斗。斗。按题意，得方程组：按题意，得方程组：思考思考263234323923zyxzyxzyx这这里里有有几几个个未未知知量量？有有几几个个等等量量关关系系？可可列列出出几几个个方方程程？复复习习回回顾顾二元一次方程组二元一次方程组的概念的概念解二元一次方程组的基本思想和方法基本思想是消元消元，基本方法是代入代入法法和加减法加减法。这两个方程组都不是二元一次方程组这两个方程组都不是二元一次方程组.那么它那么它们与二元一次方程组的区别在哪里？它们有什么们与二元一次方程组的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？共同特点呢？特点特点:共共含有三个未知数含有三个未知数;含含未
7、知数的项的次数都是未知数的项的次数都是1.1.263234323923zyxzyxzyx)3(182)2(1)1(26yzxyxzyx共共含有三个方程含有三个方程.402zxzyxzyx453xzzyyx4532xzzyyx1321xxyyx 如何求解三元一次方程组？如何求解三元一次方程组？解二元一次方程解二元一次方程组的基本思想是：组的基本思想是：设法消去一个未设法消去一个未知数，将知数，将“二元二元”转转化为化为“一元一元”。解三元一次方程组解三元一次方程组的基本思想呢的基本思想呢?是不是也是先设法是不是也是先设法消去一个未知数，将消去一个未知数，将“三元三元”转化为转化为“二二元元”，再
8、把，再把“二元二元”转转化为化为“一元一元”呢？呢？试一试吧！试一试吧！二、例题讲解 例例1 1 解三元一次方程组解三元一次方程组 8795932743zyxzyxzx 分析：方程组中的方程分析：方程组中的方程 是关于是关于x x、z z的二元一次方程，因此的二元一次方程，因此 只需把方程只需把方程 中的另一个未知数中的另一个未知数 y y消去，得到的一消去，得到的一 个新方程中只含有个新方程中只含有x x、，再与方程、，再与方程 连立就构成了一连立就构成了一二元一次方程组了。二元一次方程组了。练习练习1：解方程组：解方程组402zxzyxzyx 练习练习1 1：解方程组：解方程组402zxz
9、yxzyx 解：解：，得，得：2x+2z=2即：即：x+z=1 得：得：2x=5 x=2.5把把 x=2.5 代入代入，得：，得：2.5-z=4 z=-1.5把把 x=2.5 ，z=-1.5代入代入，得：，得：2.5-y+(-1.5)=0 y=1原方程组的解为：原方程组的解为：5.115.2zyx 练习练习2：解方程组：解方程组453xzzyyx解：解：，得：，得：xy1 ，得，得：2x2 x1把把x=1代入方程、代入方程、，分别得：，分别得：y=2,z=3 原方程组的解是原方程组的解是321zyx你还有其它方法吗你还有其它方法吗?变式练习变式练习?(1)zyx，求已知如下方程组2232732
10、33xzzyyx变式练习：变式练习：1 5 11 (2)yxzxzyzyx解方程组386zyx注意技巧注意技巧 任何两式相加都可以消去任何两式相加都可以消去二元二元求求一元一元解：解：+，得，得 2y=16 y=8 +，得，得 2z=12 z=6 +，得，得 2x=6 x=3说说你的说说你的 收获收获(1)(1)解三元一次方程组的基本方法是代入法和加减法解三元一次方程组的基本方法是代入法和加减法 加减法比较常用加减法比较常用.(2)(2)解三元一次方程组的基本思想是解三元一次方程组的基本思想是消元消元,关键也是消元。我们一定要根据方程组关键也是消元。我们一定要根据方程组 的特点的特点,选准消元
11、对象选准消元对象,定好消元方案定好消元方案.(3)(3)解完后要代入原方程组的三个方程中进行检验解完后要代入原方程组的三个方程中进行检验.祝同学们学习进步祝同学们学习进步!代入消元法代入消元法2、解二元一次方程组的基本思路是什么？解二元一次方程组的基本思路是什么？消元消元 一元一次方程一元一次方程 二元一次方程组二元一次方程组消消元元1、如何解二元一次方程组如何解二元一次方程组？3223x yx y 加减消元法加减消元法活动活动1 1 纸币问题纸币问题 小明手头有小明手头有12张面额分别是张面额分别是1元、元、2元、元、5元的纸币，共计元的纸币，共计22元，其中元，其中1元纸币的元纸币的数量是
12、数量是2元纸币数量的元纸币数量的4倍求倍求1元、元、2元、元、5元的纸币各多少张？元的纸币各多少张？解：设解：设1 1元、元、2 2元、元、5 5元的纸币分别是元的纸币分别是x张、张、y张、张、z张，根据题意可以得到下列三个张，根据题意可以得到下列三个方程方程:x+y+z=12,=12,x+2+2y+5+5z=22,=22,x=4y.活动活动1 1三元一次方程三元一次方程 共含有共含有三个三个未知数，并且所含未未知数，并且所含未知数的知数的项的次数都是项的次数都是1 1，像这样的，像这样的整式整式方程叫做三元一次方程方程叫做三元一次方程。定义活动活动1 1 题中的三个条件要同时满足，所以我们题
13、中的三个条件要同时满足，所以我们把三个方程合在一起写成把三个方程合在一起写成：xyzxyzxy12,2522,4.你能给它起个合适的名字吗？你能给它起个合适的名字吗？2332211xyzxyzxyyz 方程中含有未知数的方程中含有未知数的项的项的次数次数都是都是一次一次 x+y=20 x+y=20 y+z=19 y+z=19 x+z=21 x+z=21 方程组中一共有方程组中一共有三个三个未知数未知数辨辨 析析三元一次方程组三元一次方程组 一元一次方程一元一次方程 二元一次方程组二元一次方程组总总结结消元消元消元消元怎样解三元一次方程组？怎样解三元一次方程组？活动活动2 2例例1 1 解方程组
14、解方程组x-z=4.2x+2z=2，得得1xz1.化化“三元三元”为为“二元二元”考虑消去哪个未知数（也就是三个未知数要去掉哪一个考虑消去哪个未知数（也就是三个未知数要去掉哪一个?）2.2.化化“二元二元”为为“一元一元”。x-y+z=0 x+y+z=2 x-z=4 1xz 解法一解法一：消去：消去y活动活动2 2x+y+z=2,x-y+z=0,x-z=4.解法二解法二：消去：消去x x由得，由得，x=z+4 x=z+4 把代入、得，把代入、得，2z+y=-2 2z+y=-2 2z-y=-4 2z-y=-4 （z+4)+y+z=2 z+4)+y+z=2 (z+4)-y+z=0 (z+4)-y+
15、z=0 化简得，化简得，x+y+z=2,x-y+z=0,x-z=4.解法三解法三：消去：消去z z由得，由得，z=x-4 z=x-4 把代入、得把代入、得 2x+y=6 2x+y=6 4-y=0 4-y=0 x+y+(x-4)=2,x+y+(x-4)=2,x-y+(x-4)=0,x-y+(x-4)=0,化简得，化简得，注：注：如果三个方程中有一个方程是二元一次如果三个方程中有一个方程是二元一次方程（如例方程（如例1 1中的），则可以先通过对另中的），则可以先通过对另外两个方程组进行消元，消元时就消去三个外两个方程组进行消元，消元时就消去三个元中这个二元一次方程（如例元中这个二元一次方程（如例1
16、 1中的）中中的）中缺少的那个元。缺少的那个元。缺某元，消某元。缺某元，消某元。x+y+z=2,x-y+z=0,x-z=4.在三元化二元时，对于具体方法在三元化二元时，对于具体方法的选取应该注意选择的选取应该注意选择最恰当最恰当、最最简便简便的方法的方法。观察下列方程中观察下列方程中每个未知数的系数每个未知数的系数，若用，若用加减法加减法解方程组，先消哪个元比较简单？为什么？如何消元？解方程组，先消哪个元比较简单？为什么？如何消元？X+y+z=26X-y=12x-y+z=183x+4y-z=46x-y+3z=-55y+z=115x-y=62y-z=-1X+2z=125x+2y=5Y-z=-74
17、z+3x=13 解三元一次方程组的关键在于消元，这就要求我们要解三元一次方程组的关键在于消元，这就要求我们要认真地观察、分析，认真地观察、分析，确定消元的对象及做法确定消元的对象及做法，这样不但，这样不但可以节省时间，也可以帮助我们更准确地解决问题。可以节省时间，也可以帮助我们更准确地解决问题。活动活动3你会用代入法解三元一次方程组吗？你会用代入法解三元一次方程组吗？xyyzzx29,(1)3,247.xzxyzxyz3472395978 再来试试这个三元一次方程组！再来试试这个三元一次方程组！加减法加减法354xyyzzx1.1.化化“三元三元”为为“二元二元”解：，得解：，得1xy 1x
18、y 3x y 2.2.化化“二元二元”为为“一元一元”例例2 2 解方程组解方程组原方程组中有原方程组中有哪个方程还没哪个方程还没有用到？有用到？例例2 2 也可以这样解也可以这样解:+,得得即，即，,得得3z,得得1x 354xyyzzx ，得，得 所以，原方程组的解是所以，原方程组的解是 123xyz2y 6x y z 2()12x y z 活动活动4 自主练习、巩固新知自主练习、巩固新知 1解下列三元一次方程组解下列三元一次方程组.xyzxyzxyz34,(2)2312,6.（一）三元一次方程组的概念是什么（一）三元一次方程组的概念是什么?（二）解三元一次方程组的基本思路是什么（二）解三元一次方程组的基本思路是什么?作业作业习题习题5.9：1、3、4题题 为了便于学习和使用，本文档下载后内容可随意修改调整及打印，欢迎下载。
