1、提分微课（四）构造辅助圆 “隐圆”一般有如下呈现方式:定点定长:当遇到同一个端点出发的等长线段时,通常以这个端点为圆心,等线段长为半径构造辅助圆;定弦定角:当遇到动点对定线段所张的角为定值时,通常把张角转化为圆周角构造辅助圆.当遇到直角时,通常以斜边为直径构造辅助圆.“隐圆”常与线段最值结合考查.如图,点A到圆O的最短距离为AB,最长距离为AC.如图,点A到圆O的最短距离为AB,最长距离为AC.类型一定点定长1.如图W4-1,在四边形ABCD中,AB=AC=AD,若BAC=25,CAD=75,则BDC=,DBC=.图W4-112.537.52.如图W4-2,在ABC中,AC=6,BC=8,AC
2、B=90,将ABC绕顶点C按顺时针方向旋转,得到MNC.点P,Q分别是线段AC,MN的中点,在ABC绕点C按顺时针方向旋转的过程中,线段QP长度的最小值为,最大值为.图W4-2283.如图W4-3,在RtABC中,C=90,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是.图W4-31.24.如图W4-4,在边长为4的菱形ABCD中,A=60,M是AD边的中点,点N是AB边上一动点,将AMN沿MN所在的直线翻折得到AMN,连接AC,则线段AC长度的最小值是.图W4-4答案 4解析如图:5.在平面直角坐标
3、系xOy中,已知点A(2,3),在x轴上找一点P,使得AOP是等腰三角形,则这样的点P共有个.类型二定弦定角或张角互补图W4-5(1)直角6.如图W4-5,三角板ACD,BCE中,ACD是等腰直角三角形,CAD=CBE=90,直线aCD,则BCF=.答案 45解析由题意可得C,B,A,F四点在同一个圆上.BFC=BAC.直线aCD,BAC=ACD.又ACD是等腰直角三角形,ACD=45.BFC=45.CBF=90,BCF=45.7.2016宁波考纲如图W4-6,在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=2,点P为等腰直角三角形ABC所在平面内一点,且满足PAPB,则PC的取值范围为.图W4-68.
4、如图W4-7,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF,连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H,连接DH,若正方形的边长是2,则线段DH长度的最小值是.图W4-79.如图W4-8,AC=3,BC=5,且BAC=90,D为AC上一动点,以AD为直径作圆,连接BD交圆于点E,连接CE,则CE的最小值为.图W4-810.2015淮安改编将一张正方形纸片ABCD折叠,再展开,如图W4-9所示,其中CE,CF为折痕,BCE=ECF=FCD,点B为点B的对应点,点D为点D的对应 点,EB,FD相交于点O.连接AB,则ABE的度数为.图W4-945图W4-10(2)定角11.如图W4-1
5、0,ABC为等边三角形,AB=2,若点P为ABC内一动点,且满足PAB=ACP,则线段PB长度的最小值为.12.如图W4-11,等边三角形ABC边长为6,AB边中点为F,动点D,E分别从A,B两点同时出发,以相同的速度沿直线向各自终点C,A运动,连接BD,CE,交于点P,则线段PF的最小值为.图W4-1113.2018徐州节选如图W4-12,将等腰直角三角形ABC对折,折痕为CD.展平后,再将点B折叠在边AC上(不与A,C重合),折痕为EF,点B在AC上的对应点为M,设CD与EM交于点P,连接PF.随着点M在边AC上取不同的位置,PFM的形状是否发生变化?请说明理由.图W4-1214.2016
6、宿迁已知ABC是等腰直角三角形,AC=BC=2,D是边AB上一动点(A,B两点除外),将CAD绕点C按逆时针方向旋转角得到CEF,其中点E是点A的对应点,点F是点D的对应点.(1)如图W4-13,当=90时,G是边AB上一点,且BG=AD,连接GF.求证:GFAC.(2)如图,当90180时,AE与DF相交于点M.当点M与点C,D不重合时,连接CM,求CMD的度数;设D为边AB的中点,当从90变化到180时,求点M运动的路径长.图W4-13解:(1)证明:CA=CB,ACB=90,A=ABC=45,CEF是由CAD逆时针旋转90得到的,CB与CE重合,CBF=A=45,ABF=ABC+CBF=90,BG=AD=BF,BGF=BFG=45,A=BGF=45,GFAC.14.2016宿迁已知ABC是等腰直角三角形,AC=BC=2,D是边AB上一动点(A,B两点除外),将CAD绕点C按逆时针方向旋转角得到CEF,其中点E是点A的对应点,点F是点D的对应点.(2)如图,当90180时,AE与DF相交于点M.当点M与点C,D不重合时,连接CM,求CMD的度数;设D为边AB的中点,当从90变化到180时,求点M运动的路径长.图W4-13
