1、19.2.2(2)菱形一组邻边相等有一组邻边相等的平行四边形叫做有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形。平行四边形边边对角线对角线角角菱形的定义菱形的定义菱形的性质菱形的性质菱形菱形菱形的两条对角线互相平分菱形的两条对角线互相平分菱形的两组对边平行菱形的两组对边平行菱形的四条边相等菱形的四条边相等菱形的两组对角分别相等菱形的两组对角分别相等 菱形的邻角互补菱形的邻角互补菱形的两条对角线互相垂直平分，菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。每一条对角线平分一组对角。面积面积S菱形菱形ABCD=ACBD根据菱形的定义根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法：可得菱形的第一个判定
2、的方法：AB=AD，因为四边形因为四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，所以四边形所以四边形ABCDABCD是菱形。是菱形。数学语言：数学语言：有一组邻边相等的平行四边形叫有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。做菱形。ABCDO用一长一短两根细用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形，转动木条，这一根橡皮筋，做成一个四边形，转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？个四边形什么时候变成菱形？对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形命题：
3、命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形.ABCD已知：在已知：在 中，中，AC BD，ABCDABCD求证：求证：是菱形。是菱形。证明：证明：所以所以 ABCD是菱形。是菱形。因为因为 AC BD，因为四边形因为四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，所以所以OA=OC。所以所以BA=BC。O定理：定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形.菱形的判定菱形的判定u对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形ACBDABCD，ACBD ABCD是菱形是菱形ABCD菱形菱形ABCDABCDABCDABCD想一想（想一
4、想（2 2）把一个一般的四边形作如下变化，请问得到的四边形是菱把一个一般的四边形作如下变化，请问得到的四边形是菱形吗？形吗？菱形的判别：菱形的判别：u四条边都相等的四边形四条边都相等的四边形是菱形是菱形.四四边形边形ABCDABCDAB=BC=CD=DAABCD菱形菱形ABCDABCDAB=BC=CD=DAAB=BC=CD=DA四边形四边形ABCD是菱形是菱形 ABCDABCD是菱形是菱形.（一组邻边相等的平行四边形是菱形）（一组邻边相等的平行四边形是菱形）对角线互相垂直的对角线互相垂直的平行四边形平行四边形是菱形是菱形.ACODB证明：在证明：在 ABCDABCD中中又又ACBDACBDBD
5、BD为为ACAC的中垂线的中垂线AB=ADAB=ADAO=CO AO=CO ，BO=DOBO=DO已知已知 在在 ABCD中，中，ACBD，求证：求证：四边形四边形ABCD是菱形是菱形(垂直平分线的性质垂直平分线的性质)菱形的判定菱形的判定 文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言判定法判定法一一四边相等的四边四边相等的四边形是菱形形是菱形判定判定法二法二对角线互相垂直对角线互相垂直的平行四边形是的平行四边形是菱形菱形判定法判定法三三一组邻边相等的一组邻边相等的平行四边形是菱平行四边形是菱形形ABCDAB=BC=CD=DA四边形四边形ABCD是菱形是菱形ABCDACBD四边形四边形AB
6、CD是菱形是菱形ABCDAB=AD四边形四边形ABCD是菱形是菱形ABCDOABCD老师说下列三个图形都是菱形老师说下列三个图形都是菱形,你相信吗你相信吗?5534345555有一组邻边相等的平有一组邻边相等的平行四边形叫做行四边形叫做菱形。菱形。对角线互相垂直的平行对角线互相垂直的平行四边形是四边形是菱形。菱形。有四条边相等的四边形是有四条边相等的四边形是菱形菱形。3344如图，ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6（1）AC、BD互相垂直吗？为什么？（2）四边形ABCD是菱形吗？为什么？ABCDO所以四边形ABCD是菱形.所以OA=OC=4，OB=OD=3。
7、证明：证明：因为AB=5，所以 所以ACBD。090所以所以AOB=（2 2）因为四边形ABCD是平行四边形，ACBD，（1 1）因为四边形ABCD是平行四边形，AB2=OA2+OB2。判断下列说法是否正确？为什么？判断下列说法是否正确？为什么？(1)(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；对角线互相垂直的四边形是菱形；(2)(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；(3)(3)对角线互相垂直对角线互相垂直,且有一组邻边相等且有一组邻边相等 的四边形是菱形；的四边形是菱形；(4)(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一两条邻边相等，且一条对角线平分一 组对角的四边形是
8、菱形组对角的四边形是菱形 ABCDABCD的对角线的对角线ACAC与与BDBD相交于点相交于点O O，（1 1）若）若AB=ADAB=AD，则，则ABCDABCD是是 形；形；（2 2）若）若AC=BDAC=BD，则，则ABCDABCD是是 形；形；（3 3）若）若ABCABC是直角，则是直角，则ABCDABCD是是 形；形；（4 4）若）若BAO=DAOBAO=DAO，则，则ABCDABCD是是 形。形。ABCDO矩矩菱菱矩矩菱菱ADCBEF把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分重叠部分ABCDABCD的形状吗？的形状吗？思考:1.已知：如图
9、，在已知：如图，在ABCDABCD中，对角线中，对角线BDBD平分平分 ABCABC。求证：四边形求证：四边形ABCDABCD是菱形是菱形。A B C D2.2.已知：平行四边形已知：平行四边形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC的垂直的垂直平分线与边平分线与边AD,BCAD,BC分别交于分别交于E,FE,F。求证：四边形求证：四边形AFCEAFCE是菱形。是菱形。ABEDCFO12证明：平行四边形证明：平行四边形ABCDABCD中中ADBCADBC1=21=2，3=43=443EFEF垂直平分垂直平分ACACAO=CO,AO=CO,AF=CFAF=CF,AOFAOFCOECOE AF=C
10、EAF=CE平行四边形平行四边形四边形四边形AFCEAFCE是菱形是菱形又又AFCEAFCE四边形四边形AFCEAFCE是平行四边形是平行四边形一组邻边一组邻边相等的相等的平行四边形平行四边形是菱形是菱形3.3.如图，已知如图，已知ADAD是是ABCABC的角平分线，的角平分线，DEACDEAC交交ABAB于于E E，DFABDFAB交交ACAC于于F F，求证：求证：ADEFADEF。1 23ABCEDF证明：证明：DEAC,DFABDEAC,DFAB四边形四边形AEDFAEDF是平行四边形是平行四边形 2=3 2=3 ADAD是是ABCABC的角平分线的角平分线 1=2 1=2 1=3 1
11、=3 AE=DEAE=DE AEDFAEDF是菱形是菱形 ADEFADEFDEAC DEAC 4.4.如图如图,在在ABCABC中中,AB=AC,AB=AC,点点M M在边在边BCBC上上,过点过点M M分别作分别作ABAB、ACAC的平行线的平行线,与与ACAC、ABAB分分别相交于点别相交于点D D、E.E.当点当点M M位于位于BCBC的什么位置时的什么位置时,四边形四边形AEMDAEMD是菱形是菱形?请给予证明请给予证明.MEDCBA证明：证明：EMAC,DMABEMAC,DMAB四边形四边形AEMDAEMD是平行四边形是平行四边形若若EM=DM,EM=DM,则则AEMDAEMD是菱形
12、是菱形AB=AC,AB=AC,B=C B=C又又EMAC,DMABEMAC,DMABBEM=EMD=MDCBEM=EMD=MDCB=C,BEM=CDM,EM=DMB=C,BEM=CDM,EM=DM在在BMEBME和和CMDCMD中中 BME BME CDMCDMBM=CMBM=CM当当M M为为BCBC的中点时，的中点时，四边形四边形AEMDAEMD是菱形是菱形4 4、已知如图，在、已知如图，在ABC,ACB=90ABC,ACB=900 0，ADAD是是角平分线，点角平分线，点E E、F F分别在分别在ABAB、ADAD上，且上，且AE=ACAE=AC，EFBCEFBC。求证：四边形求证：四边
13、形CDEFCDEF是菱形是菱形O12ACBDEF挑战自我挑战自我邻边相等邻边相等对角线互相垂直对角线互相垂直OADBCOADBC平行四边形平行四边形A AD DB BC C平行四边形平行四边形A AB BC CD DAD=DCAD=DC ACBD ACBD 四边相等四边相等OADBC四边形四边形A AB BC CD DAD=DC=CB=BAAD=DC=CB=BA对角线互相垂直平分对角线互相垂直平分OADBC四边形四边形A AB BC CD DACBD,AO=CO,BO=DOACBD,AO=CO,BO=DOO O归归 纳总结纳总结1 1、如图，ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于 点D，交AC
14、于点O，CEAB交MN于E，连结AE、CD （1）求证：ADCE；（2）填空：四边形ADCE的形状是 .并说明理由。DBCAENMO 2.2.已知：如图，在已知：如图，在ABCABC中，中，ABC=90ABC=90，ADAD是角平分线，点是角平分线，点E E、F F分别在分别在ACAC、ADAD上，且上，且AE=ABAE=AB，EFBCEFBC。求证：四边形求证：四边形CDEFCDEF是菱形。是菱形。D C B A E F3 3、已知：如图，矩形、已知：如图，矩形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点OO，APBDAPBD，DPACDPAC，APAP、DPDP相交于
15、点相交于点P P。求证：四边形求证：四边形AODPAODP是菱形。是菱形。3.如图,点E是菱形ABCD的对角线BD上任意一点,连接AE,CE,请找出图中一对全等三角形为.答案:ABD CBD(或ADE CDE或ABE CBE)7.一个菱形的对角线长分别是4cm,5cm,则这个菱形的面积S等于.答案:10cm21.菱形的性质【例1】如图,菱形ABCD的边长为2,对角线BD=2,E,F分别是AD,CD上的两个动点,且满足AE+CF=2.(1)求证:BDE BCF;(2)判断BEF的形状,并说明理由.同时指出BCF是由BDE经过如何变换得到的?(1)证明:菱形ABCD的边长为2,BD=2,BD=BC
16、且BDE=BCF=60.AE+CF=2,又AE+DE=AD=2,DE=CF.BDE BCF.理由如下:由(1)得BDE BCF,BE=BF,CBF=DBE.EBF=EBD+DBF=CBF+DBF=60.BEF是等边三角形,BCF是由BDE绕点B顺时针旋转60得到的.点拨:由菱形的性质可知,菱形中存在很多线段的关系和角的关系,因此,在解决有关菱形的问题时,经常转化为证两三角形全等或运用直角三角形和等腰三角形的性质等来解决.(2)解:BEF是等边三角形,2.菱形的判定【例2】如图所示,ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且AC=4,BD=2,AB=.过点D作DEAB,垂足为E.(1)四边形ABC
17、D是菱形吗?说说你的理由.(2)求DE的长.37解:(1)四边形ABCD是菱形.理由如下:ABCD的对角线AC与BD互相平分,OA=AC=2,OB=BD=.22+()2=7=()2,AB2=OA2+OB2,AOB=90.ACBD.1212337平行四边形ABCD是菱形.(2)由ABDE=ACBD,得DE=.1214 2 327 4 374 217或点拨:(1)菱形的判定方法有多种,在判定一个四边形是菱形时,要选择简便方法.有时要先判定四边形是平行四边形,再判定为菱形.(2)菱形的面积可由两种方法求得,用求平行四边形面积的方法求解,用对角线乘积的一半求其面积.1.下列命题中正确的是(),A.对角
18、线相等的四边形是菱形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线相等的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形解析:选项A,B不能判定是菱形;选项C,对角线相等的平行四边形应是矩形,所以C错误,故选D.答案:D2.(2011江苏无锡中考)菱形具有而矩形不一定具有的性质是().A.对角线互相垂直B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角互补答案:A3.如图所示,在菱形ABCD中,两条对角线AC=6,BD=8,则此菱形的边长为().A.5B.6C.8D.10解析:因为菱形的对角线互相垂直且平分,所以在RtAOB中,根据勾股定理可得AB=5,即菱形的边长为5.答案:A22AOBO22344.
19、如图,在菱形ABCD中,对角线AC=4,BAD=120,则菱形ABCD的周长为().A.20B.18C.16D.15解析:由题意可知,ABC是等边三角形,所以AB=BC=AC=4.因为菱形的四条边都相等,故菱形ABCD的周长为16.答案:C5.(2011广州中考)如图,AC是菱形ABCD的对角线,点E,F分别在边AB,AD上,且AE=AF.求证:ACE ACF.证明:四边形ABCD为菱形,BAC=DAC.又AE=AF,AC=AC,ACE ACF(SAS).6.已知在菱形ABCD中,O是对角线BD上的一动点.如图,P为线段BC上一点,连接PO,并延长交AD于点Q,当O是BD的中点时,求证:OP=
20、OQ.证明:四边形ABCD为菱形,ADBC.OBP=ODQ.O是BD的中点,OB=OD.在BOP和DOQ中,OBP=ODQ,OB=OD,BOP=DOQ,BOP DOQ(ASA),OP=OQ.7.如图,O为矩形ABCD对角线的交点,DEAC,CEBD.(1)试判断四边形OCED的形状,并说明理由;(2)若AB=6,BC=8,求四边形OCED的面积.解:(1)四边形OCED是菱形.理由如下:DEAC,CEBD,四边形OCED是平行四边形,又在矩形ABCD中,OC=OD,四边形OCED是菱形.(2)连接OE,由菱形OCED得CDOE,OEBC.又CEBD,四边形BCEO是平行四边形.OE=BC=8,S四边形OCED=OECD=86=24.1212
