1、第第八八章章 系统状态变量分析系统状态变量分析 8.1 8.1 状态变量与状态方程状态变量与状态方程一、状态变量与状态方程一、状态变量与状态方程二、动态方程的一般形式二、动态方程的一般形式8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立一、电路状态方程的列写一、电路状态方程的列写二、二、由输入由输入-输出方程建立状态方程输出方程建立状态方程 8.3 8.3 离散系统状态方程的建立离散系统状态方程的建立8.4 8.4 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解8.5 8.5 离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解第第八八章章 系统状态变量分析系统状态变量分析 前面的分析方法称为前面的分析方法称为外部
2、法外部法，它强调用，它强调用系统的输系统的输入、输出之间的关系来描述系统的特性入、输出之间的关系来描述系统的特性。其特点：。其特点：（1）只适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出）只适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出系统，将增加复杂性；系统，将增加复杂性；（2）只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的）只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的内部情况一无所知，也无法控制内部情况一无所知，也无法控制。本章将介绍的本章将介绍的内部法内部法状态变量法状态变量法是用是用n个状态个状态变量的变量的一阶微分或差分方程组（状态方程）一阶微分或差分方程组（状态方程）来描述系来描述系统。优点有：统。
3、优点有：（1）提供系统的内部特性以便研究。）提供系统的内部特性以便研究。（2）便于分析多输入多输出系统；）便于分析多输入多输出系统；（3）一阶方程组便于计算机数值求解。并容易推广用）一阶方程组便于计算机数值求解。并容易推广用于时变系统和非线性系统。于时变系统和非线性系统。8.1 8.1 状态变量与状态方程状态变量与状态方程一、状态与状态变量的概念一、状态与状态变量的概念从一个电路系统实例引入从一个电路系统实例引入R1R2L1L2iL1iL2iCuCus1us2au以以u(t)和和iC(t)为输出为输出 若还想了解内部三个若还想了解内部三个变量变量uC(t),iL1(t),iL2(t)的变化情况
4、。的变化情况。这时可列出方程这时可列出方程0dd12LLCiituCa0dd11111SCLLuutiLiR0dd22222CSLLuuiRtiL222222211111112111dd11dd11ddSLCLSLCLLLCuLiLRuLtiuLiLRuLtiiCiCtu222222211111112111dd11dd11ddSLCLSLCLLLCuLiLRuLtiuLiLRuLtiiCiCtuR1R2L1L2iL1iL2iCuCus1us2au 这是由三个内部变量这是由三个内部变量uC(t)、iL1(t)和和iL2(t)构成的一构成的一阶微分方程组。阶微分方程组。若初始值若初始值uC(t0)
5、、iL1(t0)和和iL2(t0)已知，则根据已知，则根据tt0时时的给定激励的给定激励uS1(t)和和uS2(t)就可惟一地确定在就可惟一地确定在tt0时的解时的解uC(t)、iL1(t)和和iL2(t)。)()()()()()(21222titititutiRtuLLCSL 系统的输出容易地由系统的输出容易地由三个内部变量和激励求三个内部变量和激励求出：出：一组代数方程一组代数方程 状态与状态变量的定义状态与状态变量的定义 系统在某一时刻系统在某一时刻t0的的状态状态是指表示该系统是指表示该系统所必需最所必需最少少的一组数值，已知这组数值和的一组数值，已知这组数值和tt0时系统的激励，时系
6、统的激励，就能完全确定就能完全确定tt0时系统的全部工作情况。时系统的全部工作情况。状态变量状态变量是描述状态随时间是描述状态随时间t 变化的一组变量，变化的一组变量，它们在某时刻的值就组成了系统在该时刻的它们在某时刻的值就组成了系统在该时刻的状态状态。对对n阶动态系统需有阶动态系统需有n个独立的状态变量，通常用个独立的状态变量，通常用x1(t)、x2(t)、xn(t)表示。表示。说明说明（1）系统中任何响应均可表示成状态变量及）系统中任何响应均可表示成状态变量及输入的线性组合；输入的线性组合；（2）状态变量应线性独立；）状态变量应线性独立；（3）状态变量的选择并不是唯一的）状态变量的选择并不
7、是唯一的。在初始时刻的值称为在初始时刻的值称为初始状态初始状态。二、状态方程和输出方程二、状态方程和输出方程在选定状态变量的情况下在选定状态变量的情况下，用状态变量分析系统时，用状态变量分析系统时，一般分一般分两步两步进行：进行：（1）第一步是根据系统的初始状态求出状态变量；）第一步是根据系统的初始状态求出状态变量；（2）第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的）第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的系统输出。系统输出。状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方程组来得到，该一阶微分方程组称为程组来得到，该一阶微分方程组称为状态方程状态方程。
8、状态方程状态方程描述了描述了状态变量的一阶导数与状态变量和状态变量的一阶导数与状态变量和激励激励之间的关系之间的关系。而描述而描述输出输出与状态变量和激励之与状态变量和激励之间关系的一组间关系的一组代数方程代数方程称为称为输出方程输出方程。通常将状态方程和输出方程总称为通常将状态方程和输出方程总称为动态方程动态方程或或系统方程系统方程。对于一般的对于一般的n阶多输入阶多输入-多多输出输出LTI连续系统，如图连续系统，如图。xi(t0)f1(t)f2(t)fp(t)y1(t)y2(t)yq(t)其状态方程和输出方程为其状态方程和输出方程为 pnpnnnnnnnnppnnppnnfbfbfbxax
9、axaxfbfbfbxaxaxaxfbfbfbxaxaxax22112211222212122221212121211112121111pqpqqnqnqqqppnnppnnfdfdfdxcxcxcyfdfdfdxcxcxcyfdfdfdxcxcxcy22112211222212122221212121211112121111写成矩阵形式：写成矩阵形式：状态方程状态方程)()()(tttBfAxx输出方程输出方程)()()(tttDfCxy其中其中A为为nn方阵，称为方阵，称为系统矩阵系统矩阵，B为为np矩阵，称为矩阵，称为控制矩阵控制矩阵，C为为qn矩阵，称为矩阵，称为输出矩阵输出矩阵，D为
10、为qp矩阵矩阵 对对离散系统离散系统，类似，类似状态方程状态方程)()()1(kkkBfAxx输出方程输出方程)()()(kkkDfCxy状态变量分析的状态变量分析的关键在于状态变量的选取以及状态方程的建立。关键在于状态变量的选取以及状态方程的建立。8.2 8.2 连续系统状态方程的建立连续系统状态方程的建立 一、由电路图直接建立状态方程一、由电路图直接建立状态方程 首先选择状态变量首先选择状态变量。通常选通常选电容电压电容电压和和电电感电流感电流为状态变量。为状态变量。必须保证所选状态变必须保证所选状态变量为量为独立的电容电压独立的电容电压和独立的电感电流和独立的电感电流。(a)任选两个电容
11、电压独立(b)任选一个电容电压独立(c)任选两个电感电流独立(d)任选一个电感电流独立uC1uC2uC3uC1uC2usiL1iL2iL3iL2iL1is四种非独立的电路结构四种非独立的电路结构状态方程状态方程的建立：的建立：根据电路列出各状态变量的一阶微分方程。根据电路列出各状态变量的一阶微分方程。由于由于tuCiCCddtiLuLLdd为使方程中含有状态变量为使方程中含有状态变量uC的一阶导数的一阶导数，可对接有可对接有该电容的独立结点该电容的独立结点列写列写KCL电流方程；电流方程；为使方程中含有状态变量为使方程中含有状态变量iL的一阶导数的一阶导数，可对含有可对含有该电感的独立回路该电
12、感的独立回路列写列写KVL电压方程。电压方程。对列出的方程，只对列出的方程，只保留状态变量和输入激励保留状态变量和输入激励，设法，设法消消去其它中间的变量去其它中间的变量，经整理即可给出，经整理即可给出标准的状态方程标准的状态方程。对于对于输出方程输出方程，通常可用，通常可用观察法观察法由电路直接列出。由电路直接列出。由电路图直接列写状态方程和输出方程的步骤：由电路图直接列写状态方程和输出方程的步骤：（1）选电路中所有）选电路中所有独立的电容电压和电感电流作为独立的电容电压和电感电流作为状态变量状态变量；（2）对）对接有所选电容的独立结点列出接有所选电容的独立结点列出KCL电流方程，电流方程，
13、对对含有所选电感的独立回路列写含有所选电感的独立回路列写KVL电压方程；电压方程；（3）若上一步所列的方程中含有除激励以外的非状）若上一步所列的方程中含有除激励以外的非状态变量，则利用适当的态变量，则利用适当的KCL、KVL方程方程将它们消去将它们消去，然后整理给出然后整理给出标准的状态方程形式标准的状态方程形式；（4）用观察法由电路或前面已推导出的一些关系直）用观察法由电路或前面已推导出的一些关系直接列写输出方程，并整理成标准形式。接列写输出方程，并整理成标准形式。例例：电路如图，以电阻电路如图，以电阻R1上的电压上的电压uR1和电阻和电阻R2上的电上的电流流iR2为输出，列写电路的状态方程
14、和输出方程。为输出，列写电路的状态方程和输出方程。uCiLuR1iR2uS1uS2LCR1R2a解解 选状态变量选状态变量x1(t)=iL(t),x2(t)=uC(t)L 1(t)+R1x1(t)+x2(t)=uS1(t)x aC 2(t)+iR2(t)=x1(t)x 消去消去 iR2(t),列右网孔列右网孔KVL方程：方程：R2iR2(t)+uS2(t)-x2(t)=0 代入整理得代入整理得)()(1001)()(111)()(212212121tutuCRLtxtxCRCLLRtxtxss输出方程：输出方程：uR1(t)=R1x1(t)二、由输入二、由输入-输出方程建立状态方程输出方程建立
15、状态方程 这里需要解决的问题是这里需要解决的问题是：已知系统的外部描述（已知系统的外部描述（输入输入-输出方程、系统函数、输出方程、系统函数、模拟框图、信号流图模拟框图、信号流图等）；如何写出其状态方程及输等）；如何写出其状态方程及输出方程。出方程。具体方法：具体方法：（1）由系统的）由系统的输入输入-输出方程输出方程或或系统函数系统函数，首先首先画出画出其其信号流图信号流图或或框图框图；（2）选）选一阶子系统一阶子系统(积分器）的积分器）的输出输出作为作为状态变量状态变量；（3）根据每个）根据每个一阶子系统一阶子系统的的输入输出关系输入输出关系列状态方列状态方程；程；（4）在）在系统的输出端
16、系统的输出端列输出方程。列输出方程。例例1 某系统的微分方程为某系统的微分方程为 y(t)+3 y (t)+2y(t)=2 f (t)+8 f(t)试求该系统的状态方程和输出方程。试求该系统的状态方程和输出方程。解解由微分方程不难写出其系统函数由微分方程不难写出其系统函数 23)4(2)(2ssssH方法一方法一：画出直接形式的信号流图：画出直接形式的信号流图1s1s1-3-228f(t)y(t)设状态变量设状态变量x1(t)、x2(t)x1x2由后一个积分器，有由后一个积分器，有21xx fxxx21232由前一个积分器，有由前一个积分器，有系统输出端，有系统输出端，有 y(t)=8 x1+
17、2 x2方法二方法二：221423)4(2)(2sssssssH画出串联形式的信号流图画出串联形式的信号流图1s-1f(t)1141sy(t)-221设状态变量设状态变量x1(t)、x2(t)x2x1fxx11设中间变量设中间变量 y1(t)y1fxxxy1111341x 2x fxxxyx21212232系统输出端，有系统输出端，有 y(t)=2 x21123012121fxxxx方法三方法三：241623)4(2)(2ssssssH画出并联形式的信号流图画出并联形式的信号流图1s-1161s-2-41f(t)y(t)设状态变量设状态变量x1(t)、x2(t)x1x21x fxx112x f
18、xx2221120012121fxxxx系统输出端，有系统输出端，有 y(t)=6x1-4 x2可见可见H(s)相同的系统，相同的系统，状态变量的选择并不状态变量的选择并不唯一。唯一。例例2 某系统框图如图，状态变量如图标示，试列出其某系统框图如图，状态变量如图标示，试列出其状态方程和输出方程。状态方程和输出方程。f(t)11s24ss31sy1(t)y2(t)x2(t)x1(t)x3(t)解解 对三个一阶系统对三个一阶系统211yxx其中，其中，y2=f-x3fxxx311112242xxxxfxx313fxxxx3212232333xxx3233xxx输出方程输出方程 y1(t)=x2y2
19、(t)=-x3+f三、由状态方程列输入三、由状态方程列输入-输出方程输出方程例例3 已知某系统的动态已知某系统的动态方程如下，列出描述方程如下，列出描述y(t)与与f(t)之间的微分方程。之间的微分方程。)(01)()(11)(0314)(ttytfttxxx解法一解法一 由输出方程得由输出方程得 y(t)=x1(t)y (t)=x1(t)=4 x1(t)+x2(t)+f(t)y(t)=4 x1(t)+x2(t)+f (t)=44 x1(t)+x2(t)+f(t)+3 x1(t)+f(t)+f (t)=13 x1(t)4x2(t)3 f(t)+f (t)y+a y +by=(13 4a+b)x
20、1+(4+a)x2+f (t)+(a3)f(t)a=4，b=3y+4 y +3y=f (t)+f(t)解法二解法二 对方程取拉氏变换，对方程取拉氏变换，零状态。零状态。)(11)(0314)(tfttxx)(11)(0314)(sFsssXX)(11)()0314(sFssXI)(11)0314()(1sFssIX)(01)(ssYX)(11)0314(01)(1sFssYI11)0314(01)()()(1I ssFsYsH34431314)0314(211sssssssI34134111113443101)(222sssssssssssHy+4 y +3y=f (t)+f(t)8.3 8.
21、3 离散离散系统状态方程的建立系统状态方程的建立 与连续系统类似，具体方法为：与连续系统类似，具体方法为：（1）由系统的）由系统的输入输入-输出方程输出方程或或系统函数系统函数，首先首先画出其画出其信号流图信号流图或或框图框图；（2）选）选一阶子系统一阶子系统(迟延器）的迟延器）的输出输出作为作为状态变量状态变量；（3）根据每个）根据每个一阶子系统一阶子系统的的输入输出关系输入输出关系列状态方程；列状态方程；（4）在）在系统的输出端系统的输出端列输出方程。列输出方程。例例1：某离散系统的差分方程为某离散系统的差分方程为 y(k)+2y(k 1)y(k 2)=f(k 1)f(k 2)列出其动态方
22、程。列出其动态方程。解解：不难写出系统函数不难写出系统函数 212121)(zzzzzH画信号流图：画信号流图：1-21-1y(k)1z1z1f(k)设状态变量设状态变量x1(k)，x2(k)：x1x2x1(k+1)=x2(k)：x2(k+1)x2(k+1)=x1(k)2x2(k)+f(k)：输出方程输出方程y(k)=x1(k)+x2(k)例例2 某离散系统有两个输入某离散系统有两个输入f1(k)、f2(k)和两个输出和两个输出y1(k)、y2(k)，其信号流图如图示。列写该系统的状态方程和，其信号流图如图示。列写该系统的状态方程和输出方程。输出方程。31z21zz-1x1(k)x2(k)x3
23、(k)p1(k)p2(k)-1-2-1111122-13abcdy1(k)y2(k)f1(k)f2(k)解解 p1(k)=2x1(k)+2x3(k)p2(k)=3p1(k)-x3(k)+f2(k)=6x1(k)+5x3(k)+f2(k)()(101100)()()(706527013)1()1()1(21321321kfkfkxkxkxkxkxkx)()()(202001)()(32121kxkxkxkyky8.4 8.4 连续状态方程的求解连续状态方程的求解状态方程和输出方程状态方程和输出方程)()()(tttBfAxx)()()(tttDfCxy方法一方法一:用拉普拉斯变换法求解状态方程用
24、拉普拉斯变换法求解状态方程 sX(s)-x(0-)=A X(s)+BF(s)(sI-A)X(s)=x(0-)+BF(s)X(s)=(sI-A)-1x(0-)+(sI-A)-1BF(s)=(s)x(0-)+(s)BF(s)式中式中(s)=(sI-A)-1常称为预解矩阵常称为预解矩阵。Y(s)=CX(s)+DF(s)Yzi(s)=C(s)x(0-)Yzs(s)=C(s)B+D F(s)H(s)=C(s)B+D(s)的极点就是的极点就是H(s)的极点的极点.即即|sI-A|=0的根。的根。=C(s)x(0-)+C(s)B+D F(s)状态方程和输出方程状态方程和输出方程)()()(tttBfAxx)
25、()()(tttDfCxy方法二方法二:用时域法求解状态方程用时域法求解状态方程 两边左乘两边左乘eAte()e()e()AtAtAtX tAX tBf tde()e()dtAtAtX tBf t从从0-到到t取积分取积分0e()(0)e()tAtAX tXBfd两边左乘两边左乘eAt()0()e(0)e(),0()()tAtA tzizsX tXBfdtXtXt)()()(tttDfCxy状态矢量的解状态矢量的解(t)=eAt()()(0)()()*()X tt Xt Btf t状态转移矩阵状态转移矩阵:1(t)=e()()AtsSIA 输出输出()()(0)()()*()()()()ziz
26、sy tCt XCt Btf tDf tytyt状态转移矩阵求解状态转移矩阵求解(t)=eAt210121eAtnnIAAA210121eAtnnIAAA210121eitniini 例例1 描述描述LTI因果系统的状态方程和输出方程为因果系统的状态方程和输出方程为)(10)()(4121)()(2121tftxtxtxtx)(1)()(11)(21tftxtxty解解:方法一方法一:拉普拉斯变换法求解拉普拉斯变换法求解412141211001)(ssssAI)det()adj()()(1AIAIAIssss1124)3)(2(1ssssX(s)=(s)x(0-)+BF(s)1 1023112
27、4)3)(2(1ssss起始状态起始状态x1(0-)=3，x2(0-)=2，输入，输入f(t)=(t)。求状态变量。求状态变量和输出。并判断该系统是否稳定。和输出。并判断该系统是否稳定。263939212)3)(2(3)3)(2()6(3ssssssssssy(t)=1 1x(t)+f(t)=)(e6e9e9e12)(2332ttttttx)()(e6e9e9e12112332tttttt=(t)+6e-2t(t)由于由于H(s)的极点均在左半平面，故该因果系统稳定。的极点均在左半平面，故该因果系统稳定。H(s)的极点就是的极点就是|sI-A|=0的根。的根。|sI-A|=(s+2)(s+3)
28、方法二方法二:时域法求解时域法求解(1)求状态转移矩阵求状态转移矩阵(t)=eAt系统矩阵系统矩阵-12=-1-4A系统特征方程系统特征方程12det()=det(2)(3)14IA232301232323231012(t)=e(3e2e)(ee)01142ee2e2eeee2eAtttttttttttttIA1201 1012eett 2302313e2eeetttt12=2,=3特征根特征根2013012e3ett(2)求状态方程的解求状态方程的解232323232323232323232323332ee2e2e2ee2e2e(t)=()*()22eee2eeee2e10e7e2e2e(-
29、5e7e-e2ettttttttttttttttttttttttXttt 2323)12e9e,0-6e8ettttt()()(0)()()*()X tt Xt Btf t(3)求输出求输出()()()y tCX tDf t2323212e9e(t)=1 1()()1 1()-6e8e()6e,0tttttyX tf tttt8.5 8.5 离散状态方程的求解离散状态方程的求解)()()1(kkkBfAxx)()()(kkkDfCxy用用Z变换法求解状态方程变换法求解状态方程 取单边取单边z变换变换:zX(z)-zx(0)=AX(z)+BF(z)Y(z)=CX(z)+DF(z)X(z)=(zI
30、-A)-1zx(0)+(zI-A)-1BF(z)设设(z)=(zI-A)-1 z X(z)=(z)x(0)+z-1(z)BF(z)Y(z)=C(z)x(0)+Cz-1(z)B+DF(z)yx(k)=Z-1C(z)x(0)，yf(k)=Z-1(Cz-1(z)B+D)F(z)H(z)=Cz-1(z)B+D(z)的极点就是的极点就是H(z)的极点的极点.即即|zI-A|=0的根。的根。例例 已知某离散因果系统的状态方程和输出方程分别为已知某离散因果系统的状态方程和输出方程分别为)(10)()(5610)1()1(2121kfkxkxkxkx)()(1211)()(2121kxkxkyky初始状态为初
31、始状态为 21)0()0(21xx，激励，激励f(k)=(k)。求状态方程的解。求状态方程的解和系统的输出。和系统的输出。解解(z)=zI-A-1z=)3)(2()3)(2(6)3)(2()3)(2(522zzzzzzzzzzzzzX(z)=(z)x(0)+z-1BF(z)=323121321121)3)(1()32()3)(1()2(zzzzzzzzzzzzzzzz)()3(31 21)3(1 21)(kkkkx)()3(31 21)3(1 211211)()(1211)()(2121kkxkxkykykk)()3(1 21)3(21kkk矩阵的导数、积分和卷积矩阵的导数、积分和卷积:(1)
32、导数、积分导数、积分:设矩阵mnijttmnijmnijtadtdtAdtddttadttAtatA)()()()()()(则(2)卷积卷积:设 mnijnmijtbtBtatA)()(,)()()()(tBtA等于 运算中元素的相乘变成卷积运算.)()(tBtA21221121211211112221121122211211bababababbbbaaaa（5）设A为方阵，则 恒有逆，且 。AtAtee1)(（6）设A、P为n阶方阵，P为非奇异阵（det（P）0），则11PPeeAttPAPAte4.4.矩阵运算的几个定理：矩阵运算的几个定理：设A、B为n阶方阵。AeAeedtdAtAtAt
33、)()(2121ttAAtAteeeBAAB)(ttAAtAteee（1）（2）（3）设 ，则（4）设X为n维列向量，A为n阶方阵，则XAeXeXedtdAtAtAt)(Atet )(的计算：的计算：（1）n阶方阵A的特征方程、特征根：特征多项式：特征方程特征方程：特征根：特征方程的根 ，|)det(IAIA0|IA.,2,1nii(2)凯莱 哈密顿定理：任何方阵A，恒满足它的特征方程。设 则 0|)(IAq0)(Aq（3）Atet )(的计算：设n阶方阵A的特征根为 ，j=1,2,n.j22012!jtijjijitet 222042!2AtiiitbbaceItAAAa 根据A的特征方程和
34、凯莱 哈密顿定理可以证明：11221101njnjjniijitje1122110nnniiiAtAAAIAe由由A的的n个特征根和个特征根和 的展开式确定系数的展开式确定系数 ，代入，代入 的展开式，就可求得的展开式，就可求得 。tjeiAteAteAte的计算步骤：（1）A的特征根为单根：第一步：求n阶方阵A的特征根 ，i=1,2,n.i第二步：由n个特征根建立以下n个方程：11221012122221011121211021nnnnntnntnntneee第三步：解上面方程组，求 ，ii=1,2,n.1212222102nnte1312323103nnte 112210nqnqqtqe第
35、三步：解上面方程组,求 ,i=0,1,2,.i1n第四步:把 代入下式求 :iAte112210nnAtAAAIe例1.,求 .2101AAte解:(1)求:IA IA2101002101(2)求A的特征根:.2,1,0)2)(1(|21IA(3)建立求 的方程,求 :ii21011021ttee102102ttee,解方程组,得:.,22120tttteeee(4)求 :Ate)2(210ttAteeAIe)(10012ttee2001tttteeee22)(0例2:求 .1201AAte解:(1)求:IA IA1201(2)求A的特征根:.1,0)1(|212IA(3)建立求 的方程,求 :ii)()(21011021dtdedtdett110tttee,解方程组,得:.,10ttttetee(4)求 :AteAIeAt10)2(20)2(tttttteetetee4.由 求A:AteIeeedtdAtAttAt000|)(
