1、1 1 为什么要证明为什么要证明1.1.知识目标知识目标 （1）通过实例，使学生了解通过观察、实验、归纳、类比、猜测等活动得到的命题，其正确性有待确认.(2 (2）知道证明的意义及证明的必要性.2.2.教学重点教学重点 判定一个结论正确与否需进行推理.3.3.教学难点教学难点 理解数学推理的重要性ab 线段线段a a与线段与线段b b哪个哪个比较长？比较长？abcd 谁与线段谁与线段d d在在一条直线上？一条直线上？ababcda=b 假如用一根比地球赤道长假如用一根比地球赤道长1 1米的铁丝将地球赤道围起来，米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？那么铁
2、丝与赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一粒草莓吗？能放进一粒草莓吗？能放进一个拳头吗？能放进一个拳头吗？假如用一根比地球赤道长假如用一根比地球赤道长1 1米的铁丝将地球赤道围起来，米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？那么铁丝与赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？解：设赤道的周长为解：设赤道的周长为C C，则铁丝与地球赤道的间隙为，则铁丝与地球赤道的间隙为-+221CC费 马 对于所有自然数n，的值都是质数.122+n当n=0，1，2，3，4时，122+n=3，5，17，257，65 537都是质数欧 拉当n=5时，=4 294 96
3、7 297=6416 700 417举出反例是检验错误数学结论的有效方法.这个故事告诉我们：这个故事告诉我们：1 1、学习欧拉的学习欧拉的求实精神求实精神与与严谨的科学态度严谨的科学态度.2 2、没有严格的推理，仅、没有严格的推理，仅由若干特例归纳、猜测由若干特例归纳、猜测的结论的结论可能潜藏着错误，未必正确可能潜藏着错误，未必正确.3 3、要证明一个结论是错误的，、要证明一个结论是错误的，举反例举反例就是一种就是一种常用方法常用方法.有人认为，对于所有自然数有人认为，对于所有自然数n n，代数式，代数式n n2 2-n n+11+11的的值都是质数值都是质数.你怎么看待这个结论？你怎么看待这
4、个结论？例：例：当当n n=0=0，1 1，2 2，3 3，4 4，5 5时，代数式时，代数式n n2-n n+11+11的值是的值是质数还是和数？质数还是和数？对于所有自然数对于所有自然数n n，代数式，代数式n n2-n n+11+11的值都是质的值都是质数吗？数吗？解解:结论错误结论错误.当当n n=6=6时时 n n2 2+3+3n n+1+1 =36+18+1 =36+18+1 =55 =55 55 55为合数为合数 当当n n为正整数时，为正整数时，n n2 2+3+3n n+1+1的值一定是质数错误的值一定是质数错误.仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步仅仅依靠经验、观察或
5、实验是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理一步、有根有据地进行推理.实验、观察、归纳是人们认识事物的重要手段实验、观察、归纳是人们认识事物的重要手段.通过实验、观通过实验、观察、归纳得到的结论都正确吗？察、归纳得到的结论都正确吗？归归 纳纳1 1、实验、观察、归纳得到的结论不一定正确、实验、观察、归纳得到的结论不一定正确.因此，要判断因此，要判断一个结论是否正确，仅靠实验，观察，归纳是不够的，必须一个结论是否正确，仅靠实验，观察，归纳是不够的，必须进行有根有据的证明进行有根有据的证明.2 2、检验一个数学结论是否正确的常用方法：实验验证、举出、检验一个数学结论是否正确的常用方法：实验验证、
6、举出反例、推理反例、推理.跟踪练习跟踪练习平行平行相等相等是是 2.2.如图，四边形如图，四边形ABCD ABCD 四边的中点为四边的中点为E E、F F、G G、H H，度量，度量四边形四边形EFGH EFGH 的边和角，你能发现什么结论？改变四边形的边和角，你能发现什么结论？改变四边形ABCD ABCD 的形状，还能得到类似的结论吗？的形状，还能得到类似的结论吗？B BA AE EC CD DF FH HG G解：通过度量，可以猜测：解：通过度量，可以猜测：四边形四边形EFHGEFHG为平行四边形为平行四边形.拔尖自助餐拔尖自助餐有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其中某个箱子内，并且：有红
7、、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其中某个箱子内，并且：（1 1）红箱子盖上写着：）红箱子盖上写着：“苹果在这个箱子里苹果在这个箱子里”；（2 2）黄箱子盖上写着：）黄箱子盖上写着：“苹果不在这个箱子里苹果不在这个箱子里”；（3 3）蓝箱子盖上写着：）蓝箱子盖上写着：“苹果不在红箱子里苹果不在红箱子里”；已知已知(1),(2),(3)(1),(2),(3)中只有一句是真的，苹果在哪个箱子里？中只有一句是真的，苹果在哪个箱子里？我们发现（我们发现（1 1）与（）与（3 3）互相矛盾，可两件矛盾的事不能都是）互相矛盾，可两件矛盾的事不能都是真的，必有一假；题设真话只有一句真的，必有一假；题设真话只有一
8、句.这样（这样（2 2）必是假话，从而）必是假话，从而苹果在黄箱子里苹果在黄箱子里.1.1.下列结论中你能肯定的是（下列结论中你能肯定的是（）A.A.今天下雨，明天必然还下雨今天下雨，明天必然还下雨B.B.三个连续整数的积一定能被三个连续整数的积一定能被6 6整除整除C.C.小明在数学竞赛中一定能获奖小明在数学竞赛中一定能获奖D.D.两张相片看起来佷像，则肯定照的是同一个人两张相片看起来佷像，则肯定照的是同一个人2.2.下列问题用到推理的是（下列问题用到推理的是（）A.A.根据根据a a=10=10，b b=10,=10,得到得到a a=b bB.B.观察得到了三角形有三个角观察得到了三角形有
9、三个角C.C.老师告诉了我们关于金字塔的许多奥秘老师告诉了我们关于金字塔的许多奥秘D.D.由经验可知过两点有且只有一条直线由经验可知过两点有且只有一条直线3.3.顺次连接等腰梯形四边中点，所得到的四边形（顺次连接等腰梯形四边中点，所得到的四边形（）A.A.平行四边形平行四边形 B.B.矩形矩形 C.C.正方形正方形 D.D.菱形菱形B BA AD D当堂检测当堂检测4.4.某超级市场失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走，三个嫌某超级市场失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走，三个嫌疑犯被察局传讯，警察局已经掌握了以下事实：疑犯被察局传讯，警察局已经掌握了以下事实：罪犯不在罪犯不在A A,B
10、B,C C三人之外；三人之外；C C作案时总得有作案时总得有A A作从犯；作从犯；B B不会开车不会开车.在此案中肯定的作案对象是（）在此案中肯定的作案对象是（）嫌疑犯嫌疑犯A A嫌疑犯嫌疑犯B B嫌疑犯嫌疑犯C C嫌疑犯嫌疑犯A A和和C C5.5.用长为用长为L L的铁丝围成如图的圆的铁丝围成如图的圆和正方形，则圆的面积与正方形和正方形，则圆的面积与正方形的面积的关系是（的面积的关系是（）A.A.圆的面积大于正方形的面积圆的面积大于正方形的面积B.B.圆的面积小于正方形的面积圆的面积小于正方形的面积C.C.圆的面积等于正方形的面积圆的面积等于正方形的面积D.D.不能确定不能确定A A D
11、D 1.1.仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步、有根仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理有据地进行推理.2.2.检验数学结论的常用方法：检验数学结论的常用方法：实验验证、举反例、推理等实验验证、举反例、推理等.小小 结结7.2 定义与命题学校：_教师：_创设情境创设情境 温故探新温故探新复习复习导入导入自读课本163页关于黑客内容，思考回答下问题：（1）生活中交流时必须对某些名称和术语有共同的认识才能进行；（2）对定义含义的解释；（3）举例说明生活中和数学学习中所熟知的定义（学生举例，看哪个小组的举例又多又好）；人与人之间的交流必须在对某些名称和术语有
12、共同认识的情况下才能进行.为此，我们需要给出它们的定义.合作交流探究新知合作交流探究新知小组合作探究：1.什么是命题？2.命题由哪几部分构成？3.命题都可以写成什么形式？4.什么是真命题？5.什么是假命题？合作交流探究新知合作交流探究新知小组合作探究：6.如何说明一个命题是假命题？7.什么是公理？8.什么是证明？8.什么是定理？10.公理和定理的区别和联系是什么？例例:范例研讨运用新知范例研讨运用新知证明证明:同角的补角相等同角的补角相等.已知：如图，直线已知：如图，直线ABAB与直线与直线CDCD相交于点相交于点O O，AOCAOC与与BODBOD是对顶角。是对顶角。求证：求证：AOC=BO
13、DAOC=BOD。例例:范例研讨运用新知范例研讨运用新知证明：证明：直线直线ABAB与直线与直线CDCD相交于点相交于点O,O,AOBAOB和和CODCOD都是平角都是平角(平角的定义平角的定义).).AOCAOC和和BODBOD都是都是AODAOD的补角的补角(补角的定义补角的定义)AOC=BOD(AOC=BOD(同角的补角相等同角的补角相等)由上面的例题，我们还可以得到定理：对顶角相等 反馈练习巩固新知反馈练习巩固新知1.下列语言是命题的是（）A画两条相等的线段 B等于同一个角的两个角相等吗？C延长线段AO到C，使OC=OA D两直线平行，内错角相等2.阅读下列语句：对顶角相等；同位角相等
14、；画AOB的平分线OC；这个角等于30吗？在这些语句中，属于真命题的是 （填写序号）D反馈练习巩固新知反馈练习巩固新知3、对错误的命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举一个反例并画出图形，说明其错误 解：如图，解：如图，为钝角，其补角为钝角，其补角小于小于课堂小结布置作业课堂小结布置作业小结：小结：本节课的重点是了解定义、命题、真假命本节课的重点是了解定义、命题、真假命题、公理、定理的含义，通过学习学会区题、公理、定理的含义，通过学习学会区分命题的条件、结论，学会判别真、假命分命题的条件、结论，学会判别真、假命题，理解反例、证明等概念题，理解反例、证明等概念课堂小结布置作业课堂小结布置作业作
15、业作业：1下列说法正确的是（）A真命题都可以作为定理 B公理不需要证明C定理不一定都要证明 D证明只能根据定义、公理证明2.课本P165习题第1、2题;P169习题第1、2题B7.3学校：_教师：_创设情境创设情境 温故探新温故探新复习复习导入导入1.什么叫做平行线?(同一平面内,两条直线不相交,就叫做平行线)2.什么叫做同位角、内错角和同旁内角?3.前面我们探索过两条直线平行的哪些判别条件?4.通过前面的学习我们知道,判断一个数学结论是否正确还需要有根有据的证明,那么,利用“同位角相等,两直线平行”这个基本事实,你能证明它们吗?我们一起来试一试.合作交流探究新知合作交流探究新知小组合作探究：
16、1.证明一.(1)公理:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简述为:内错角相等,两直线平行.(2)证明这个定理需要先把定理转化成几何语言,谁能说一说,怎么转化?(画出两条直线a、b,被第三条直线c所截,标出内错角1、2,表示如果1=2,那么ab)(3)怎么证明呢?请写出完整的证明过程.合作交流探究新知合作交流探究新知小组合作探究：已知已知:如图如图,1,1和和2 2是直线是直线a,ba,b被直线被直线c c截出的截出的内错角内错角,且且1=2.1=2.求证求证:abab.证明:1=2(已知),1=3(对顶角相等),3=2(等量代换).ab(同位角相等,两直线平行).合
17、作交流探究新知合作交流探究新知小组合作探究：2.证明二.(1)定理:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简述为:同旁内角互补,两直线平行.(2)利用证明定理一的经验自主证明定理二.(3)讨论:要由同旁内角互补证明两直线平行,要怎么证明?(4)板书证明过程.合作交流探究新知合作交流探究新知已知，已知，1 1和和2 2是直线是直线a a、b b被直线被直线c c截出的同旁内角，截出的同旁内角，且且1 1与与2 2互补，求证：互补，求证：a ab b 证明：证明：1 1与与2 2互补（已知）互补（已知）1+2=1801+2=180（互补定义）（互补定义）1=1801=18
18、02 2（等式的性质）（等式的性质）3+2=1803+2=180（平角定义）（平角定义）3=1803=1802 2（等式的性质）（等式的性质）1=31=3（等量代换）（等量代换）a ab b（同位角相等，两直线平行）（同位角相等，两直线平行）例例:范例研讨运用新知范例研讨运用新知如图如图1 1所示所示,由由DCE=D,DCE=D,可判断哪两条直线可判断哪两条直线平行平行?由由1=2,1=2,可判断哪两条直线平行可判断哪两条直线平行?证明：证明：DCE=DADBC（内错角相等，两直线平行）（内错角相等，两直线平行）1=2AB CD（内错角相等，两直线平行）（内错角相等，两直线平行）反馈练习巩固新
19、知反馈练习巩固新知1.1.同一平面内的四条直线若满足同一平面内的四条直线若满足abab，bcbc，cdcd，则下列式子成立的是（），则下列式子成立的是（）A Aadad B Bbdbd C Cadad D Dbcbc2.2.如图：如图：B=60B=60，1=1=时，时，DEBCDEBC，理由是理由是 C6060同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行反馈练习巩固新知反馈练习巩固新知3、如图，已知1+3=180，请说明ab 证明：证明：1+2=1801+2=180（平角定义）（平角定义）2=180 2=180-1 1（等式性质）（等式性质）1+3=1801+3=180（已知）（已知）3=
20、180 3=180-1 1（等式性质）（等式性质）2=2=3 3（等量代换）（等量代换）abab课堂小结布置作业课堂小结布置作业小结：小结：1.同位角相等，同位角相等，两直线平行两直线平行2.2.内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行3.3.同旁内角同旁内角互补，同旁内角同旁内角互补，两直线平行两直线平行.课堂小结布置作业课堂小结布置作业作业作业：1 1如图，下列能判定如图，下列能判定ABCDABCD的条件有（）的条件有（）个（个（1 1）B+BCD=180B+BCD=180；（；（2 2）1=21=2；（3 3）3=43=4；（；（4 4）B=5B=5A A1 1 B B2 2 C C
21、3 3 D D4 42.2.课本课本P P172172习题第习题第2 2、3 3、4 4题题C7.4 平行线的性质学校：_教师：_创设情境创设情境 温故探新温故探新复习复习导入导入1.(如图1)是在三星堆考古工作中发掘的一个残缺玉片,工作人员复原后发现其形状是梯形(如图2),并且已经量得A=115,D=100.你能不能求出另外两个角的度数？2.在上一节课中,我们证明了有关平行线的判定定理,那么对于平行线的性质,又怎么证明呢?能运用上节课积累的方法进行证明吗?今天这节课我们一起再来试一试证明它们.合作交流探究新知合作交流探究新知小组合作探究：证明:两直线平行,同位角相等.1.如何画出两条平行线(
22、说一说:平行线怎么画?)被第三条线所截？2.你能用几何语言描述这样的证明题吗？3.如果直接进行证明的话,难以找到能够作为依据的相关事实、定理,该怎么办?合作交流探究新知合作交流探究新知小组合作探究：4.如果12,那么是否存在另外一条直线,它被第三条直线所截的2的另一同位角1,有1=2呢?5.如果有,是否意味着这条直线和CD平行?6.这样看来假设不能成立,说明什么?7.根据讨论、交流,板书证明过程.合作交流探究新知合作交流探究新知小组合作探究：证明:两直线平行,内错角相等.1.你能用几何语言描述题目要求吗？2.我们已经证明了两直线平行,同位角相等,可以将这个作为基本的事实，你能尝试完成吗？3.你
23、能按照上面的思路证明两直线平行,同旁内角互补吗？4.请你对比这些平行线的性质与前面所学的平行线的判定,它们有什么不同?合作交流探究新知合作交流探究新知已知:如图,直线l1l2,1和2是直线l1,l2被直线l截出的内错角.求证:1=2.证明：l1l2 1=3又2=3 1=2例例:范例研讨运用新知范例研讨运用新知证明：两直线平行，同旁内角互补已知：如图,直线l1l2,1和4是直线l1,l2被直线l截出的内错角.求证:1+4=180.证明：l1l2 1=3又3+4=180 1+4=180反馈练习巩固新知反馈练习巩固新知1.若两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是()A相等
24、B互补 C相等或互补 D相等且互补 2.如图，B70，DEC100，EDB110，则C等于 .C8080反馈练习巩固新知反馈练习巩固新知3、已知：如图，1B，A32求：2的度数 证明：1=BABCDA+2=180 A=322=180-32=148课堂小结布置作业课堂小结布置作业小结：小结：1.两直线平行，内错角相等2.两直线平行，同位角相等3.两直线平行，同旁内角同旁内角互补课堂小结布置作业课堂小结布置作业作业作业：1两条平行线被第三条直线所截，下列说法错误的是（）A内错角的平分线互相平行B同旁内角的平分线互相垂直C内错角的平分线互相垂直D同位角的平分线互相平行2.课本P175习题第1、2、3
25、题B7.5 三角形内角和定理（第1课时）学校：_教师：_创设情境创设情境 温故探新温故探新复习复习导入导入1.你能用折纸的方法验证三角形内角和定理吗？先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（1）然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3），最后得图（4）所示的结果。创设情境创设情境 温故探新温故探新复习复习导入导入2.2.你能用自己的语言说明这一结论的你能用自己的语言说明这一结论的证明思路吗？证明思路吗？3.3.想一想，你还有其它折法吗？想一想，你还有其它折法吗？合作交流探究新知合作交流探究新知小组合作探究：1.将纸片三角形三顶角剪下，随意将它
26、们拼凑在一起，观察角度的大小是多少度？2.你能用自己的语言说明这一结论的证明思路吗？合作交流探究新知合作交流探究新知3.想一想，如果只剪下一个角，你会说明内角和定理的正确性吗？4.你能用严谨的证明来论证三角形内角和定理吗？5.看哪个同学想的方法最多？结论：三角形的内角和等于180例例1:范例研讨运用新知范例研讨运用新知在ABC中，B=38，C=62，AD是ABC的角平分线，求ADB的度数。解：在ABC中，B+C+BAC=180B=38，C=62BAC=80AD平分BAC BAD=CAD=BAC=40在ADB中，B+BAD+ADB=180 B=38，BAD=40ADB=10212针对性练习针对性
27、练习:范例研讨运用新知范例研讨运用新知如图，ADBC，1=2，C=65，求BAC 解：ADBC，ADB=90，1+2+ADB=180，而1=2，22=18090，2=45，2+C+BAC=180，BAC=1804565=70反馈练习巩固新知反馈练习巩固新知1.已知ABC中，A=20，B=C，那么三角形ABC是（）A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D正三角形2.三角形的三个内角中，只能有_个直角或_个钝角。任何一个三角形中，至少有_个锐角；至多有_个锐角。A1123反馈练习巩固新知反馈练习巩固新知3、ABC中，C=90，A=30，求B.解：在解：在ABCABC中，中，A+B+C=180A+
28、B+C=180 C=90C=90 A+B=90A+B=90 A=30A=30 B=90 B=90-30-30=60=60课堂小结布置作业课堂小结布置作业小结：小结：（1）证明三角形内角和定理有哪几种方法？（2）辅助线的作法技巧。（3）三角形内角和定理的简单应用。课堂小结布置作业课堂小结布置作业作业作业：1已知ABC中，A=20，B=C，那么三角形ABC是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D正三角形2.课本P178页习题7.6第1、2、3题A7.5 三角形内角和定理（第2课时）学校：_教师：_创设情境创设情境 温故探新温故探新复习复习导入导入 在证明三角形内角和定理时，用到了把ABC的一边
29、BC延长得到ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质。三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角。合作交流探究新知合作交流探究新知小组合作探究：1.如下图，是ABC的一个外角。你还能做出ABC其他的外角吗？2.观察上图的外角，你能总结出三角形外角有哪些特征？(1)顶点在 上(2)一条边是三角形的 (3)另一条边是三角形某条边的 合作交流探究新知合作交流探究新知3.如图，ABC中，A=70，B=60，ACD是ABC的一个外角，能由A、B求出ACD吗？如果能，ACD与A、B有什么关系？合作交流探究新知合作交流探究新知4.由上面的推导过程我们
30、可以得到两个定理(1)_(2)_推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。推论：由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论。推论可以当做定理使用。例例2:范例研讨运用新知范例研讨运用新知已知，如图，在三角形ABC中，AD平分外角EAC，B=C。求证：ADBC 证明：EAC=B+C，B=C（已知）2B=EAC（等式的性质）AD平分EAC（已知）2DAE=EAC（角平分线的定义）DAE=B（等量代换）ADBC（同位角相等，两直线平行）例例3:范例研讨运用新知范例研讨运用新知如图，P是ABC内一点，连接PB,P
31、C.求证：BPCA.证明：延长BP，交AC于点DBPC是PDC的一个外角BPCPDCPDC是ABD的一个外角PDCA BPCA 反馈练习巩固新知反馈练习巩固新知1.如图，直线ab，则A的度数是（）A28B31C39D422、如果将一副三角板按如图方式叠放，那么1=C105反馈练习巩固新知反馈练习巩固新知3、如图线段AD、BC交于点O，连接AB、CD，则求证：A+B=C+D 证明：A+B=BOD，C+D=BOD，A+B=C+D课堂小结布置作业课堂小结布置作业小结：小结：1.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和2.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角课堂小结布置作业课堂小结布置作业作业作业：1如图，ABC中，1=2，3=4，若D=36，则C的度数为（）A82B72C62D522.课本习题第1、2、3题B
