1、相似三角形应用举例 教学设计一、教学目标1.进一步巩固相似三角形的知识2.能够运用三角形相似的知识解决一些实际问题二、教学重点及难点重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量的物体的高度（或长度）难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）三、教学用具电脑、多媒体、课件、直尺四、相关资源五、教学过程（一）复习导入E1回顾相似三角形的判定方法：（1）相似三角形的定义；（2）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似定理；（3）判定定理一（4）判定定理二（5）判定定理三（6）判定定理四2相似三角形有哪些性质？（1）对应角相等，对应边成比例；（2
2、）对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；（3）周长的比等于相似比；（4）面积的比等于相似比的平方设计意图：通过复习相似三角形的判定方法和性质，及时清除学生学习中障碍，为本节课的学习提供扎实的知识储备（二）探究新知1测量金字塔高度问题胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”塔的4个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230米据考证，为建成该金字塔，共动用了10万人花了20年时间原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道
3、，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时的条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的你知道泰勒斯是怎样测量该金字塔的高度的吗？【例1】据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度如图，木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO思考：如何测出OA的长？学生小组讨论；师生共同交流，画出示意图：通过观察示意图，使学生建立起相似图形的几何直觉，并能明确表述求OA的方法中蕴含的数学知识（金字塔的影子可以看成一个等腰三角形，则OA等于这个等腰三角形的底边上的高与金字塔
4、边长的一半的和）分析：把太阳光的光线近似看成平行光线，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度解：太阳光是平行光线，因此BAOEDF，又AOBDFE90，ABODEF（m）因此金字塔的高度为134 m还可以用其他方法测量吗？学生尝试用平面镜进行测量如图，由ABOAEF，得从而可求得2测量河宽问题估算河的宽度，你有什么好办法吗？【例2】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定P
5、T与过点Q且垂直PS的直线b的交点R已测得QS=45 m，ST=90 m，QR=60 m，请根据这些数据，计算河宽PQ学生先小组讨论；教师在这一活动中重点关注学生们探究的主动性，特别应关注那些平时学习有一定困难的学生通过例2进一步完善学生们的想法，让学生体会用数学知识解决实际问题的成就感和快乐解：PQRPST90，PP，PQRPST，即，PQ90=(PQ45)60解得PQ=90（m）因此，河宽大约为90 m3盲区问题【例3】如图，左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8 m和CD12 m，两树底部的距离BD=5 m，一个人估计自己眼睛距地面1.6 m她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进
6、，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了？分析：如图（1），设观察者眼睛的位置为点F，画出观察者的水平视线FG，分别交AB，CD于点H，K视线FA与FG的夹角AFH是观察点A时的仰角类似地，CFK是观察点C时的仰角由于树的遮挡，区域和都是观察者看不到的区域（盲区）解：如图（2），假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点E与两棵树的顶端点A，C恰在一条直线上ABl，CDl，ABCDAEHCEK，即解得EH=8（m）由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于8 m时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端C师生共同总结：利用三角形相似，可以解决一些不能
7、直接测量的物体的长度或高度问题方法可以有：立标杆、目测、利用太阳光下的影子、利用镜子设计意图：学生经历观察、测量、画图、数学建模等活动，获得了解决不能直接测量物体的高度（或长度）的实际问题的思路和一般步骤，培养学生在实际问题中建立数学模型的能力，从而提高学生理论联系实际解决问题的能力（三）课堂练习1如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件：（1）APB=EPC；（2）APE=90；（3）P是BC的中点；（4）BPBC=23其中能推出ABPECP的有（ ）A4个 B3个 C2个 D1个设计意图：考查三角形相似的判定条件2如图，在ABC中，DEBC，DE分别与AB，AC
8、相交于点D，E若AD=4，DB=2，则DEBC的值为（ ）A B C D设计意图：考查学生利用相似三角形的判定和性质进行推理计算的能力3如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，ABCD，AB=2 m，CD=5 m，点P到CD的距离是3 m，则点P到AB的距离是（ ）A m B m C m D m4如图，测得BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m，求河宽AB设计意图：考查利用相似三角形的知识测量河宽6如图所示，大江的一侧有甲，乙两个工厂，它们有垂直于江边的小路，长度分别为m千米及n千米，设两条小路相距l千米现在要在江边建立一个抽水站，把水送到甲，乙两厂去，欲使供水管路
9、最短，抽水站应建在哪里？设计意图：考查学生利用相似三角形的知识解决线路最短问题答案：1B解析：（1）中因为B=C，APB=EPC，所以ABPECP（2）若APE=90，则APB+EPC=90由题意可得BAP=EPC，B=C=90所以ABPECP（4）中因为BPBC=23，所以BP=BC，PC=BC所以=2，且B=C=90所以ABPECP故选B2A解析：因ADEABC，故3C4解：ABCE，ABDECDAB=100（m）答：河宽AB为100 m5解：如图所示，AD垂直于江边于D，BE垂直于江边于E，则AD=m千米，BE=n千米，DE=l千米延长BE至F，使EF=BE连接AF交DE于点C，则在C点
10、建抽水站，到甲，乙两厂的供水管路AC+CB为最短设CD=x千米，因为RtADCRtFEC，所以，即，解得x=（千米）六、课堂小结1相似三角形的应用主要有两个方面：（1）测高（不能直接使用皮尺或刻度尺测量的）测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决（2）测距（不能直接测量的两点间的距离）测量不能到达的两点间的距离，常构造相似三角形求解2利用相似三角形解决实际问题的一般步骤：（1）审题；（2）构建图形；（3）利用相似解决问题设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，理解解决不能直接测量物体的高度（或长度）的实际问题的思路和一般步骤七、板书设计 27.2.3相似三角形应用举例1.测量不能达到顶部的物体高度2.测量不能直接测量的两点间的距离
