1、 2019-2020 学年度高考模拟考试 数学试题 2020.06 注意事项： 1答题前考生务必将自己的姓名、准考证号在答题卡上涂写清楚； 2第卷，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效 第卷（选择题 共 60 分） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求 1已知集合 2 |5 , 3, 2,1,2,4Ax xB ，则AB（ ） A 2,2 B 2,1,2 C 2,1,3,2 D5, 5 2i是虚数单位，复数 2 1 12 i z
2、i i ，复数 z 的共轭复数为z，则z的虚部为（ ） Ai B2i C2 D1 3设, a b是非零向量， “0a b ”是“ab”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4在 6 1 (3) 2 xx x 的展开式中，常数项为（ ） A 15 2 B 15 2 C 5 2 D 5 2 5函 1 ( )cossin 1 x x e f xx e 的图象大致为（ ） A B C D 6设 0.3 2 111 log, 432 ab 则有（ ） Aabab Babab Cabab Dabab 7我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，
3、以十六乘之，九而一，所得开立方除之， 即立圆径 “开立圆术” 相当给出了一个已知球的体积 V， 求这个球的直径 d 的近似公式， 即 3 16 9 dV 随 着人们对圆周率值的认知越来越精确，还总结出了其他类似的近似公式若取3.14，试判断下列近 似公式中最精确的一个是（ ） A 3 2dV B 3 16 9 dV C 3 20 11 dV D 3 21 11 dV 8 已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F， 过点F的直线与抛物线C的两个交点分别为A， B， 且满足2AFFB， E 为AB的中点，则点 E 到抛物线准线的距离为（ ） A 11 4 B 9 4 C 5 2 D 5 4 二、多项
4、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分 9下列说法正确的是（ ） A在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 B某地气象局预报：6 月 9 日本地降水概率为 90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学 C回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好 D在回归直线方程0.110yx中，当解释变量每增加 1 个单位时，预报变量y增加 0.1 个单位 10 线段AB为圆 O 的直径， 点 E， F 在圆 O 上，/ABEF， 矩形ABCD
5、所在平面和圆 O 所在平面垂直， 且2,1ABADEF则（ ） A/DF平面BCE B异面直线BF与DC所成的角为 30 CEFC为直角三角形 D:1:4 C BEFF ABCD VV 11已知函数( )sincos cossin f xxx，其中 x表示不超过实数 x 的最大整数，下列关于( )f x结论 正确的是（ ） Acos1 2 f B( )f x的一个周期是2 C( )f x在(0, )上单调递减 D( )f x的最大值大于2 12已知直线2yx 分别与函数 x ye和lnyx的图象交于点 1122 ,A x yB x y，则下列结论正 确的是（ ） A 12 2xx B 12 2
6、 xx eee C 1221 lnln0xxxx D 12 2 e x x 第卷（非选择题 共 90 分） 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知tan()2，则 sincos sincos _ 14在平行四边形ABCD中， 11 6,3,60 , 22 ADABDABDEEC BFFC 若2FGGE， 则AG BD_ 155 人并排站成一行，如果甲乙两人不相邻，那么不同的排法种数是_（用数字作答） ；5 人并排 站成一行，甲乙两人之间恰好有一人的概率是_（用数字作答） （本题第一空 2 分，第二空 3 分） 16设双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab
7、 ab 的左、右焦点分别为 1212 ,2F F FFc，过 2 F作 x 轴的垂线， 与双曲线在第一象限的交点为 A， 点 Q 坐标为 3 , 2 a c 且满足 22 FQF A，若在双曲线 C 的右支上存在点 P 使得 112 7 | 6 PFPQFF成立，则双曲线的离心率的取值范围是_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）如图，在四边形ABCD中，ABAD，_，2DC 在下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答 （选出一种可行的方案解答，若选 出多个方案分别解答，则按第一个解答记分） 2 34,s
8、in 3 ABBCACB；tan3 6 BAC ；2cos23BCACBACAB （）求DAC的大小； （）求ADC面积的最大值 18 （12 分） 如图 1， 四边形ABCD为矩形，2BCAB， E 为AD的中点， 将ABEDCE、分别沿BE、 CE折起得图 2，使得平面ABE 平面BCE，平面DCE 平面BCE （）求证：平面ABE 平面DCE； （）若 F 为线段BC的中点，求直线FA与平面ADE所成角的正弦值 19 （12 分）已知数列 n a的各项均为正数，其前 n 项和 * 1 , 2 nn n aa SnN （）求数列 n a的通项公式 n a； （） 设 2 2 log 1 n
9、 n n a b a ； 若称使数列 n b的前 n 项和为整数的正整数 n 为 “优化数” ， 试求区间(0,2020) 内所有“优化数”的和 S 20 （12 分）过去五年，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段目前“精准扶贫”覆盖了全部贫困人口， 东部帮西部，全国一盘棋的扶贫格局逐渐形成到 2020 年底全国 830 个贫困县都将脱贫摘帽，最后 4335 万贫困人口将全部脱贫，这将超过全球其他国家过去 30 年脱贫人口总和2020 年是我国打贏脱贫攻坚战收 官之年，越是到关键时刻，更应该强调“精准” 为落实“精准扶贫”政策，某扶贫小组，为一“对点帮扶” 农户引种了一种新的经济农作物，并指导
10、该农户于 2020 年初开始种植已知该经济农作物每年每亩的种植 成本为 1000 元，根据前期各方面调查发现，该经济农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不 影响，其具体情况如下表： 该经济农作物亩产量（kg） 900 1200 概率 0.5 0.5 该经济农作物市场价格（元/kg） 15 20 概率 0.4 0.6 （）设 2020 年该农户种植该经济农作物一亩的纯收入为 X 元，求 X 的分布列； （）若该农户从 2020 年开始，连续三年种植该经济农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年 中该农户种植该经济农作物一亩至少有两年的纯收入不少于 16000 元的概率； （）20
11、20 年全国脱贫标准约为人均纯收入 4000 元假设该农户是一个四口之家，且该农户在 2020 年的 家庭所有支出与其他收入正好相抵， 能否凭这一亩经济农作物的纯收入， 预测该农户在 2020 年底可以脱贫？ 并说明理由 21 （12 分）已知点 F 为椭圆 22 1 98 xy 的右焦点，点 A 为椭圆的右顶点 （）求过点 F、A 且和直线9x 相切的圆 C 的方程； （） 过点 F 任作一条不与 x 轴重合的直线 l， 直线 l 与椭圆交于 P， Q 两点， 直线,PA QA分别与直线9x 相交于点 M，N试证明：以线段MN为直径的圆恒过点 F 22 （12 分）已知函数( )lnf xx
12、ax （）若曲线( )( ,)yf xb a bR在1x 处的切线方程为30xy，求 a，b 的值； （）求函数 1 ( )( )() a g xf xaR x 的极值点； （）设 1 ( )( )ln (0) x x h xf xaea a aa ，若当xa时，不等式( ) 0h x 恒成立，求 a 的最小值 2019-2020 学年度高考模拟考试 数学参考答案 一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1-4：BCCA 5-8：CADB 二、多项选择题（每小题 5 分，共 20 分） 9CD 10BD 11ABD 12ABC 三、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13 1 3
13、1421 1572 3 10 16 310 , 22 （注：15 题第一个空 2 分，第二个空 3 分） 四、解答题 17 （10（）解：若选在ABC中，由正弦定理可得： sinsin ABBC ACBBAC 1 分 又 2 34,sin 3 ABBCACB可得： 1 sin 2 BAC， 6 BAC 3 分 又ABAD所以 2 BAD ，所以 3 DAC ； 4 分 （）在ACD中，2DC ，由余弦定理可得： 222 4DCACADAC AD AC AD 6 分 即4AC AD 8 分 113 sin43 222 ADC SAC ADDAC 10 分 当且仅当ACAD时取“=” 若选 （）由
14、tan3 6 BAC 可得： 6 BAC ， 2 分 又ABAD所以 2 BAD ，所以 3 DAC ； 4 分 （）在ACD中，2DC ，由余弦定理可得： 222 4DCACADAC AD AC AD 6 分 即4AC AD 8 分 113 sin43 222 ADC SAC ADDAC 10 分 当且仅当ACAD时取“=” 若选（）2cos23BCACBACAB，由正弦定理得： 2sincos2sin3sinBACACBABCACB 1 分 2sincos2sin()3sinBACACBACBBACACB 可得： 3 cos 2 BAC，所以 6 BAC ， 3 分 又ABAD所以 2 B
15、AD ，所以 3 DAC ； 4 分 （）在ACD中，2DC ，由余弦定理可得： 222 4DCACADAC AD AC AD 6 分 即4AC AD 8 分 113 sin43 222 ADC SAC ADDAC 10 分 当且仅当ACAD时取“=” 18 （12 分） 解： （） 证明：在图 1 中，2BCAB，且 E 为AB的中点，AEAB，45AEB ， 同理45DEC 所以90CEB BECE， 2 分 又平面ABE 平面BCE，平面ABE 平面BCEBE， 所以CE 平面ABE， 4 分 又CE 平面DCE，所以平面ABE 平面DCE 5 分 （）由题意可知以E为坐标原点，,EB
16、EC所在的直线分别为 x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，设1AB 则 222222 (0,0,0), ( 2,0,0),(0, 2,0),0,0,0 222222 EBCADF ， 6 分 向量 2222 ,0,0, 2222 EAED ，设平面ADE的法向量为( , , )nx y z 由 0 0 n EA n ED 得 0 0 xz yz ，令1z ， 得平面ADE的一个法向量为( 1, 1,1)n ， 8 分 又 22 0, 22 FA 10 分 设直线FA与平面ADE所成角为， 则 |26 sin 3|13 FA n FA n 直线FA与平面ADE所成角的正弦值为 6 3 12 分 1
17、9 （12 分）解： （）由数列 n a的前 n 和 1 2 nn n aa S 知 当1n 时， 11 111 1 , 2 a a SaS 11 10a a ，又 1 0a ，所以 1 1a 2 分 当1n 时， 11 1 11 22 nnnn nnn aaaa aSS 整理得： 11 10 nnnn aaaa 因为 1 0 nn aa ，所以有 1 1 nn aa 4 分 所以数列 n a是首项 1 1a ，公差1d 的等差数列 数列 n a的通项公式为 1 (1) n aandn 6 分 （）由 n an知： 22 22 loglog 11 n n n an b an 数列 n b的前
18、n 项和为 1232222 3452 loglogloglog 2341 n n bbbb n 22 3452 loglog (2)1 2341 n n n 8 分 令 123 () n bbbbk kZ 则有 1 2 log (2)1,22 k nk n 由(0,2020),nkZ知，10k 且 * kN 10 分 所以区间(0,2020)内所有“优化数”的和为 23410 22222222S 29 2341011 212 222218182222026 12 12 分 20 （12 分）解： （）由题意知： 1200 20 100023000,1200 15 100017000， 900
19、20 100017000,900 15 100012500， 所以 X 的所有可能取值为：23000，17000，12500 1 分 设 A 表示事件“作物产量为900kg” ，则( )0.5P A ； B 表示事件“作物市场价格为 15 元/kg” ，则( )0.4P B 则：(23000)()(1 0.5)(1 0.4)0.3P XP A B， 2 分 (17000)()()(1 0.5) 0.40.5 (1 0.4)0.5P XP A BP A B， 3 分 (12500)()0.5 0.40.2P XP A B， 4 分 所以 X 的分布列为： X 23000 17000 12500
20、P 0.3 0.5 0.2 5 分 （）设 C 表示事件“种植该农作物一亩一年的纯收入不少于 16000 元” ， 则( )(16000)(23000)(17000)0.30.50.8P CP XP XP X， 6 分 设这三年中有 Y 年的纯收入不少于 16000 元， 则有：(3,0.8)YB 7 分 所以这三年中至少有两年的纯收入不少于 16000 元的概率为 3322 33 (2)0.80.80.20.896PP YCC 9 分 （）由（I知，2020 年该农户种植该经济农作物一亩的预计纯收入为 ()230000.3 170000.5 125000.217900E X （元） 10 分
21、 17900 4000 4 11 分 凭这一亩经济农作物的纯收入，该农户的人均纯收入超过了国家脱贫标准， 所以，能预测该农户在 2020 年底可以脱贫 12 分 21 （12 分）解： （）由已知得：3,2 2,1abc (3,0),(1,0)AF 1 分 圆 C 的圆心一定在线段AF中垂线 13 2 2 x 上班 2 分 由圆 C 与直线9x 相切，得：圆 C 的半径927r 3 分 设圆 C 的圆心坐标为(2,)Cm，则有： 22 |(32)(0)7,4 3rACmm ， 即圆心(2, 4 3)C 4 分 圆 C 的方程为： 22 (2)(4 3)49xy 5 分 （）证明：当直线 l 斜
22、率不存在时，其方程为1x ，可求得 M，N 两点坐标分别为(9,8),(9, 8)MN或 (9, 8),(9,8)MN，又(1,0)F ,FM FN的斜率之积为： 8080 1 9191 FMFN kk FMFN 6 分 当直线 l 斜率存在时，设直线 l 的方程为： 1122 (1),yk xP x yQ x y 联立方程组： 22 (1) 1 98 yk x xy ， 消去 y 整理得： 2222 89189720kxk xk 22 1212 22 18972 , 8989 kk xxx x kk 8 分 2 12121212 111y yk xk xkx xxx 又设9,9, MN My
23、Ny 由 P，A，M 共线得： 11 11 006 , 3933 M M yyy y xx ， 由 Q，A，N 共线得： 22 22 006 , 3933 N N yyy y xx ， 9 分 所以,FM FN的斜率之积为： 12 12 009 9 19 1641633 MNMN FMFN yyy yy y kk xx 22 2 2 222 1212 222 1212 22 97218 91 91 8989649 1 163916369723 18 169 8989 kk k kx xxx kkk x xxxkkk kk 10 分 FMFN 11 分 综上可知：恒有FMFN 以线段MN为直径的
24、圆恒过点 F 12 分 22 （12 分）解： （）由( )lnf xxax得：lnyxaxb ( )1 a yfx x 1 分 由已知可得： (1)1 (1)2 f fb 即 11 12 a b 2 分 2,1ab 3 分 （） 11 ( )( )ln aa g xf xxax xx 22 1(1)(1) ( )1(0) aaxxa g xx xxx 4 分 所以：当1 0a ，即1a时，( )0, ( )g xg x 在(0,)上为增函数，无极值点 5 分 当10a ，即1a 时， 则有：当01xa时，( )0g x ，当1xa时，( )0g x ， ( )g x在(0,1)a 为减函数，
25、在(1,)a 上为增函数， 所以，1xa是( )g x极小值点，无极大值点； 6 分 综上可知：当1a时，函数( )g x无极值点， 当1a 时，函数( )g x的极小值点是1a，无极大值点 7 分 （） 1 ( )( )lnlnln (0) xx x h xf xaeaaexa a aa 由题意知：当xa时，lnln0 x aexa恒成立 又不等式lnln0 x aexa等价于：ln x x ae a ，即 1 ln x x e aa 即ln x xx xe aa 8 分 方法（一） 式等价于 ln ln x x a x xee a 9 分 由0xa知：1,ln0 xx aa 令( )(0)
26、 x xxex，则原不等式即为：( )ln x x a 又( )(0) x xxex在(0,)上为增函数 所以，原不等式等价于：ln x x a ， 又式等价于 x x e a ，亦即：(0) x x axa e 10 分 方法（二） 由0xa知：1,ln0 xx aa 知：式等价于lnlnln x xx xe aa 即：lnlnln ln xx xx aa 9 分 设( )ln (0)xxx x，则原不等式即为：( )ln x x a 又( )ln (0)xxx x在(0,)上为增函数 所以，原不等式等价于：ln x x a ， 又式等价于 x x e a ，亦即：(0) x x axa e
27、 10 分 方法（一） 设( )(0) x x F xx e ，则 1 ( ) x x F x e ( )F x在(0,1)上为增函数，在(1,)上为减函数， 又0xa 当01a时，( )F x在( ,1)a上为增函数，在(1,)上为减函数 1 ( )(1)F xF e 11 分 要使原不等式恒成立，须使 1 1a e ， 当1a时，则( )F x在( ,)a 上为减函数， 1 ( )(1)F xF e 要使原不等式恒成立，须使 1 a e ， 1a时，原不等式恒成立 综上可知：a 的取值范围是 1 , e 所以，a 的最小值为 1 e 12 分 方法（二） 又式等价于：lnlnxxa，即lnlnaxx 10 分 设( )ln(0)F xxx x，则 1 ( ) x F x x ( )F x在(0,1)上为增函数，在(1,)上为减函数， 当0xa 当01a时，( )F x在( ,1)a上为增函数，在(1,)上为减函数 ( )(1)1F xF 11 分 要使原不等式恒成立，须使1ln0a ，即 1 1a e 当1a时，( )F x在( ,)a 上为减函数， ( )( )(1)1F xF aF 要使原不等式恒成立，须使ln1a 又1,ln0aa厖，当1a时不等式成立 综上可知： 1 a e 所以，a 的最小值为 1 e 12 分
