1、1251 引言引言 52 平面平面弯曲时梁横截面上的正应力弯曲时梁横截面上的正应力53 梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力54 梁的正应力和剪应力强度条件梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面梁的合理截面55 非对称截面梁的平面弯曲非对称截面梁的平面弯曲 开口薄壁截面的弯曲中心开口薄壁截面的弯曲中心56 考虑材料塑性时的极限弯矩考虑材料塑性时的极限弯矩第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 5 5 引言引言1、弯曲构件横截面上的（内力）应力、弯曲构件横截面上的（内力）应力内力剪力Q 剪应力t t弯矩M 正应力s s平面弯曲时横截面s 纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)平面弯曲时横截面t 剪切弯
2、曲(横截面上既有Q又有M的情况)2、研究方法、研究方法纵向对称面纵向对称面P1P2例如：某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。PPaaABQMxx纯弯曲纯弯曲(Pure Bending):5 52 2 平面平面弯曲时梁横截面上的正应力弯曲时梁横截面上的正应力1.梁的纯弯曲实验 横向线(a b、c d）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。（一）变形几何规律：（一）变形几何规律：一、一、纯弯曲时梁横截面纯弯曲时梁横截面上的正应力上的正应力中性层中性层纵向对称面纵向对称面中性轴中性轴bdacabcdMM横截面上只有正应力。平面
3、假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。（可由对称性及无限分割法证明）3.推论2.两个概念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。A1B1O1O4.几何方程：(1).yx abcdABdq q xy11111OOBAABABBAx)OO1)qqqyyddd)(（二）物理关系：（二）物理关系：假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应 力状态。(2).sEyExxs sxs sx（三）静力学关系：（三）静力学关系：0dddszAAAxESAyEAEyAN轴过形心中性)(0zSz0
4、dd)d(syzAAAyEIAyzEAEyzzAM（对称面）（对称面）MEIAyEAEyyAMzAAAzsdd)d(22zzEIM1(3)EIz 杆的抗弯刚度。杆的抗弯刚度。(4).zxIM y s s（四）最大正应力：（四）最大正应力：zWMmaxs(5)DdDda)1(32 43maxaDyIWzz圆环bBhH)1(6 332maxBHbhBHyIWzz回字框maxyI Wzz 抗抗弯弯截截面面模模量量。例例1 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）11截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求11截面的曲率半径。Q=
5、60kN/mAB1m2m11xM+82qLM1Mmax12120180zy解：画M图求截面弯矩kNm60)22(121xqxqLxM30Q=60kN/mAB1m2m11xM+82qLM1Mmax12120zykNm5.678/3608/22max qLM451233m10832.5101218012012bhIz34m1048.62/zzIWMPa7.6110832.56060 5121zIyMss求应力18030MPa6.921048.66041max1zWMsm4.1941060832.520011MEIzMPa2.1041048.65.674maxmaxzWMs求曲率半径Q=60kN/m
6、AB1m2m11xM+82qLM1Mmax12120180305 53 3 梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力一、一、矩形截面矩形截面梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力1、两点假设：剪应力与剪力平行；矩中性轴等距离处，剪应力 相等。2、研究方法：分离体平衡。在梁上取微段如图b；在微段上取一块如图c，平衡0)(112dxbNNXtdxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dxs sxyzs s1 1t t1 1t tb图图a图图b图图cdxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dxs sxyzs s1 1t t1 1t tb图图a图图b图图
7、czzAzAIMSAyIMANdd1szzISMMN)d(2zzzzbIQSbISxMdd1t由剪应力互等由剪应力互等zbIQSy1)(ttt)4(2)2(2222yhbyhbyhAyScztt5.123maxAQ)4(222yhIQz矩tQt t方向：与横截面上剪力方向相同；t t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。二、其它截面梁二、其它截面梁横截面上的剪应力横截面上的剪应力1、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式亦为：zzbIQS1t其中Q为截面剪力；Sz 为y点以下的面积对中性轴之静矩；2、几种常见截面的最大弯曲剪应力 Iz为整个截面对z轴
8、之惯性矩；b 为y点处截面宽度。工字钢截面：工字钢截面：maxtmint;maxA Qt tf结论：结论：翼缘部分tmax腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。铅垂剪应力主要腹板承受（9597%），且tmax tmin 故工字钢最大剪应力Af 腹板的面积。;maxA Qt tf 圆截面：tt3434maxAQ 薄壁圆环：tt22maxAQ槽钢：exyzPQRRzzbIQS，合力为腹板上;t。合力为翼缘上HzIQA;21t0)d(AxdAM力臂tRHhe QeQeh5-4 梁的正应力和剪应力强度条件梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面梁的合理截面1 1、危险面与危险点分析：、危险面与危险
9、点分析：一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。Qt ts ss ss sMt t一、梁的正应力和剪应力强度条件一、梁的正应力和剪应力强度条件2 2、正应力和剪应力强度条件：、正应力和剪应力强度条件：带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交处。（以后讲）t tt t zzIbSQmaxmaxmax s ss s zWMmaxmax3 3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：s sMQt tt ts
10、s4 4、需要校核剪应力的几种特殊情况：、需要校核剪应力的几种特殊情况：铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力。梁的跨度较短，M 较小，而Q较大时，要校核剪应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。、校核强度：校核强度：设计截面尺寸：设计载荷：;maxmaxttssmaxsMWz)(;maxmaxMfPWMzs解：画内力图求危面内力例例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，s=7MPa，t=0.9 M Pa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。N54002336002maxqLQNm4050833600822max
11、qLMq=3.6kN/mxM+82qLABL=3mQ2qL2qL+x求最大应力并校核强度应力之比7.1632maxmaxmaxhLQAWMztsq=3.6kN/mxM+82qLQ2qL2qL+x7MPa6.25MPa 18.012.040506622maxmaxmaxssbhMWMz0.9MPa0.375MPa 18.012.054005.15.1maxmaxttAQy1y2GA1A2A3A4解：画弯矩图并求危面内力例例3 T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的sL=30MPa，sy=60 MPa，其截面形心位于C点，y1=52mm，y2=88mm，Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。并说明
12、T字梁怎样放置更合理？kN5.10;kN5.2BARR)(kNm5.2下拉、上压CM（上拉、下压）kNm4BM4画危面应力分布图，找危险点P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmM校核强度MPa2.2810763885.2822zCLAIyMsMPa2.2710763524813zBLAIyMsMPa2.4610763884824zByAIyMsLLss2.28maxyyss2.46maxT字头在上面合理。y1y2GA1A2A3A4x2.5kNm-4kNmMy1y2GA3A4二、梁的合理截面二、梁的合理截面（一）矩形木梁的合理高宽比（一）矩形木梁的合理高宽比R北宋李
13、诫于1100年著营造法式 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比(h/b =)1.5英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 为刚度最大。时强度最大时,3 ;,2bhbhbhAQ3433.1mmaxtt 3231DWz13221.18 6)(6zzWRbhWmmax5.1tt)2/(;,41221 DRaaD时当强度：正应力：剪应力：1 1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面 sszWM ttzzbIQS*其它材料与其它截面形状梁的合理截面zDzaamtt2max143375.2)0.8-(132zzW
14、DW1222167.1,4)8.0(4 DDDDD时当1121212,24 DaaD时当1312467.1 646zzWabhWmtt5.1maxzD0.8Da12a1z)(=3.2mmaxfAQtt工字形截面与框形截面类似。1557.4zzWW1222222105.1,6.18.024 DaaaD时当0.8a2a21.6a22a2z 对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：2 2、根据材料特性选择截面形状、根据材料特性选择截面形状s sGz（二）采用变截面梁（二）采用
15、变截面梁 ，如下图：，如下图：最好是等强度梁，即)()()(maxssxWxMx若为等强度矩形截面，则高为)(6)(sbxMxh同时)(5.1maxttxbhQ5.1)(tbQxhPx5-5 非对称截面梁的平面弯曲非对称截面梁的平面弯曲 开口薄壁截面的弯曲中心开口薄壁截面的弯曲中心轴过形心中性)(z 0 zS0dd)d(syzAAAyEIAyzEAEyzzAM0dd)d(szAAAESAyEAEyAN外力要与主轴共线。轴必须为截面主惯性轴、,0zyIyz几何方程与物理方程不变。PxyzOMEIAyEAEyyAMzAAAzsdd)d(22exdAMAx轴到杆轴的距离依此确定力臂,0)d(t依此确
16、定正应力计算公式。剪应力研究方法与公式形式不变。弯曲中心(剪力中心)：使杆不发生扭转的横向力作用点。（如前述坐标原点O）PxyzO槽钢：非对称截面梁发生平面弯曲的条件：外力必须作用在主惯性面非对称截面梁发生平面弯曲的条件：外力必须作用在主惯性面内，中性轴为形心主轴，内，中性轴为形心主轴，,若是横向力，还必须过弯曲中心。若是横向力，还必须过弯曲中心。exyzPPs sMQRRzzbIQS，合力为腹板上;t。合力为翼缘上HzIQA;21t0)d(AxdAM力臂tRHhe Qe zzbIQS :求求任任意意一一点点剪剪应应力力弯曲中心的确定弯曲中心的确定:ACdAM力臂向形心简化)d(:t(1)双对
17、称轴截面，弯心与形心重合。(2)反对称截面，弯心与反对称中心重合。(3)若截面由两个狭长矩形组成，弯心与两矩形长中线交点重合。(4)求弯心的普遍方法：yCeQMe :求弯心到形心距离CCCQyeCs sss ss5-6 考虑材料塑性时的极限弯矩考虑材料塑性时的极限弯矩（一）物理关系为：（一）物理关系为：sxss全面屈服后,平面假设不再成立;仍做纵向纤维互不挤压假设。s s s sss ss理想弹塑性材料的理想弹塑性材料的s s 图图s sss ss弹性极限弹性极限分布图分布图塑性极限塑性极限分布图分布图（二）静力学关系：（二）静力学关系：)(依此确定中性轴的位置CSAA 0)(dd)(dCSsAsAsAAAAAANSCssss)(轴的位置依此确定 yCySySS0)(dd)()d(cySysAsAsAySSAzAzzAMLCssss（一）物理关系为：（一）物理关系为：sxssyzxs ssMjx横截面图正应力分布图压拉ASASAzAyAyyAMdd)d(sssjxzzSMSS)(压拉syzxs ssMjx横截面图正应力分布图)(zzSjxSSM压压拉拉 s sSSWs s 例例4 试求矩形截面梁的弹性极限弯矩M max与塑性极限弯矩 Mjx之 比。解：ssbhWMss62maxssszsSjxbhhbhSWMssss442222拉32maxjxMM41
