1、 第1页/共4页 2023 北京海淀高三二模 数 学 本试卷共本试卷共 6页，页，150分分考试时长考试时长 120分钟分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 40 分）分）一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项要求的一项。1已知集合=AxxB12,0,1，则（）AAB BBA C=AB D=
2、AB 2在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，其终边经过点P(1,2)，则=sin（）A52 5 B55 C2 D21 3若Nxnn(2)*()的展开式中常数项为 32，则=n（）A5 B6 C7 D8 4下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（）A=yxlg B=xy2 C=yx2|D=yxtan 5已知等差数列an 的前 n项和为Sn，=aaaa3,1123，则Sn的最大值为（）A7 B6 C5 D4 6已知抛物线=C yx:42，经过点 P 的任意一条直线与 C 均有公共点，则点 P 的坐标可以为（）A(0,1)B(1,3)C(3,4)D(2,2)7芯片是科技产品中的
3、重要元件，其形状通常为正方形生产芯片的原材料中可能会存在坏点，而芯片中出现坏点即报废，通过技术革新可以减小单个芯片的面积，这样在同样的原材料中可以切割出更多的芯片，同时可以提高芯片生产的产品良率 切割得到的所有芯片数产品良率切割得到的无坏点的芯片数100%=在芯片迭代升级过程中，每一代芯片的面积为上一代的21图 1 是一块形状为正方形的芯片原材料，上面有 4 个坏点，若将其按照图 2 的方式切割成 4 个大小相同的正万形，得到 4 块第 3 代芯片，其中只有一块无坏点，则由这块原材料切割得到第 3 代芯片的产品良率为25%若将这块原材料切割成 16 个大小相同的正方形，得到 16 块第 5 代
4、芯片，则由这块原材料切割得到第 5 代芯片的产品良率为（）A50%B625%C75%D87 5%8已知正方形 ABCD所在平面与正方形 CDEF所在平面互相垂直，且=CD2，P是对角线 CE的中点，Q 第2页/共4页 是对角线 BD上一个动点，则 P，Q两点之间距离的最小值为（）A1 B2 C26 D6 9已知，ab是平面内两个非零向量，那么“ab”是“存在0，使得+=+abab|”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 10已知动直线 l 与圆+=O xy:422交于 A，B 两点，且=AOB120若 l 与圆+=xy(2)2522相交所得的弦长
5、为 t，则 t的最大值与最小值之差为（）A104 6 B1 C4 68 D2 第二部分第二部分 （非选择题（非选择题 共共 110 分）分）二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分。11在复平面内，复数 z所对应的点为(1,1)，则=z z_ 12已知双曲线 C 经过点(2,0)，渐近线方程为=yx22，则 C 的标准方程为_ 13如图，在ABC中，D 是边 BC 上一点，=ADBDCDAC4,2,3 2，则=ADCcos_；ABD的面积为_ 14设函数=f xx g xmx()sin,()3 若=m2,1，则不等式f xg x()()的解集为_；若
6、=4，且不等式f xg x()()的解集中恰有一个正整数，则 m的取值范围是_ 15在数列xn 中，=xx1,212设向量=+xaxnnn,1()，已知=+aaannnn0(1,2,)1()，给出下列四个结论：=x33；N nxn,0*；N+nxxnn,2*；N+nxxnn,1*其中所有正确结论的序号是_ 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16（本小题 13 分）已知函数=+f xaxxx6()sin coscos 2，且=f421（I）求 a 的值和f x()的最小正周期；（）求f x()
7、在0,上的单调递增区间 17（本小题 14 分）某大学 A学院共有学生 1000人，其中男生 640人，女生 360人该学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，按性别分层抽样，从该学院所有学生中抽取若干人作为样本，对样本中的每位学生在 5 月份的累 第3页/共4页 计跑步里程进行统计，得到下表 跑步里程 s（km）030s 3060s 6090s 90s 男生 a 12 10 5 女生 6 6 4 2（I）求 a 的值，并估计 A学院学生 5 月份累计跑步里程 s（km）在0,30)中的男生人数；（）从 A学院样本中 5月份累计跑步里程不少于90(km)的学生中随机抽取 3人，其中男生人数记
8、为 X，求 X 的分布列及数学期望；（）该大学 B 学院男生与女生人数之比为，B 学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，也按性别进行分层抽样已知 A 学院和 B 学院的样本数据整理如下表 5 月份累计跑步里程平均值（单位：km）学院 性别 A B 男生 50 59 女生 40 45 设 A 学院样本中学生 5 月份累计跑步里程平均值为Ax，B 学院样本中学生 5 月份累计跑步里程平均值为Bx，是否存在，使得ABxx?如果存在，求的最大值；如果不存在，说明理由 18（本小题 13 分）如图，在四棱锥PABCD中，PD 平面 ABCD，底面 ABCD 为菱形，E，F 分别为 AB，PD的中点（
9、I）求证：EF平面 PBC；（）若2 3AD=，二面角EFCD的大小为45，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知求 PD的长 条件：DEPC；条件：PBPC=注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分 19（本小题 15 分）已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的左顶点为 A，上、下顶点分别为12,B B，直线1AB的方程为330 xy+=.（I）求椭圆 E 的方程及离心率；（）P 是椭圆上一点，且在第一象限内，M 是点 P 关于 x 轴的对称点过 P 作垂直于 y 轴的直线交直线1AB于点 Q，再过 Q作垂直于 x 轴的直线交直线2PB于点 N求MNQ的大小 20（本小题
10、 15 分）已知函数()lnf xxx=（I）求曲线()yf x=在点(1,(1)f处的切线方程；第4页/共4页 （）求证：()f xx；（）若函数()2()()g xf xa xx=+在区间(1,)+上无零点，求 a 的取值范围 21（本小题 15 分）设为整数有穷数列的各项均为正整数，其项数为 m（2m）若满足如下两个性质，则称为P数列：1ma=，且1(1,2,1)iaim=；11,(1,2,1),2nnnnnaaanmaa+=为奇数为偶数（I）若为1P数列，且15a=，求 m；（）若为1P数列，求1a的所有可能值；（）若对任意的1P数列，均有212logmad+，求 d 的最小值 高三数
11、学参考答案 第1页（共9页）海淀区20222023学年第二学期期末练习 高三数学 参考答案 一、选择题 题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A D B D C C C D 二、填空题（11）2 （12）22142xy=（13）8；3 7 （14）(,1)(0,1)；12,)82（15）三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）解：（）由()sincoscos(2)44446=+fa 221sin2262=a 得2a=.所以，()2sin coscos(2)6=+f xxxx sin2cos2 cossin2
12、sin66=+xxx 13sin2cos222=+xxsin(2)3=+x 所以，()f x的最小正周期2=T.（）由222232kxk+得1212kxk+()kZ，高三数学参考答案 第2页（共9页）所以()sin(2)3f xx=+的单调递增区间为,1212kk+()kZ.当0k=时，()f x的单调递增区间为,12 12，当1k=时，()f x的单调递增区间为,1212，所以()f x在0,上的单调递增区间为0,12，,12.（17）（本小题 14 分）解：（）由题意知，男女比例为 169，则1210516189a+=，故5a=.估计 A 学院学生 5 月跑步里程在0,30)中的男生人数为
13、5100010050=人.（）X 的取值范围是1,2,3.()()()1252372152373537511,3572042,3571023.357C CP XCC CP XCCP XC=因此 X 的分布列为 X 1 2 3 P 17 47 27 14215()1237777E X=+=.（）存在满足条件的，且的最大值为19.设 B 学院女生人数为 x，则男生人数为x,则594559451Bxxxxx+=+，而506404036023210005Ax+=.依题意，ABxx，得232594551+，解得19，所以的最大值为19.高三数学参考答案 第3页（共9页）（18）（本小题 13 分）（）取
14、PC中点M，连接,FMBM.在PCD中，,M F分别为,PC PD的中点，所以MFDC，1=2MFDC.在菱形ABCD中，因为ABDC，12BEDC=，所以BEMF，=BE MF.所以四边形BEMF为平行四边形，因此EFBM.又因为EF 平面PBC，BM 平面PBC，所以EF平面PBC.（）选择条件:DEPC 因为PD 平面ABCD，,DE DC 平面ABCD，所以PDDE，PDDC.又因为DEPC，PDPCP=所以DE 平面PCD，又DC 平面PCD 所以DEDC 所以建立如图空间直角坐标系Dxyz 又因为ABDC，DEAB.又E为AB中点，所以ADDB=，即ADB为正三角形.因为2 3AD
15、=，所以3DE=.设(0,0,)(0)Ft t，(3,0,0)E，(0,2 3,0)C.(3,0,)EFt=,(3,2 3,0)EC=.平面FCD的法向量为1(1,0,0)=n.设平面EFC的法向量为2(,)x y z=n，则 220,0.EFEC=nn 得30,32 30.xtzxy+=+=取2xt=，则3yt=，6z=.所以2(2,3,6)tt=n.由题意，二面角EFCD的大小为 45 zxyMECABDPF高三数学参考答案 第4页（共9页）所以121212|cos,|=nnn nnn2222|23436ttt=+解得6t=（舍负）.因为 F 是 PD 的中点，所以PD的长为 12.经检验
16、符合题意.选择条件：因为PD 平面ABCD，,DB DC DE 平面ABCD，所以PDDB，PDDC，PDDE.又因为222PBPDBD=+，222PCPDDC=+，且PBPC=所以BDDC=，在菱形ABCD中，ABBDAD=，即ADB为正三角形.又因为E为AB中点，所以DEDC 建立如图空间直角坐标系Dxyz 又因为ABDC，DEAB.因为ADB为正三角形.且2 3AD=，所以3DE=.设(0,0,)(0)Ft t，(3,0,0)E，(0,2 3,0)C.(3,0,)EFt=,(3,2 3,0)EC=.平面FCD的法向量为1(1,0,0)=n.设平面EFC的法向量为2(,)x y z=n，则
17、 220,0.EFEC=nn 得30,32 30.xtzxy+=+=取2xt=，则3yt=，6z=.所以2(2,3,6)tt=n.由题意，二面角EFCD的大小为 45 所以121212|cos,|=nnn nnn2222|23436ttt=+zxyMECABDPF高三数学参考答案 第5页（共9页）解得6t=（舍负）.因为 F 是 PD 的中点，所以PD的长为 12.经检验符合题意.19.（本小题 15 分）解：（）由直线1AB的方程为330 xy+=，可得1(3,0),(0,1)AB.所以，3,1ab=，由222abc=+得，2c=.椭圆E的方程为2213xy+=，离心率2633cea=.（）
18、依题意，设00(,)P xy（000,0 xy），则00(,)M xy.且由P是椭圆上一点，可得220013xy+=.直线1AB的方程为313yx=+，由0313xy+=得，03(1)xy=.所以00(3(1),)Qyy.直线2PB的方程为0011yyxx+=，令03(1)xy=，得 20200003()3(1)331113xyyxxx=.即003(3(1),1)3Nyx.所以000000003133333333(1)33MNMNMNyxyyxykxxxyxy+=+.即直线MN的倾斜角是6，所以3MNQ=.（20）（本小题 15 分）解：（）对()f x求导得ln()2xxfxxx=+.可得(
19、1)1f=.又可知(1)0f=，xyONQMAB1B2P高三数学参考答案 第6页（共9页）所以曲线()yf x=在点(1,(1)f处的切线方程为10 xy=.（）因为0 x，所以0 x.由此可知，要证lnxxx，只需证ln xx，即证ln0 xx.令()lnh xxx=，求导得112()22xh xxxx=.令()0,h x=解得4x=.可知,()x h x与()h x的变化情况如下表：x(0,4)4(4,)+()h x+0 ()h x 极大值 所以()(4)ln420h xh=.所以ln0 xx恒成立.即原不等式成立.（）2()ln()g xxxa xx=+，因为1x，所以2ln0,0 xx
20、xx.所以当0a 时，()0g x 在(1,)+上恒成立，符合题意.当0a 时，ln()(21)2xxg xaxxx=+.令()()t xg x=，则ln111ln2()220224xxxxxt xaaxx xx x=+=+在(1,)+上恒成立.所以()()t xg x=在(1,)+上单调递减.(1)1ga=+.当(1)10ga=+即1a时，()0g x在(1,)+上恒成立.所以()g x在(1,)+上单调递减.所以()(1)0g xg=在(1,)+上恒成立，符合题意.当(1)10ga=+即10a 时，高三数学参考答案 第7页（共9页）因为1x 且由（）知ln xx，所以ln()(21)2xx
21、g xaxxx=+11(21)1(21)22xaxaxxx+.所以11(1)02gaa，所以存在01(1,1)xa使得0()0g x=，因此,()x g x与()g x的变化情况如下表：x 0(1,)x 0 x 0(,)x+()g x+0 ()g x 极大值 所以0()(1)0g xg=.由（）中lnxxx，可以得22()ln()()(1)g xxxa xxxa xxx axa=+=+.令11xa=，得1(1)0ga.所以()g x在区间(1,)+上存在零点，不合题意，舍去.综上，a的取值范围是(,10,)+.（21）（本小题 15 分）解:（）依题意，15a=，11 2nnnnnaaaaa+
22、=，为奇数，为偶数，所以2345663421aaaaa=，.从而6m=（）依题意，11 2nnnnnaaaaa+=，为奇数，为偶数，11a 下面证明对于任意的正整数1k，当1ak=时，均存在数列na为1P数列 高三数学参考答案 第8页（共9页）12a=时，21a=，2m=符合题意 反证，假设存在正整数1k，当1ak=时，不存在数列na为1P数列，设此时k的最小值为M（3M），即12,3,4,1aM=时存在1P数列，1aM=时不存在1P数列 （1）当M为奇数时，因为存在以1M 为首项的1P数列12,ma aa，所以12,mM a aa就是首项为M的1P数列，与假设矛盾 （2）当M为偶数时，因为存
23、在以2M为首项的1P数列12,ma aa，所以12,mM a aa就是首项为M的1P数列，与假设矛盾 综上，1a的所有可能取值为全体大于 1 的正整数 （）依题意，11 2nnnnnaaaaa+=，为奇数，为偶数,1ma=，12ma=，24ma=，.（1）先证明2d=符合题意，即212log2am+当2m=时，显然成立 当3m时，对任意3ia，21,1,224iiiiaaaa+故212iiaa+，即222(2)iiaa+（i）当21(1,2,)mtt=+=时，有11222(2)2ttmaa=，1212222mta+=+所以122122log22log(2)21mamm+=+（ii）当22(1,
24、2,)mtt=+=时，有12222(2)2ttmaa=，1222222mta+=+，1212121maa=+所以122122log22log(2)2mam+=（2）再证明2d 高三数学参考答案 第9页（共9页）对任意的偶数2(2,3,)mt t=，令122211,3,1222,4,21 .m nm nnnmanmnm+=+=，（i）先验证na为1P数列：当1,3,3nm=时，1221m nna=+为奇数，(1)21221mnnnaa+=+=+，符合 当2,4,2nm=时，222m nna=+为偶数，(1)1211212mnnnaa+=+=，符合 当1nm=时，121mmaa=，符合 又na符合，所以na为1P数列（ii）下面证明2d 不符合题意 假设2d 因为2(2,3,)mt t=，112221222log2log(21)22log(12)mmdmam=+=+即2(2,3,)mt t=，12222log(21)dm，矛盾 综上，d的最小值为 2
