1、 1 珠海市珠海市 2020 届第二学期普通高中学生学业质量监测届第二学期普通高中学生学业质量监测 数数 学（文科）学（文科） 第第 I 卷（选择题卷（选择题) 一、单选题一、单选题（本大题共（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项 ）目要求的一项 ） 1已知集合 2 1,0,1,21ABx x ，则A B( ) A1,0,1 B1,2 C 1,1 D1,1,2 2已知复数Z在复平面上对应的点为1, 1，则( ) A1Z 是实数 B1Z 是纯虚数 CZi是实数 DZi是纯虚
2、数 3不等式 1 x x 的解集为( ) A |1x x B| 110xxx 且 C |1x x D|1x x 或10x 4某同学用如下方式估算圆周率，他向图中的正方形中随机撒豆子 100 次， 其中落入正方形的内切圆内有 68 次， 则他估算的圆周率约为( ) A3.15 B2.72 C1.47 D3.84 5函数( ) sinf xxx的零点个数为( ) A1 B2 C3 D4 6设 1111 1+ 2612(1) S n n ，则S ( ) A 21 1 n n B 21n n C 1n n D 2 1 n n 7已知点2,2P和圆 22 :420C xyxyk，过P作C的切线有两条，则
3、k的取值范围是 ( ) A05k B20k C 5k D205k 8如图，正方体 1111 ABCDABCD，点P为对角线 11 AC上的点，当点P由点 1 A向点 1 C运动过程 中，下列说法正确的是( ) ABPD的面积始终不变 BBPD始终是等腰三角形 CBPD在面 11 ABB A内的投影的面积先变小再变大 D点A到面BPD的距离一直变大 第 4 题图 第 8 题图 2 9函数 2 cos ( ) ln(2) x f x x = + 的图象可能是( ) A B C D 10 已知F是双曲线 22 :2C xy-=的一个焦点， 点P在C上， 过点P作FP的垂线与x轴交于点Q， 若FPQ为
4、等腰直角三角形，则FPQ的面积为( ) A 1 4 B 5 4 C 2 D3 11天干地支纪年法，源于中国中国自古便有十天干与十二地支十天干即甲、乙、丙、丁、戊、 己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支 纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地 支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅” 依此类推，排列到“癸 酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子” 依此 类推1911 年中国爆发推翻清朝专制帝制、建立共和政体的全国性革命
5、,这一年是辛亥年，史称“辛 亥革命”1949 新中国成立，请推算新中国成立的年份为( ) A己丑年 B己酉年 C丙寅年 D甲寅年 12设函数 22 ( ) x eef xxax.若只存在唯一非负整数 0 x，使得 0 0f x，则实数a取值范 围为( ) A 2,0 ee B 2,1 e C,0 D 2, ee e 第第 II 卷（非选择题卷（非选择题) 二、填空题二、填空题（本大题共小题，每题（本大题共小题，每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13函数 ln ( ) 1 x f x x 在1x 处的切线方程为_ 14在三棱锥PABC中，平面PA
6、B 平面ABC，ABC 是边长为 2 的正三角形，PAB是 以AB为斜边的直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_ 3 15已知正项等比数列 n a的前 n 项和为 n S， 63 9SS， 2 3a ，则 5 a_ 16等腰直角三角形ABC，2ABAC，90BACE，F分别为边AB，AC上的动点， 设AE mAB ，AF nAC ，其中,(0,1)m n，且满足 22 1mn+=，M，N分别是EF，BC 的中点，则|MN的最小值为_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都题为必考题，每个试题考生都
7、 必须作答第必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题（一）必考题 17 (本题 12 分)随机调查某城市 80 名有子女在读小学的成年人， 以研究晚上八点至十点时间段辅导 子女作业与性别的关系，得到下面的数据表： 是否辅导 性别 辅导 不辅导 合计 男 25 60 女 合计 40 80 （1）请将表中数据补充完整； （2）用样本的频率估计总体的概率，估计这个城市有子女在读小学的成人女性晚上八点至十点辅导 子女作业的概率； （3）根据以上数据，能否有 99%以上的把握认为“晚上八点至十点时间段是否辅导子女作业与性别 有关？” 参考公式： 2
8、2 n adbc K abcdacbd ，其中nabcd 参考数据： 2 0 P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 18(本题 12 分)如图所示，在ABD中，点C在线段AB 上，3AD ，1BC ，14BD ， 2 cos 3 DAB （1）求sinABD的值； （2）判断ACD是否为等腰三角形 第 18 题图 4 19(本题 12 分)如图所示，梯形ABCD中，/ /ADBC，平面 CDEF 平面ABCD，且四边形CDEF为矩形， 22BCAD， 2 3CF ， 13AB
9、， 2 6BE (1)求证：AD平面BDE ； (2)求点D到平面BEF的距离 20(本题 12 分)已知抛物线 C 的顶点为坐标原点 O，对称轴为y轴，其准线为1y (1)求抛物线 C 的方程； (2)设直线: l y kxn，对任意的kR抛物线 C 上都存在四个点到直线 l 的距离为4，求n的取值 范围 21(本题 12 分)设函数( )(1) x f xea x （1）求函数 ( )f x的单调区间和极值； （2）若存在,m nR满足 mn ee a mn ，证明 2 lnmna成立 （二）选考题（二）选考题 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
10、计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22(本题 10 分)在平面直角坐标内，直线l过点2,3P，且倾斜角 6 = 以坐标原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 C 的极坐标方程为=4sin (1)求圆C的直角坐标方程； (2)设直线l与圆C交于A B，两点，求PA PB的值 23(本题 10 分)已知函数( )1f xx （1）解不等式( )(1)4f xf x； （2）当 0x ，xR时，证明： 1 ()( )2fxf x . 第 19 题图 5 数学数学（文科文科）参考答案）参考答案 第 I 卷（选择题) 一、单选题（本大题共（本大题共 12 小题
11、，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项 ）目要求的一项 ） 1已知集合 2 1,0,1,21ABx x ，则A B（ ） A1,0,1 B1,2 C 1,1 D1,1,2 【答案】D 由11Bx xx或，所以AB1,1,2 2已知复数Z在复平面上对应的点为1, 1，则( ) A1Z 是实数 B1Z 是纯虚数 CZi是实数 DZi是纯虚数 【答案】由题意可知 z1i, 所以 zi 是实数，故选 C. 3不等式 1 x x 的解集为（ ） A| 1x x B| 110xxx 且 C |1x x D
12、|1x x 或10x 【答案】D 不等式 1 x x 2 2 11 00100 x xx xx xx 且得解集 |1x x 或10x 4某同学用如下方式估算圆周率，他向图中的正方形中随机撒豆子 100 次，其中落入正方形的内切圆内有 68 次，则他估算的圆周率约为 （ ） A3.15 B2.72 C1.47 D3.84 【答案】B 根据几何概型 2 2 68 44100 Sr Sr 圆 正 得2.72 5函数 ( )sinf xxx 的零点个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】 A由( )sinf xxx的零点转化为方程sinxx 的根，由y x 与sinyx的图象只有一个交点，可得
13、( )sinf xxx 只有一个零点 6设 1111 1+ 2612(1) S n n ，则S （ ） A 21 1 n n B 21n n C 1n n D 2 1 n n 【答案】A 由 1111 1+ 2612(1) S n n 得 1111 1+ 1 22 33 4(1) S n n 1111111121 1 1+2 22334111 n S nnnn - 7已知点2,2P和圆 22 :420C xyxyk，过P作C的切线有两条，则k的取值范围是 ( ) A05k B20k C5k D205k 6 【答案】D 由 22 :420C xyxyk得 22 :+2+15Cxyk，则50k得5
14、k ， 要使过P作C的切线有两条，则点P在圆外，从而5PCk 得20k ，所以205k. 8如图，正方体 1111 ABCDABC D，点P为对角线 11 AC上的点，当点P由点 1 A向点 1 C运动过程 中，下列说法正确的是（ ） ABPD的面积始终不变 BBPD始终是等腰三角形 CBPD在面 11 ABB A内的投影的面积先变小再变大 D点A到面BPD的距离一直变大 【答案】B BPD的面积始终不变先变小再变大，不对；由于 =BP DP，BPD始终是等腰三角形所以正确；BPD在面 11 ABB A内投影的面积不变，所以不对；点A到面BPD的距离 先变大再变小，所以不对。 9函数 2 co
15、s ( ) ln(2) x f x x = + 的图象可能是（ ） A B C D 【答案】C 函数 2 cos ( ) ln(2) x f x x = + 为偶函数且0 2 f ，排除、，而 1 01,2 ln2 f， 所以选 10已知F是双曲线 22 :2C xy-=的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，过点P作FP的垂 线与x轴交于点Q，若 FPQ 为等腰直角三角形，则 FPQ 的面积为（ ） A 1 4 B 5 4 C 2 D3 【答案】A 取点F为左焦点，P在第一象限，如图 可设,2P xx，代入双曲线得 () 2 2 :22C xx-=解得： 3 2 x =，得 3 1 , 2 2
16、 P 111 1 224 FPQ S 11天干地支纪年法，源于中国中国自古便有十天干与十二地支十天干即甲、乙、丙、丁、戊、 己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支 纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地 支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅” 依此类推，排列到“癸 酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子” 依此 7 类推1911 年中国爆发推翻清朝专制帝制、建立共和政体的全国性革命,这一年是辛亥年，史称“辛 亥革命”
17、1949 新中国成立，请推算新中国成立的年份为（ ） A己丑年 B己酉年 C丙寅年 D甲寅年 【答案】 根据题意可得， 天干是以 10 为公差的等差数列， 地支是以 12 为公差的等差数列， 从 1911 年到 1949 年经过 38 年， 且 1911 年为“辛亥”年， 以 1911 年的天干和地支分别为首项， 则38=3 10+8， 则 1949 年的天干为己，38=12 3+2，则 1949 年的地支为丑，所以 1949 年为己丑年. 12设函数 22 ( ) x eef xxax.若只存在唯一非负整数 0 x，使得 0 0f x，则实数a取值范 围为( ) A 2,0 ee B 2,1
18、 e C,0 D 2, ee e 【答案】A 令 22 ( ) x gxeex ，( )h xax，则( )( )( )f xg xh x， 22 ( ) x gxeex ，令( )=0g x，解得=0 x或=2x， 2x ，时有 ( )0g x 02x，时有 ( )0g x 0x，时有 ( )0g x ， 可以描绘出 22 ( ) x gxeex 的草图 ( )h xax 为过点0,0的直线 如图可知：当0a 不成立 当0a时， 0 1x ， 所以(1)0f，得 2 aee 所 2,0 xee 第 II 卷（非选择题) 二、填空题（本大题共小题，每题（本大题共小题，每题 5 分，满分分，满分
19、 20 分，将答案分，将答案 填在答题纸上）填在答题纸上） 13函数 ln ( ) 1 x f x x 在1x 处的切线方程为_ 【答案】210xy （方程其它形式均可得分）求导得 2 1 (1)ln 1 xx x y x ，得 1 1 | 2 x ky ，切点为1,0所以 1 (1) 2 yx 14在三棱锥PABC中，平面PAB 平面ABC，ABC 是边长 为 2 的正三角形， PAB 是以AB为斜边的直角三角形， 则该三棱锥 外接球的表面积为_ 【答案】16 3 由题意可知ABC的中心O就是圆心，可知算得 2 3 3 ROC，所以可得外接球的表面积为 16 3 15已知正项等比数列 n a
20、的前 n 项和为 n S， 63 9SS， 2 3a ，则 5 a_ 【答案】24 n a为等比数列， 63 9SS， 123456123 9()aaaaaaaaa， 456123 8(+)aaaaaa， 3 8q ，此时 3 52 3 824aa q ， 8 16等腰直角三角形ABC，2ABAC，90BACE，F分别为边AB，AC上的动点， 设AE mAB ，AF nAC ，其中(),0,1m n，且满足 22 1mn+=，M，N分别是EF，BC的中点，则| |MN的 最小值为_ 【答案】 21 本题如图建坐标系，0,2Em，2 ,0Fn， 得,M n m，又 22 1mn+=，可知点M在单
21、位圆上，所以 最小|MN的最小值为|21ANAM 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、 、 23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题（一）必考题 17(本题 12 分)随机调查某城市 80 名有子女在读小学的成年 人，以研究晚上八点至十点时间段辅导孩子作业与性别的关系，得到下面的数据表： 是否辅导 性别 辅导 不辅导 合计 男 25 60 女 合计 40 80 （1）请将表中数据补充完整； （2）用样本的频率
22、估计总体的概率，估计在这个城市所有成人女性晚上八点至十点辅导孩子作业的 概率； （3）根据以上数据，能否有 99%以上的把握认为“晚上八点至十点时间段是否辅导孩子作业与性别 有关？” 参考公式： 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中nabcd . 参考数据： 2 0 P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 解解（1） 辅导 不辅导 合计 男 25 35 60 女 15 5 20 合计 40 40 80 -4 分(答任意对个得 2 分) （2）在样本中有 20 位女士
23、，其中有 15 位辅导孩子作业，其频率为 15 0.75 20 P 所以估计成人女士晚上八点至十点辅导孩子作业的概率为0.75；-7 分 （3） 2 2 80 25 5 15 35 6.67 6.635 40 40 20 60 K -11 分 可知有 99%的把握认为“晚上八点至十点时间是否段辅导孩子作业与性别有关” -12 分 9 18(本题 12 分)如图所示，在ABD中，点C在线段AB上，3AD ， 1BC ，14BD ， 2 cos 3 DAB. （1）求sinABD的值； （2）判断ACD是否为等腰三角形 解： （1）因为 2 cos 3 DAB， 所以 25 sin1 33 DAB
24、 -2 分 在ABD中，由正弦定理得： sinsin ADBD ABDBAD ，即： 314 sin5 3 ABD 解得 70 sin 14 ABD-5 分 （2）在ABD中因为BDAD，所以 2 ABD 所以 3 14 cos 14 ABD -7 分 222 2cosCDBDBCBD BCCBD 3 14 14 12 14 14 9-11 分 得3BC ，-11 分 所以梯形ABCD是为等腰梯形-12 分 19 如图所示，梯形ABCD中，/ADBC，平面DCFE 平面ABCD，且四边形CDEF为矩形， 22BCAD，2 3CF ，13AB ，2 6BE (1)求证：AD 平面BDE ； (2
25、)求点D到平面BEF的距离 解： （1）EDCD 又平面EDCF 平面ABCD，且平面EDCF平面 ABCD CD，ED面EDCF ED面ABCD-2 分 又平面ADBD，平面ABCD， EDBD，ADED-3 分 在Rt BDE， 2 3ED ， 2 6BE 2 3BD 在ABD中， 2 3BD ，1AD ， 13AB 222 ABADBD ADBD-5 分 又EDBDD，EDBD，面BDE AD 面BDE-6 分 (2)由(1)可知BCD为Rt，且2 3BD，2BC 4CD 第 18 题图 第 19 题图 10 作BHCD于H，则3BH 由已知平面EDCF 平面ABCD，且平面EDCF平面
26、ABCD CD，BHABCD面 BHCDEF 面 1 4 3 BDEFDEF VSBH -8 分 在BEF中， 22 4BFBCCF，4EFCD，2 6BE 2 2 1 2 6462 15 2 BEF S-10 分 设点D到平面BEF的距离为h，则 1 2 BEFB DEF ShV ，解得： 2 15 5 h 所以点D到平面BEF的距离为 2 15 5 -12 分 20已知抛物线 C 的顶点为坐标原点 O，对称轴为y轴，其准线为 1y . (1)求抛物线 C 的方程； (2)设直线: l y kxn ，对任意的kR，抛物线 C 上都存在四个点到直线 l 的距离为4，求n的取 值范围 解：(1)
27、由题意可设： 2 2xpy，则1 2 p 得2p ，所以 2 4xy-2 分 (2)设与直线l平行的直线 :m ykxb ， 要满足题设条件“对任意的kR抛物线 C 上都有四个点到 直线 l 的距离为4”，则有当m与抛物线C相切时，kR 点0,n到:m ykxb距离大于 4 恒 成立， 2 4 ykxb xy 得： 2 440xkxb -5 分 2 4440kb 得 2 0kb 点0,n到 :m ykxb 距离 2 1 nb k 所以kR 不等式 2 4 1 nb k 恒成立， 代入 2 bk 得 整理得： 422 (216)160knkn-9 分 0 得 22 (216)4160nn ，求得
28、5n-10 分 2 216 0 2 160 n n 得8n -11 分 所以5n-12 分 21设函数( )(1) x f xea x. （1）求函数 ( )f x的单调区间和极值； 11 （2）若存在,m nR满足 mn ee a mn ，证明 2 lnmna成立. 解：解： （1）由( )(1) x f xea x得( ) x fxea 当0a时，( )0fx 从而得( )f x在R上单调递增没有极值；-1 分 当0a 时，( )0fx 得lnxa； ( )0fx 得lnxa； ( )0fx 得lnxa； ( )f x在ln , a 上单调递增，( )f x在,lna 上单调递减， 此时有
29、极小值ln2lnfaaa-4 分 （2）由 mn ee a mn 得： mn eamean，从而得 f mf n 由(1)知当0a时，( )0fx 从而得( )f x在R上单调递增，所以此时不成立-5 分 可知此时0a ，由于 f x的极小值点为lnxa，可设lnman 设 2ln ( )( )(2ln)(1)(2ln1) a xx F xf xfaxea xeaax 2l n 22l n a xx eeaxaa 2 22l n x x a ea xaa e -7 分 22 ( )2220 xx xx aa F xeaea ee ，仅当lnxa时取得“” 所以 ( )F x在 ln , a 为
30、单调递增函数且 (ln )0Fa -9 分 当lnma，时有( )( )(2ln)0F mf mfam，即( )(2ln)f mfam 又由 f mf n ，所以( )(2ln)f nfam-11 分 又由(1)知 ( )f x在,lna 上单调递减，且2ln,lnama ，,lnna 所以2lnnam从而得证 2 lnmna成立。-12 分 （二）选考题（二）选考题 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22在平面直角坐标内，直线l过点2,3P，且倾斜角 6 = 以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负
31、半 轴为极轴建立极坐标系，已知圆 C 的极坐标方程为=4sin (1)求圆C的直角坐标方程； (2)设直线l与圆C交于A B，两点，求PA PB的值 解： （1）由 =4sin得 2=4 sin ，2 分 从而有 22 4xyy即： 2 2 24xy4 分 12 （2）由题意设直线l的参数方程为 3cos 6 2sin 6 xt yt 即： 3 2 2 1 2 2 xt yt 5 分 代入圆的方程得 2 2 31 34 22 tt 7 分 整理得： 2 3 350tt 12 3 3tt ， 1 2 5t t 由 12 0tt且 1 2 0t t 9 分 可知 1212 3 3PAPBtttt 10 分 23已知函数( )1f xx. （1）解不等式( )(1)4f xf x； （2）当0x ，xR时，证明： 1 ()( )2fxf x . 解： （1）由( )(1)4f xf x得14xx 当1x 时，得214x 即： 5 2 x ；2 分 当01x时，得14即： 3 2 x ；4 分 （2）由 1 ()( )fxf x 1 11x x 5 分 由绝对值不等式得 11 11xx xx 7 分 又因为 1 , x x 同号，所以 11 xx xx 8 分 由基本不等式得： 1 2x x 9 分 所以 1 ()( )2fxf x 10 分
