1、第二章第二章 一元二次方程复习课一元二次方程复习课本章知识网络 概念:-一般形式:ax2+bx+c=0(a0)直接开平方法:x2=p(p0)(mx+n)2=p(p0)解法 配方法 一 公式法:因式分解法:(ax+b)(cx+d)=0 元 判别式:b2-4ac=0 判别式 不解方程,判别方程根的情况,二 用处 求方程中待定常数的值或取值范围,进行有关的证明,次 关系:x1+x2=-b/a x1.x2=c/a 已知方程的一个根,求另一个根及字母的值,方 根与系数的关系 求与方程的根有关的代数式的值,用处 求作一元二次方程,程 已知两数的和与积,求此两数 判断方程两根的特殊关系,实际问题与一元二次方
2、程:审,设,列.解,验,答,1.一元二次方程的概念一元二次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整的整式方程叫做一元二次方程。式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的一般形式 20axbx c 20axbxc x +x-20=02观察方程观察方程等号两边都是整式等号两边都是整式 只含有一个未知数只含有一个未知数未知数的最高次数是未知数的最高次数是2次次特征如下：特征如下：有何特征？有何特征？(1)2x=y 2-1(3)x 2-3=02x(4)3z2+1=z(2z2-1)(5)x 2=0结论：以上方程中结论：以上
3、方程中(2)、(5)、(6)是一元二次方程是一元二次方程(6)(x+2)2 =433)2(2 yy请判断下列方程是否为一元二次方程：请判断下列方程是否为一元二次方程：一元二次方程的解法一元二次方程的解法1.因式分解法因式分解法。2.开平方法。开平方法。3.配方法。配方法。4.公式法公式法）或，则若000(BABA的形式或（化成baxax22)1.把二次项把二次项,一次项移到等号左边一次项移到等号左边,常数项移到等号右边。常数项移到等号右边。2.两边同加上一次项系数一半的平方。两边同加上一次项系数一半的平方。aacbbxacb24,0422若则方程无实数根若,042 acb1.直接开平方法 对于
4、形如ax2=p(p0)或(mx+n)2=p(po)的方程可以用直接开平方法解2.配方法用配方法解一元二次方程的步骤:w1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数);w2.移项:把常数项移到方程的右边;w3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;w4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;w5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;w6.求解:解一元一次方程;w7.定解:写出原方程的解.w我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法3.公式法w 一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0).04.2422acbaacbbx
5、w上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.w用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法(:,042它的根是时当 acbw老师提示:w用公式法解一元二次方程的前提是:w1.必需是一般形式的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a0).w2.b2-4ac0.公式法是这样生产的w 你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a0)吗?心动 不如行动.0:2acxabx解.2422aacbabx.22222acababxabx.442222aacbabx.04.2422acbaacbbx.2acxabxw1.化1:把二次项系数化为1;w3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;w4.变形:方程左分
6、解因式,右边合并同类;w5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;w6.求解:解一元一次方程;w7.定解:写出原方程的解.w2.移项:把常数项移到方程的右边;,042时当 acb4.分解因式法w 当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法.w老师提示:w1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;w2.关键是熟练掌握因式分解的知识;w3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”(y+)(y-)=2(2y-3)(y+)(y-)=2(2y-3)3t(t+2)
7、=2(t+2)3t(t+2)=2(t+2)x x2 2=4 x-11=4 x-11(x+101)(x+101)2 2-10(x+101)+9=0-10(x+101)+9=0223比一比，看谁做得快：比一比，看谁做得快：w 我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.一元二次方程的根的判别式.2422,1aacbbx有两个不相等的实数根方程时当00,0422acbxaxacb:00,0422有两个相等的实数根方程时当acbxaxacb.22,1abx没有实数根方程时当00,0422acbxaxacb.4.004222acbacbxaxacb即来表示用根的判别式的叫做方程我们把代数式若
8、方程有两个若方程有两个 不相等的实数根不相等的实数根,则则b2-4ac0 回顾与反思判别式逆定理判别式逆定理若方程有两个若方程有两个 相等的实数根相等的实数根,则则b2-4ac=0若方程没有实数根若方程没有实数根,则则b2-4ac0若方程有两个若方程有两个 实数根实数根,则则b2-4ac0判别式的用处 1.不解方程.判别方程根的情况,2.根据方程根的情况,确定方程中待定常数的值或取值范围,3.进行有关的证明,一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系设设x1,x2是一元二次方程是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两个根的两个根,则有则有x1+x2=,x1x2=.abac解应用
9、题 列方程解应用题的一般步骤是:1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系?2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;3.列:列代数式,列方程;4.解:解所列的方程;5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意;6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活.列方程解应用题的关键是:找出相等关系.回顾与复习解解:设底边边长应增加设底边边长应增加xcm,由题意由题意,可列出方程可列出方程_1、如图、如图,礼品盒高为礼品盒高为10cm,底面为正方形底面为正方形,边长为边长为4cm,若保持盒子高度不变若保持盒子高度不变,问底边边长应增加多少厘米才能问底边边长应增加多
10、少厘米才能使其体积增加使其体积增加200cm3?10(x+4)10(x+4)2 2=10=104 42 2+200+20080cm50cmxxxx2 2、在一幅长、在一幅长80cm80cm，宽，宽50cm50cm的矩形风景画的四周的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果使整个挂图的面积是如果使整个挂图的面积是5400cm5400cm2 2，设金边的宽为，设金边的宽为xcmxcm，则列出的方程是则列出的方程是 .（80+2x80+2x）（）（50+2x50+2x）=5400=54002.几何与方程 例1.一块长方形草地的长和宽
11、分别为20cm和15cm,在它的四周外围环绕着宽度相等的小路.已知小路的面积为246cm2,求小路的宽度.得根据题意设小路的宽度解,:xm.2461525215)220(xx:整理得).,(241;321舍去不合题意xx,01233522xx:解得.3:m小路的宽度为答201515+2x20+2x几何与方程n例2.如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽度都相等.水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块,水渠应挖多宽.得根据题意设水渠的宽度解,:xm.885660)292(xx:整理得).,(105;121舍去不合题意xx,01051062xx:解得.1:m水渠的宽
12、度为答几何与方程n例3.将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成一个正方形.n(1).要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪?n(2).要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪?n(3).这两个正方形的面积之和可能等于200m2吗?得根据题意设剪下的一段为解,.2:xcm.100456)4(22xx:整理得,0562xx:解得.,0,5621舍去不合题意xx.196,:2cm面积能等于可围成一个正方形的其不剪答w 例例2.某公司计划经过两年把某种商品的生产成本降低某公司计划经过两年把某种商品的生产成本降低19%，那么平均每年需降低百分之几，那么平均每年需降低百
13、分之几?增长率与方程.022500300:2 xx整理得得解这个方程,得根据题意分数为设每年平均需降低的百解,:x%.191)1(2x:解这个方程).,(9.01%;109.0121舍去不合题意xx,81.0)1(2 x,9.0)1(x,9.01x%.10:数为每年平均需降低的百分答w例例1.一次会议上一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一每两个参加会议的人都互相握了一次手次手,有人统计一共握了有人统计一共握了66次手次手.这次会议到会的人数这次会议到会的人数是多少是多少?4.美满生活与方程得根据题意设这次到会的人数为解,:x.6621xx:整理得).,(02231;12223121舍去不
14、合题意xx.01322 xx:解得,223125291x.12:人这次到会的人数为答思考思考(09年广东中考年广东中考)（本题满分（本题满分9分）分）某种电脑病毒传播非常快，如果某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有会有81台电脑被感染请你用学过的台电脑被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，控制，3轮感染后，被感染的电脑会轮感染后，被感染的电脑会不会超过不会超过700台？台？w例.某果园有100棵桃树,一棵桃树平均结1000
15、个桃子,现准备多种一些桃树以提高产量.试验发现,每多种一棵桃树,每棵棵桃树的产量就会减少2个.如果要使产量增加15.2%,那么应种多少棵桃树?5.经济效益与方程得根据题意棵设多种桃树解,:x.%2.1511000100)121000)(100(xx.0760040:2xx整理得得解这个方程,.380,2021xx.38020:棵棵或应多种桃树答3 3、党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会、党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到主义现代化，力争国民生产总值到20202020年比年比20002000年翻年翻两番。本世纪的头二十年（两番。本世纪的头二十年（
16、20012001年年20202020年），要实年），要实现这一目标，以十年为单位，设每个十年的国民生产现这一目标，以十年为单位，设每个十年的国民生产总值的增长率都是总值的增长率都是x x，那么，那么x x满足的方程为满足的方程为 （）A A、(1+x)(1+x)2 2=2=2B B、(1+x)(1+x)2 2=4=4 C C、1+2x=21+2x=2 D D、（、（1+x1+x）+2+2（1+x)=41+x)=4B B关键是理解关键是理解“翻两番翻两番”是原来的是原来的4倍倍，而不是原来的，而不是原来的2倍。倍。6.我是商场精英n例.某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出20件,每件盈利4
17、0元.为了尽快减少库存,商场决定采取降价措施.经调查发现:如果这种衬衫的售价每降低1元时,平均每天能多售出2件.商场要想平均每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?得根据题意元设每件衬衫应降价解,:x.1200)1220)(40(xx.020030:2xx整理得得解这个方程,.10,2021xx.20,:元应降价为了尽快减少库存答.40220,60220 xx或n例.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,若每件商品售价为x元,则每天可卖出(350-10 x)件,但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%.商店要想每天赚400元,需要卖出多少年来件商品?每件商品的售价应为多少元?7.利
18、润与方程得根据题意元设每件商品的售价应为解,:x.400)10350)(21(xx.077556:2xx整理得得解这个方程,.31,2521xx.25:元每件商品的售价应为答.,31,2.25%2012131舍去不合题意xx例例1、有一堆砖能砌、有一堆砖能砌12米长的围墙米长的围墙,现要围一个现要围一个20平方米的鸡场平方米的鸡场,鸡场的一边靠墙鸡场的一边靠墙(墙长墙长7米米),其余三其余三边用砖砌成边用砖砌成,墙对面开一个墙对面开一个1米宽的门米宽的门,求鸡场的长求鸡场的长和宽各是多少米和宽各是多少米?解：设鸡场的宽为解：设鸡场的宽为x x米，则长为（米，则长为（12+1-2x12+1-2x
19、）=（13-2x13-2x）米，列方程得：）米，列方程得：X X（13-2x13-2x）=20=20解得：解得：x x1 1=4=4，x x2 2=2.5=2.5经检验：两根都符合题意经检验：两根都符合题意答：此鸡场的长和宽分别为答：此鸡场的长和宽分别为5 5和和4 4米或米或8 8与与2.52.5米。米。13-2x=513-2x=5或或8 8例例2 2、某商场的音响专柜、某商场的音响专柜,每台音响进价每台音响进价40004000元元,当售价当售价定为定为50005000元时元时,平均每天能售出平均每天能售出1010台台,如果售价每降低如果售价每降低100100元元,平均每天能多销售平均每天能
20、多销售2 2台台,为了多销售音响为了多销售音响,使利润使利润增加增加12%,12%,则每台销售价应定为多少元则每台销售价应定为多少元?解解:法一：设每台降价法一：设每台降价x元元 (1000 x)(10+100 x2)=10000(1+12%)解得解得:x=200:x=200或或 x=300 x=300每台的利润每台的利润售出的台数售出的台数=总利润总利润解解:法二：设每天多销售了法二：设每天多销售了x x台。台。（10+x)(1000-50 x)=10000(1+12%)10+x)(1000-50 x)=10000(1+12%)例例3、如图所示，已知一艘轮船以、如图所示，已知一艘轮船以20海
21、里海里/时的速时的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以心正以40海里海里/时的速度由南向北移动，距台风中时的速度由南向北移动，距台风中心心20 10 海里的圆形区域（包括边界）均会受到海里的圆形区域（包括边界）均会受到台风的影响，当轮船到台风的影响，当轮船到A处时测得台风中心移动处时测得台风中心移动到位于点到位于点A正南方向的正南方向的B处，且处，且AB=100海里，若海里，若这艘轮船自这艘轮船自A处按原速原方向继续航行，在途中处按原速原方向继续航行，在途中是否会受到台风的影响？若会，试求出轮船最初是否会受到台风的影响？若会，试求出轮船最
22、初遇台风的时间；若不会，请说明理由。遇台风的时间；若不会，请说明理由。AB 学以致用 某军舰以某军舰以20海里海里/时的速度由西向东航行，一艘电时的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以子侦察船以30海里海里/时的速度由南向北航行，它能时的速度由南向北航行，它能侦察出周围侦察出周围50海里（包括海里（包括50海里海里)范围内的目标。范围内的目标。如图，当该军舰行至如图，当该军舰行至A处时，电子侦察船正位于处时，电子侦察船正位于A处正南方向的处正南方向的B处，且处，且AB=90海里。如果军舰和海里。如果军舰和侦察船仍按原速沿原方向继续航行，则航行途中侦察船仍按原速沿原方向继续航行，则航行途中侦察船能
23、否侦察到这艘军舰？如果能，最早何时侦察船能否侦察到这艘军舰？如果能，最早何时侦察到？如果不能，请说明理由。侦察到？如果不能，请说明理由。AB案例案例1：关于关于x的方程的方程02)1(2kkxxk有两个不相等的实数根，有两个不相等的实数根，求求k的取值范围。的取值范围。解：解：)1(4)2(2kkk解得解得k又又k-10 k且且k0说一说说一说忽视二次项忽视二次项系数不为系数不为0案例案例2：已知已知k为实数，解关于为实数，解关于x的方程的方程0)3(322kxkkx解：解：0)1)(3(kxkx.1,321kxkx当当k=0时，时，方程为方程为3x=0,x=0将原方程左边分解因式，得将原方程
24、左边分解因式，得当当k0时，时，说一说说一说忽视对方程忽视对方程分类讨论分类讨论1542)2222xxxx（xx22015)2(2)2222xxxx（0)32)(5222xxxx（522 xx322 xx案例案例3：已知实数已知实数x满足满足求：代数式求：代数式解：解：，的值。的值。或或522 xx又又无实根，无实根，322 xx说一说说一说忽视根的忽视根的存在条件！存在条件！案例案例4：已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程01122xkx有两个实根，求有两个实根，求k的取值范围。的取值范围。解：由解：由0，可得，可得04)12(2k解得解得 k-2又又k+10,k1k 的取值范围是
25、的取值范围是k1说一说说一说忽视系数中忽视系数中的隐含条件的隐含条件1x2x01522 xxxxxxxx2121212121xx案例案例5：已知已知 ，是方程是方程的两根，求的两根，求解：解：的值。的值。22122212212121212121xxxxxxxxxxxxxxxx说一说说一说忽视讨论两忽视讨论两根的符号！根的符号！)1()2(xxaxa1x2xxxS21a0)12(22axxaaxx2121axx221xxS21212122xxxxSaa22211aa20aa案例案例6：已知方程已知方程的两个实根为的两个实根为、，设，设,求求:整数时整数时S的值为的值为1。解：原方程整理解：原方程
26、整理，=为非负整数为非负整数。取什么取什么由由=4a+10得得，由，由02121axx得得21a410 a说一说说一说忽视系数中的忽视系数中的隐含条件与隐含条件与判别式判别式。a取整数取整数0。41a0900222mmxx090222cba2522ba252)(2abba02142 mm3,721 mm3,721 mm案例案例7：在在RtABC中，中，C=，斜边斜边c=5,的两根，求的两根，求m的值的值。解：在解：在RtABC中，中，C=检验检验:当当时，时，都大于都大于0两直角边的长两直角边的长a、b是是又因为直角边又因为直角边a,b的长均为正所以的长均为正所以m 的值只有的值只有7。说一说
27、说一说忽视实忽视实际意义际意义!理一理理一理一元二次方程中几个容易忽视问题：一元二次方程中几个容易忽视问题：重视重视二次项系数不为二次项系数不为0；重视重视对方程分类讨论；对方程分类讨论；重视重视系数中的隐含条件；系数中的隐含条件；重视重视根的存在条件根的存在条件；重视重视讨论两根的符号；讨论两根的符号；重视重视根要符合实际意义。根要符合实际意义。说一说说一说系数系数根根1、某人将、某人将2000元人民币按一年定期储蓄存入银行，元人民币按一年定期储蓄存入银行，到期后支取到期后支取1000元用作购物，剩下的元用作购物，剩下的1000元及利息元及利息又全部按一年定期储蓄存入银行，若银行存款的利又全
28、部按一年定期储蓄存入银行，若银行存款的利率不变，到期后得本利和共率不变，到期后得本利和共1320元（不计利息税），元（不计利息税），求一年定期存款的年利率。求一年定期存款的年利率。做一做做一做解：设一年定期存款年利率为解：设一年定期存款年利率为x，得：，得：20002000（1+x1+x）-1000-1000（1+x1+x）=1320=13202 2、某人购买了、某人购买了15001500元的债券，一年到期兑换后元的债券，一年到期兑换后他用去了他用去了435435元，然后把其余的钱又购买这种债元，然后把其余的钱又购买这种债券定期一年（利率不变），再到期后他兑换到券定期一年（利率不变），再到期后
29、他兑换到13081308元，求这种债券的年利率元，求这种债券的年利率做一做做一做解：设这种债券的年利率为解：设这种债券的年利率为x x，得：，得：15001500（1+x1+x）-435-435（1+x1+x）=1308=1308 3、某玩具厂第一年出品精致玩具、某玩具厂第一年出品精致玩具5万件，以后逐年万件，以后逐年增长，第三年出品增长，第三年出品14万件，后两年平均每年的增长率万件，后两年平均每年的增长率是多少是多少?4 4、某服装柜在销售中发现：、某服装柜在销售中发现：“宝乐宝乐”牌童装平均每天牌童装平均每天可售出可售出2020件，每件盈利件，每件盈利4040元元.为了迎接为了迎接“十十一一”国庆国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降经市场调查发现：如果每件童装降价价1 1元，那么平均每天就可多售出元，那么平均每天就可多售出2 2件件.要想平均每天销要想平均每天销售这种童装上盈利售这种童装上盈利12001200元，那么每件童装因应降价多元，那么每件童装因应降价多少元？少元？小结：小结：这节课你有哪些收获？这节课你有哪些收获？
