1、2 2020020 年高考年高考数学数学模拟试题模拟试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。符合题目要求的。 1已知已知集合集合 2Ax x， 2 30Bx xx，则，则AB A0,2 B 0,3 C2,3 D2,3 2双曲线双曲线 2 2 1 4 y x 的渐近线方程是的渐近线方程是 A 5 2 yx B5yx C 1 2 yx D 2yx 3若实数若实数 , x y满足约束条件 满足约束条件 0 220 0 y xy x
2、y ，则则|2 |zxy的最大值是的最大值是 A 2 3 B 2 5 5 C2 D5 4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A2 B4 C4 2 D12 5已知已知 n a是是等差数列等差数列， 1 11a ， n S为数列为数列 n a的的 前前n项和，且项和，且 57 SS，则，则 n S的最大值为的最大值为 A66 B56 C46 D36 6在在ABC中，中，角角A，B，C所对的边分别是所对的边分别是a，b，c，则 ，则“ AC cb B a sinsinsin ”是是“ABC 为等腰三角形为等腰三角形”的的 俯视图俯视图 侧视图侧视
3、图正视图正视图 3 22 第 4 题图 y x -11 O 第 8 题图 A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 7已知随机变量已知随机变量满足满足 (0)1Pp ，(1)Pp，且，且01p，令随机变量，令随机变量 ( )E，则，则 A EE B EE C DD D DD 8已知函数已知函数 2 ( )(0) ex axbxc f xa 的部分图象如图所示，则的部分图象如图所示，则 A0a B0ac C0b c D320ab c 9已知椭圆已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab ， 1 F， 2
4、F分别是椭圆的左分别是椭圆的左、右焦点，右焦点，A是椭圆的下顶点，直线是椭圆的下顶点，直线 2 AF交交椭圆椭圆于于另另一一点点P，若，若 1 PFPA，则椭圆的离心率为，则椭圆的离心率为 A 3 3 B 1 3 C 2 2 D 1 2 10如图，如图，三棱锥三棱锥VABC的侧棱长都相等，底面的侧棱长都相等，底面ABC与侧面 与侧面VAC都是以都是以AC为斜边的等腰直为斜边的等腰直 角三角形，角三角形，E为线段为线段AC的中点，的中点，F为直线为直线AB上的动点，若平面上的动点，若平面VEF与平面与平面VBC所成锐二面角所成锐二面角 的平面角为的平面角为，则，则cos的最大值是的最大值是 A
5、3 3 B 2 3 C 5 3 D 6 3 E A C V B F 第 10 题 非选择题部分（共非选择题部分（共 110 分）分） 二、填空题二、填空题: : 本大题共本大题共 7 7 小题小题, , 多空题每题多空题每题 6 6 分分, , 单空题每题单空题每题 4 4 分分, , 共共 3636 分。分。 11我国古代数学名著算法统宗中有如下描述：我国古代数学名著算法统宗中有如下描述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共 远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共 灯三百八十一灯三百八十一”意思是：一座意思是：一座 7 层塔共挂了层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上盏灯，且相邻
6、两层中的下一层灯数是上 一层灯数的一层灯数的 2 倍请问塔顶层有倍请问塔顶层有 盏灯盏灯，塔底层有塔底层有 盏灯盏灯 12已知复数已知复数z满足满足 (1 i)2+iz （i为虚数单位），为虚数单位），则则z的虚部是的虚部是 ，|z= 13已知已知多项式多项式 252727 01270127 (1)(1)(2)(2)(2)xxaa xaxaxbb xb xb x，则，则 0127 aaaa ， 5 b 14已知圆已知圆 22 4Oxy：，过点，过点3,0P作作两条互相垂直的直线两条互相垂直的直线 1 l， 2 l，其中其中 1 l交交该该圆于圆于A，B 两点，两点，2l交该圆于交该圆于C，D两
7、点两点， 则， 则|AB的最小值是的最小值是 ，|ABCD的最大值是的最大值是 15 新型冠状病毒疫情期间，新型冠状病毒疫情期间， 5 位党员需要被安排到位党员需要被安排到 3 个不同的路口执勤， 每个路口至少安排一人， 个不同的路口执勤， 每个路口至少安排一人， 其中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那么总共有其中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那么总共有 种种不同不同安排方法安排方法（用数字作答）（用数字作答） 16已知已知aR，若函数若函数 e ( ) 2e x x a f x 在区间在区间)2 , 1 (x上存在最小值，则上存在最小值，则a的取值范围是的取值范围是 17已知已知ABC
8、三三边边长分别为长分别为3，10，13， ，P是平面是平面ABC内任内任意意一点，则一点，则 PA PBPB PCPC PA 的最小值是的最小值是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 5 小题，共小题，共 7474 分分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18（本（本小小题满分题满分 14 分）已知函数分）已知函数 2sincoscos 3 f xxxx 第 19 题 （）求求 f x的的最小正周期最小正周期； （）求求 f x在在0, 2 x 上上的最大值，的最大值，并求此时的并求此时的x值值 19（本（本小小题满分题满分 15 分）
9、如图，已知三棱锥分）如图，已知三棱锥PABC中，平面中，平面PAC平面平面ABC， 2ABACBCPA，120PAC，3PMMC （）证明证明：BMPC； （）求直线求直线AB和平面和平面PBC所成角的正弦值所成角的正弦值 20（本（本小小题满分题满分 15 分）已知数列分）已知数列 n a满足：满足： 1 1a ， 22 1 (21)(21) nn nana * ()nN. 正正 项数列项数列 n c满足满足：对每个：对每个 * nN ， 21nn ca ，且，且 21n c ， 2n c， 21n c 成等比数列成等比数列 （）求求数列数列 n a， n c的通项公式；的通项公式； （）当
10、当2n时，证明：时，证明： 123 5111117 314 n ncccc 21（本（本小小题满分题满分 15 分）已知点分）已知点F是是抛物线抛物线 yxC4: 2 的焦点，的焦点，P是其准线是其准线l上上任意任意一点，一点， 过点过点P作直线作直线PA，PB与抛物线与抛物线C相切，相切，A，B为切点，为切点，PA，PB与与x轴分别交于轴分别交于Q，R两两 点点 （）求焦点求焦点F的坐标，并证明直线的坐标，并证明直线AB过点过点F； （）求四边形求四边形ABRQ面积的最小值面积的最小值 第 21 题 x y F QR A B P O 22（本（本小小题满分题满分 15 分）已知分）已知aR，
11、设，设函数函数6ln6)43()( 2 xxaaxxf，axxg3)( （）试讨论试讨论( )f x的单调性；的单调性； （）设设函数函数)()()(xgxfxh，是否存在实数是否存在实数a，使得，使得( )h x存在两个极值点存在两个极值点 1 x， 2 x，且，且 满足满足 12 12 ()()3ln3 2 2 h xh x xx ？若存在若存在，求求a的取值范围的取值范围；若不存在若不存在，请说明理由请说明理由 注：注：ln3 1.10. 2 2020020 年高考模拟年高考模拟试试题数学参考答案题数学参考答案 一、选择题一、选择题 ADCBD ACBAD 二、填空题二、填空题 113，
12、192 12 3 2 ， 10 2 1364，11 142，2 10 15114 16 4224 eeee ()() 2222 ， 17 16 3 三、解答题三、解答题 18解： 2 33 2sincoscos=2sincossin1 322 333 3sin cos3sinsin2cos23 222 3 3sin(2)5 62 f xxxxxxx xxxxx x （1）（）分 分 分 分7T 5 0,2,8 2666 1 sin 2,110 62 33 ( )= 3sin(2)+3.12 622 2=( ).14 623 xx x f xx xxf x （2）当，则分 ，分 的最大值为分 此
13、时即时，取到最大值分 19.解法一： （1）取AC的中点E，PC的中点F，连AF，ME，BE. PAAC， AFPC 1 又3PMMC，M是CF的中点 AFME ，PCME 2 又 ABBCBEAC又 PACABCAC面面且交于 BEPACBEPC面， 4 又MEBEE PC面MBE，PCBM6 （2） 由知PC 面MBE，面MBE 面PBC且交于MB， 过E作 MBEH 垂足为H，EH即是E到面PBC的距离 9 BEME， 1 3 39 2 13 13 2 ME BE EH MB 12 又E是AC的中点，A到面PBC的距离 13 392 2 EHhA 14 AB与面PBC所成角的正弦值为 1
14、3 39 2 1 13 392 AB hA 15 解法二：（1）取AC的中点E，连ME、EB 2ABBC ，BEAC，1CE ， 又面PAC 面ABC且交于AC BE面PAC，BEPC 2 2PAAC，120PAC，又3PMMC 13 42 CMPC30APCPCA 222 3 cos 22 CECMME PCA CE CM 1 2 ME，CMME4 PC面MBE， PCBM. 6 （2） 过P作POCA交其延长线于O 面PAC 面ABC且交于AC PO面ABC，连BO可得 222 BOPOPB 8 又2ACAP，120PAC 3PO，2 3PC ，1AO 又 22 7OBBEOE ， 22
15、10PBPOBO 10 222 1 cos 2 2 10 PBBCPC PBC BC PB ， 39 sin 2 10 PBC 139 sin 22 PBC SBC PBPBC 12 令A到面PBC的距离为 O h，则 ABCPPBCA VV 11 33 PBCOABC ShSPO ， 39 6 PBC ABC O S POS h 14 AB与面PBC所成角的正弦值为 13 39 392 6 AB ho 15 解法三：（1）取AC的中点O，建立如图所示的坐标系 由已知可得0,0,0 ,1,0,0 ,0, 3,0 ,1,0,0OCBA ( 2,0, 3)P ， 13 ( ,0,) 44 M 3
16、13 ( ,3,) 44 BM，(3,0,3)PC 33 0, 44 BM PCBMPC BMPC 6 （2）由（1）可知(1, 3,0),(2, 3,3),(1,3,0)ABPBBC9 设面PBC的法向量为( , , )nx y z则 03 0332 yxBCn zyxPBn 令 1y ，则3x ，3z ， ( 3,1,3)n 12 AB与面PBC所成角的正弦值为 2 339 cos, 13 213 AB n AB n AB n 15 20.解：（）解法一：由已知可得 2 1 2 (21) (21) n n an an 2n 时， 132 1 1221 nn n nn aaaa aa aaa
17、a （ （2 2 分）分） 222 22 222 (21)(23)3 1(21) (23)(25)1 nn n nn ，又 2 1 (2 1 1)a 2 (21) n an （3 3 分）分） 解法二： 1 22 (21)(21) nn aa nn ，即 1 22 (21) 2(1)1 nn aa n n 2 (21) n a n 为常数列， 1 22 (21)(2 1 1) n aa n ， （2 2 分）分） 又 2 1 (2 1 1)a 2 (21) n an （3 3 分）分） 又 2 21 (21) nn can 2 n cn（n为奇数） （5 5 分）分） 又 21221 , nn
18、n ccc 是等比数列 222 22121 2121 nnn cccnn （）（） 2 (21) (21) n cnn 2 (1) (1) n cnnn-1（n是偶数） 综上可得 2 (21) n an， 2 2 1 n nn c nn 是奇数 是偶数 （7 7 分）分） （）先证先证 123 11117 4 n cccc 证法一证法一 直接直接放缩、裂项放缩、裂项相消相消求和求和 2n 时， 12 11147 1 334cc ，显然成立。 （8 8 分）分） 3n 时， 2 1 n cn 3n 时， 2 n 11 c1n （9 9 分）分） 123n 1111 cccc 22 1111111
19、 1 1 32 43 54 65 7(1)11nn 111111111111 11 23243546211nnnn 11117 11 2214nn （1111 分分) ) 证法二证法二 分分奇奇偶偶讨论讨论 2n 时， 12 11147 1 334cc ，显然成立。 （8 8 分）分） 3n 时，n为偶数时， 123n 1111 n T cccc 2222222 1111111 1 35(21)214161(21)1kk 2222222 1111111 1 3151(21)1214161(2 )1kk （9 9 分）分） 1111111 1 2446(22)2k1 33 55 7(21)(2k
20、 1)kk 1 42642(22)1 3 15375(21)(21) 1 2 2446(22)2k2 1 33 55 7(21)(2k 1) kkkk kk 1 111111111111 11 2 2446(22)2k2335(21)(2k 1)kk 1 1111 1()(1) 2 22k22k 1 117 1 424 （ （1010 分分) ) n为奇数时， 1 7 4 nn TT （1111 分分) ) 再再证证 123 111151 31 n ccccn 证法证法一一（数学（数学归纳法归纳法） 2n 时，左边 14 1 33 ，右边 4 3 ，成立； （1212 分）分） 假当nk时，命
21、题成立，即 123 111151 cccc31 k k ， 则当1nk时， 12311 11111511 ccccc31c kkk k 因为不论k为奇数、偶数，都满足 2 1 11 c(1) k k （1313 分）分） 所以当1nk时， 2 1231 11111511 ccccc31(1) kk kk 只需 2 111 12(1)kkk 即可， 只需 2 111 12(1)kkk ； 只需 2 11 (1)(2)(1)kkk ；只需 2 (1)(2)(1)kkk；只需21kk； 显然成立，故当1nk时也成立。 综上所述，不等式在 * nN且2n时均成立。 （1515 分）分） 证法二（分析法
22、证明）证法二（分析法证明） 令 123 1111 cccc n n S ， 51 31 n T n 为数列 n d的前n项和。 只需要证 12 12 11 cc dd ，且 1 c n n d （3n时） 12 114 cc3 ， 122 4 3 ddT，显然成立。 （1212 分）分） 3n时，不论n为奇数偶数都有 2 11 cnn ， （1313 分）分） 2 1111 1(n 1) n d nnnn ，则 1 c n n d 也成立。 综上所述，不等式在 * nN且2n时均成立。 （1515 分）分） 证法三（放缩证法三（放缩法证明法证明） 2n 时，左边 14 1 33 ，右边 4 3
23、 ，成立； （1212 分）分） 3n时， 222 123 11111111 1+ cccc334 k n （1313 分）分） 1111 1+ 33 44 5(1)nn （1414 分）分） 4111111 + 334451nn 515 313n （1515 分）分） 证法四（分奇证法四（分奇偶讨论证明偶讨论证明） 2,3,4,5,6n 时均成立。（证明略） （1212 分）分） 当7n 时，n为偶数时， 123 1111 ccccn 2222222 1111111 (1+)+() 3572141611n （1313 分）分） 11 3 15375(1)(1) 1 62 1 33 55 7(
24、1)(n 1) nn n 111 1(1) 621n 5151 32(1)3(1)nn （1414 分）分） n为奇数时，同理 123 1111 ccc n c 2222222 1111111 1+ 357214161-1)1n （ 1115151 1(1) 62323(1)nnn （1 15 5 分）分） 21（I）解法一：(0,1)F 1 分 设) 1,(), 4 ,(), 4 ,( 0 2 2 2 2 1 1 xP x xB x xA，则)( 2 : 1 1 1 xx x yylPA即 1 1 2 x yxy 同理 2 2 2 :yx x ylPB. 4 分 又P在PBPA,上,则 20
25、 2 10 1 2 1 2 1 yx x yx x ,所以 0 :1 2 AB x lyx 6 分 所以直线AB过焦点 F. 7 分 （I）解法二：(0,1)F 1 分 设 AB 直线方程 为ykxm 则由 2 4 ykxm xy 得 2 440xkxm 所以 12 4xxk 12 4x xm 2 分 过 A 的切线方程为 1 11 () 2 x yyxx 过 B 的切线方程为 2 22 () 2 x yyxx 4 分 所以交点 P 的坐标为 1212 (,) 24 xxx x 因为 P 在直线1y 上，所以 12 44x xm 6 分 所以1m 即直线过焦点F 7 分 （II）由（I）知1
26、2 : 0 x x ylAB,代入yxC4: 2 得042 0 2 xxx 则 4 2 21 021 xx xxx , 则422)( 4 1 2 2 021 2 2121 xxxxxyyAB,9 分 P到 AB 的距离4 2 0 xd ,所以 22 00 1 (4 2 04)1 PAB Sxx 分 由（1）知)0 , 2 (),0 , 2 ( 21 x R x Q,则4 2 1 2 021 xxxQR, 所以 2 0 1 4 2 PQR Sx ,令 2 0 4,212txt分 则 3 11 ,(2)13 22 PABPQRABRQ SSStt t 四边形 分 tttf 2 1 2 1 )( 3
27、 在), 2 上是增函数, 则四边形ABRQ面积的最小值为 3 15 分 22.解：（1）6ln6)43()( 2 xxaaxxf的定义域为0|xx x aaxxf 6 )43(2)( = x xaax6)43(2 2 = x axx)2-)(32( 2 分 （i） 若0a,则02ax，所以 )(xfy 在) 2 3 , 0(递增，), 2 3 (递减 3 分 （ii） 若 3 4 0 a，则)(xfy 在) 2 3 , 0(递增，) 2 , 2 3 ( a 递减，在), 2 ( a 递增 4 分 （iii） 若 3 4 a,则)(xfy 在), 0( 递增; 5 分 （iv） 若 3 4 a
28、，则)(xfy 在) 2 , 0( a 递增，在) 2 3 , 2 ( a 递减，在), 2 3 (递增 6 分 （2）解法一： 6ln6)43()( 2 xxaaxxf,axxg3)( 6ln64)()()( 2 xxaxxgxfxh x xax x axxh 6426 42)( 2 ， 若 )(xhy 有两极值点， 则032 2 xax 有两解 a xx a xxxx 3 , 2 , 212121 且0, 0, 0344 21 xxa 所以 3 1 0 a 8 分 21 2 1 21 21 21 ln6 4)( )()( xx x x xxa xx xhxh 令 1 2 1 x x t ，
29、则) 1 ( 2 3 2 3 ) 11 )( 2 3 )( 12 21 21 21 2121 t t xx xx a a xx xx xxxx 1 ln4 2 )()( 2 21 21 t tt xx xhxh 若 , 2 2 3ln3)()( 21 21 xx xhxh 则03ln) 1(3ln8, 2 3ln3 1 ln4 2 2 ttt t tt 即 10 分 令3ln) 1(3ln8)( 2 ttttm 0) 1 (, 0)3(mm， 3ln68ln8)( tttm 03ln108)3( , 03ln68) 1 ( mm t t t t t tm ) 3ln3 4 (3ln6 3ln6
30、8 3ln6 8 )( 所以)( tmy 在) 3ln3 4 , 1 (递增，在), 3ln3 4 (递减 12 分 又03ln108)3( , 03ln68) 1 ( mm 则在区间)3 , 3ln3 4 (内存在 0 t使得0)( 0 tm 函数 y=m(x)在), 1 ( 0 t单调递增，在)3 ,( 0 t单调递减 由0) 1 (, 0)3(mm，所以当)3 , 1 (t时满足, 2 2 3ln3)()( 21 21 xx xhxh 14 分 a a a t t xx xx 3 4 3 4 1 2 )( 2 21 2 21 ，所以 ) 3 1 , 4 1 ( ) 1 2( 3 4 t
31、t a 即实数a的取值范围为) 3 1 , 4 1 ( 15 分 解法二： 6ln6)43()( 2 xxaaxxf,axxg3)( 6ln64)()()( 2 xxaxxgxfxh x xax x axxh 6426 42)( 2 ， 若 )(xhy 有两极值点， 则032 2 xax有两解 a xx a xxxx 3 , 2 , 212121 且0, 0, 0344 21 xxa，所以 3 1 0 a 8 分 1 12122 12 121212 ln ( )()6(lnln)3ln3 ()4262 2 x h xh xxxx a xx xxxxxx 即 1 2 12 ln ln3 0 4
32、x x xx 由方程 2 230axx，得 1,2 11 3a x a ，令1 3ta， (0,1)t，则 2 1 3 t a ， 1 2 2 12 2 11 3 13 lnln 2lnln3 ln3ln3 11 311 0 12 442 1 3 1 xa tt x att t xxa t a 10 分 令 2 13 ( )2lnln3 11 tt G t tt ，求导， 22 222222 222 2222 2(1)21( 2 )4(1)3ln3 ( )3ln3 1(1)(1)1(1) 4(1)3ln3(1)(43ln3)(43ln3) (1)(1) ttttt G t ttttt ttt tt 令( )0G t ，得到 0 43ln3 1 43ln3 t ，所以( )yG t在 0 (0, )t上单调递增，在 0 ( ,1)t单调递减. 13 分 又(0)0G， 3 1 2 ( )2ln3ln30 3 2 4 G，所以由 1 ( )0,(0, ) 2 G tt得，即 1 1-3(0, ) 2 a ，解得 11 43 a. 故实数a的取值范围是 1 1 4 3 （ ，）. 15 分
