1、考点55 不等式选讲一、选择题1.（2013安徽高考理科4）“a0”“是函数在区间内单调递增”的 （ ）A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解题指南】 画出函数的简图，数形结合判断。【解析】选C.由函数在区间内单调递增可得其图象如图所示，,由图象可知选项C正确。二、填空题2. （2013陕西高考理科15）已知a, b, m, n均为正数, 且ab1, mn2, 则(ambn)(bman)的最小值为 . 【解题指南】利用柯西不等式求解.【解析】,且仅当时取最小值 2.【答案】 2.3. （2013陕西高考文科15）设a, bR, |ab|2, 则关
2、于实数x的不等式的解集是 .【解题指南】利用绝对值不等式的基本知识表示数轴上某点到a，b的距离之和即可得解.【解析】函数的值域为： .所以，不等式的解集为R。【答案】 R. 4.（2013江西高考理科15）在实数范围内，不等式的解集为_.【解题指南】根据绝对值的意义去绝对值符号求解.【解析】由绝对值的意义，等价于，即，即.【答案】.5. （2013重庆高考理科16）若关于实数的不等式无解，则实数的取值范围是 【解题指南】 利用绝对值不等式的性质进行求解.【解析】不等式无解，即因为,所以【答案】 .6. （2013湖北高考理科13）设x，y，zR，且满足：x2+y2+z2=1,x+2y+3z=,
3、则x+y+z= 【解题指南】根据柯西不等式等号成立的条件，求出相应的x，y，z的值。【解析】由柯西不等式可知：（x+2y+3z）2（x2+y2+z2）（12+22+32），当且仅当时取等号，此时y=2x，z=3x，x+2y+3z=14x=，所以，x+y+z=【答案】 .7. （2013湖南高考理科10）已知a,b,cR,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为.【解题指南】本题是利用柯西不等式求最值 【解析】因为，所以【答案】 12.三、解答题8.（2013辽宁高考文科24）与（2013辽宁高考理科24）相同已知函数当时，求不等式的解集；已知关于的不等式的解集为，求的值。【解题指南
4、】利用绝对值的意义，去掉绝对值号，转化为整式不等式问题，是常用的化归方法.【解析】当时，当时，由；当时，由，不成立；当时，由；综上，所以，当时，不等式的解集为记则由得，即由已知不等式的解集为亦即的解集为所以解得24. 9.（2013新课标高考文科24）与（2013新课标高考理科24）相同已知函数,（）当时，求不等式的解集；（）设,且当)时，,求的取值范围.【解析】当时，不等式化为.设函数，则其图象如图所示，从图象可知，当且仅当时，.所以原不等式的解集是.（）当时，.不等式化为.所以对都成立，故，即.从而的取值范围为10. （2013湖南高考理科20）在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、
5、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明).(2)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小.【解题指南】(1)本题必须根据题目中图的提示弄清“L路径”是由直线段构成,所以只能用绝对值来表示.(2)先写
6、出点P到三个居民区的“L路径”,则点P到三个居民区的“L路径”长度值和的最小值为三个“L路径”的最小值之和,再利用绝对值知识去处理. 【解析】设点P的坐标为(x,y),(1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,xR,y0,+).(2)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值.当y1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|,因为d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|x+10|+|x-14|,(*)当且仅当x=3时,不等式(*)中的等号成立,又因为|
7、x+10|+|x-14|24.(*)当且仅当x-10,14时,不等式(*)中的等号成立.所以d1(x)24,当且仅当x=3时,等号成立,d2(y)=2y+|y-20|21,当且仅当y=1时,等号成立.故点P的坐标为(3,1)时,P到三个居民区的“L路径”长度之和最小,且最小值为45.当0y1时,由于“L路径”不能进入保护区,所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|.此时,d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y21.由知,d1(x)24,故d1(x)+d2(y)45,当且仅当x=3
8、,y=1时等号成立.综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小.11.（2013安徽高考理科20）设函数，证明：（1）对每个，存在唯一的，满足；（2）对任意，由（1）中构成的数列满足。【解题指南】 （1）利用导数证明在内单调递增，证明在内有零点；（2）利用（1）得的递减函数，联立与得的关系式，适当放缩证明。【解析】（1）对每个，当x0时，内单调递增，由于，当，又=，所以存在唯一的满足。（2） 当x0时，故由内单调递增知，为单调递减数列，从而对任意，对任意，由于 式减去式并移项，利用得，因此，对任意，都有。12.（2013福建高考理科21）设不等式的解集为A,且（）求的值 （）求函数的最小值【解析】（）因为，且，所以，且解得，又因为，所以（）因为当且仅当(x+1)(x-2)0即-1x2时取到等号,所以f(x)的最小值为3.13. （2013新课标全国高考文科24）与（2013新课标全国高考理科24）相同设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（1）（2）【解题指南】(1)将两边平方，化简整理，借助不等式的性质，即得结论.(2) 证，也即证可分别证然后相加即得.【解析】（1）由得由题设得即所以，即当且仅当“ ”时等号成立。（2）因为当且仅当“”时等号成立.故，即所以.
