1、1问题问题：用虚功方程可解几个代数未知量？：用虚功方程可解几个代数未知量？0FW看例子看例子平面平衡自由刚体平面平衡自由刚体几个自由度？几个自由度？给刚体虚位移：给刚体虚位移：xy对应平动对应平动对应转动对应转动0)(FmyYxXWCF0)(,0,0FmYXCxyCyxO用虚功方程解决过若干问题，用虚功方程解决过若干问题，即，一个变分方程可对即，一个变分方程可对应几个独立的代数方程：应几个独立的代数方程：独立代数方程数独立代数方程数 广广义坐标数义坐标数xy广义坐标的变分广义坐标的变分)(,FmYXC虚功表达式中广义坐标的虚功表达式中广义坐标的变分的系数，称为变分的系数，称为广义力广义力Qi可
2、见，虚功方程等价于可见，虚功方程等价于 Qi=0 (i=1,2,.,k)2在以下（拉格朗日方程）的讲解中，会用到广义力的概念，故下面首在以下（拉格朗日方程）的讲解中，会用到广义力的概念，故下面首先介绍广义力。先介绍广义力。注注2：对应每一个广义坐标，有一个广义力；对应每一个广义坐标，有一个广义力；广义力是代数量而非矢量；广义力是代数量而非矢量；广义力不作用在某个物体上，故也无法画出。广义力不作用在某个物体上，故也无法画出。注注1：对单个自由刚体，该组方程等同于平衡方程；对非自由质点系，对单个自由刚体，该组方程等同于平衡方程；对非自由质点系，该组方程不同于平衡方程（见后面例该组方程不同于平衡方程
3、（见后面例1）。）。3第第18 18章章 动力学普遍方程动力学普遍方程 拉格朗日方程拉格朗日方程一、广义力的概念质点系任一质点坐标可用广义坐标质点系任一质点坐标可用广义坐标 qh(h=1,2,k)表示：表示：niqqqrrkii,2,1 ),(21求变分，得用广义坐标求变分，得用广义坐标变分表示的虚位移：变分表示的虚位移：niqqrrkhhhii,2,1 1该质点上的力所作虚功：该质点上的力所作虚功：niqqrFqqrFrFWkhhhiikhhhiiiii,2,1 )(11整个质点系上所有（主整个质点系上所有（主动）力所作虚功：动）力所作虚功：khhhkhnihhiinikhhhiiniiFq
4、QqqrFqqrFWW111111)()(khqrFQnihiih,2,1 1对应第对应第 h个广义坐个广义坐标的标的广义广义力力4二、广义力的求法1.解析法解析法由各力及其作用点求由各力及其作用点求khqrFQnihiih,2,1 1用直角坐标表示：用直角坐标表示：khqzZqyYqxXQnihiihiihiih,2,1 )(12.几何法几何法由虚功求由虚功求khhhFqQW1质点系虚功：质点系虚功：若只给定第若只给定第h个广义坐标的虚位移，其余广义坐标的虚位移为个广义坐标的虚位移，其余广义坐标的虚位移为0，则，则hhFqQWhFhqWQ5例例1（书上例（书上例17-10）解1：（解析法）建
5、立坐标系如图。选：（解析法）建立坐标系如图。选 1、2为广义坐标。为广义坐标。各力在坐标轴上的投影为各力在坐标轴上的投影为各力作用点坐标为各力作用点坐标为代入广义力公式代入广义力公式（过程略，你可以再详细些），（过程略，你可以再详细些），得得PYWXWX32211,2211322112111sinsin,cos2cos,cos2llyllxlx222231222211211311111)sin2cos(sin)2(coslWPzZyYxXQlWWPzZyYxXQiiiiiiiiiiiiii1W2WP1C2C计算双摆的广义力计算双摆的广义力，已知摆长各为，已知摆长各为l1、l2，重量各为重量各为
6、W1、W2，力，力P。（。（2自由度）自由度）6解2：（几何法）：（几何法）选选 1、2为广义坐标，对应虚位移为为广义坐标，对应虚位移为1、2。先令先令10、20，如图（，如图（a）。所）。所有力在此虚位移上的虚功为有力在此虚位移上的虚功为所以，对应所以，对应 1的广义力为的广义力为11121113122111122211sin)2(coscossinsin2)(lWWPrPrWlWrPrWWmWOF1121111sin)2(coslWWPWQF1W2WP1C2C1rAr2r3r)(a7 再令再令20、10，如图，如图(b)。所以，对应所以，对应 2的广义力为的广义力为222222222222
7、222)sin2cos(cossin2)()(lWPPllWPmWmWAAF222222)sin2cos(lWPWQF1W2WP1C2C2r3r)(b拉格朗日是分析力学的创始人。拉格朗日是分析力学的创始人。回到动力学问题上来。回到动力学问题上来。达朗贝尔原理达朗贝尔原理虚位移原理虚位移原理动力学普遍方程动力学普遍方程拉格朗日方程拉格朗日方程分析力学的基础分析力学的基础所有力在此虚位移上的虚功为：所有力在此虚位移上的虚功为：8动力学普遍方程的思想是：动力学普遍方程的思想是：对对n个质点的质点系：个质点的质点系：动力学问题动力学问题形式上的平衡问题形式上的平衡问题动力学普遍方程动力学普遍方程nii
8、iNF10)(niIiiiFNF10)(niiIiiirFNF10)(达朗贝尔原理达朗贝尔原理虚位移原理虚位移原理理想约束：理想约束：niiirN10(1)niiIiirFF10)(niiiiramF10)(niiiiiiiiiizzmZyymYxxmX10)()()(2)或或0IFFWW(3)或或注注：上式中上式中 不一定指质点，而一般可理解为力或力偶个数；不一定指质点，而一般可理解为力或力偶个数；当质点系静止时（静平衡），当质点系静止时（静平衡），退化为虚功方程：，退化为虚功方程：0IFW0FW即，对动力学问题，给系统加上惯性力，再应用虚位移原理即可解题。即，对动力学问题，给系统加上惯性力
9、，再应用虚位移原理即可解题。9例例2（补充，由例（补充，由例12-1改，求反力）改，求反力）图示系统。均质滚子图示系统。均质滚子A、滑轮、滑轮B重量和半径重量和半径均为均为Q和和r，滚子纯滚动，三角块固定不动，滚子纯滚动，三角块固定不动，倾角为倾角为，重量为，重量为G，重物重量，重物重量P。试用动试用动力学普遍方程求地面给三角块的水平反力力学普遍方程求地面给三角块的水平反力。分析：此题已经由此题已经由动量定理动量定理、质心运动质心运动定理定理和和达朗贝尔原理达朗贝尔原理分别求解过。分别求解过。1.欲用动力学普遍方程求解三角块水平反力，需欲用动力学普遍方程求解三角块水平反力，需解除其水平约束解除
10、其水平约束，研究研究整体整体，给各运动物体，给各运动物体加惯性力加惯性力和和惯性力偶惯性力偶，但有关，但有关加速度和角加速度加速度和角加速度未知未知；2.欲求加速度和角加速度，欲求加速度和角加速度，研究整体（不去约束）研究整体（不去约束），加惯性力加惯性力和和惯性力偶，惯性力偶，给系统虚位移给系统虚位移，应用动力学普遍方程可求。，应用动力学普遍方程可求。解题步骤：解题步骤：(一一)研究研究整体整体（若求反力，需先去其约束，画上约束力）；（若求反力，需先去其约束，画上约束力）；(二二)画主动力，并加惯性力（偶），画运动图；给系统虚位移；画主动力，并加惯性力（偶），画运动图；给系统虚位移；(三三)
11、列解方程。列解方程。PQQ COABG10解：I.求加速度和角加速度。求加速度和角加速度。研究整体（研究整体（不去约束，因后面要用不去约束，因后面要用虚位移原理虚位移原理），加惯性力和惯性力偶，），加惯性力和惯性力偶，如图。其中惯性力和惯性力偶：如图。其中惯性力和惯性力偶：PQQaaC COABGIOMIPFICMICF 给系统虚位移，如图。其中虚位移的关系：给系统虚位移，如图。其中虚位移的关系：CIPagPagPF221rgQMIOCICagQF221rgQMIC且且raC(1)CrrrrrC(2)0IFFWW 列动力学普遍方程：列动力学普遍方程：将将(1)、(2)式代入方程式代入方程(3)
12、，解得：，解得：gQPPQaC2sin从而从而rgQPPQraC2sin(3)0)sin()(ICCICIOIPMrFQMrFP11作业：选做作业：选做18-5（试用动力学普遍方程求。注意为（试用动力学普遍方程求。注意为2自由度问题）自由度问题）II.求地面水平反力。求地面水平反力。研究整体，解除地面的水平约束，研究整体，解除地面的水平约束，代之以水平反力代之以水平反力X；加惯性力和惯性；加惯性力和惯性力偶，如图。力偶，如图。PQQaaC COABGIOMIPFICFXICMrrrr 给系统虚位移，如图。给系统虚位移，如图。0IFFWW 列动力学普遍方程：列动力学普遍方程：将将(1)式代入上式
13、，解得：式代入上式，解得：0rFrXICcos2)sin(QPPQQX注注：由于使用动力学普遍方程较麻烦，通常不用其直接求：由于使用动力学普遍方程较麻烦，通常不用其直接求解动力学问题。其意义在于导出拉格朗日方程。解动力学问题。其意义在于导出拉格朗日方程。12拉氏方程由动力学普遍方程导出，它秉承了动力学普遍方程不需考虑约拉氏方程由动力学普遍方程导出，它秉承了动力学普遍方程不需考虑约束力的优点。因而，对受完整约束的多自由度多刚体系统，比其它动力束力的优点。因而，对受完整约束的多自由度多刚体系统，比其它动力学方法简单（特别是保守系统，毋需求广义力）。学方法简单（特别是保守系统，毋需求广义力）。简称简
14、称拉氏方程拉氏方程。拉格朗日推导出两种形式的拉氏方程，即。拉格朗日推导出两种形式的拉氏方程，即第一类拉格朗日第一类拉格朗日方程方程和和第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程。第一类方程使用直角坐标及约束方程（用待第一类方程使用直角坐标及约束方程（用待定乘子法），因而方程组中的方程很多定乘子法），因而方程组中的方程很多；第二类方程使用广义坐标、广义第二类方程使用广义坐标、广义力及动能的概念，使方程组中的方程数大大减少（为广义坐标数或自由度力及动能的概念，使方程组中的方程数大大减少（为广义坐标数或自由度数）。数）。一般（此处亦如此）的一般（此处亦如此）的拉格朗日方程拉格朗日方程均指第二类方程均指第二
15、类方程。一、拉格朗日方程二、保守系统中的拉格朗日方程其中其中L=T V 称为称为拉格朗日函数拉格朗日函数或或动势动势。khQqTqTthhh,2,1dd(1)khqLqLthh,2,10dd(2)注注1：拉格朗日方程提供了：拉格朗日方程提供了k个（系统自由度数）（广义坐标的）微分方程。个（系统自由度数）（广义坐标的）微分方程。注注2：通常用拉格朗日方程建立系统的动力学方程（特别是振动系统的振动微分：通常用拉格朗日方程建立系统的动力学方程（特别是振动系统的振动微分方程），或求加速度，而不用其求速度。方程），或求加速度，而不用其求速度。13解题步骤：解题步骤：(一一)研究研究整体整体（一般不去约束
16、）（一般不去约束），选广义坐标，选广义坐标；(二二)画主动力，并分析速度；求拉格朗日函数或广义力；画主动力，并分析速度；求拉格朗日函数或广义力；(三三)列解方程。列解方程。例例3（补充，例（补充，例12-1）图示系统。均质滚子图示系统。均质滚子A、滑轮、滑轮B重量和半重量和半径均为径均为Q和和r，滚子纯滚动，三角块固定，滚子纯滚动，三角块固定不动，倾角为不动，倾角为，重物重量，重物重量P。试用拉格试用拉格朗日方程求滚子质心加速度朗日方程求滚子质心加速度。系统为系统为1个自由度保守系统，故用个自由度保守系统，故用保守系统拉格朗日方程求解：保守系统拉格朗日方程求解：分析：khqLqLthh,2,1
17、0dd选广义坐标选广义坐标 s，写任意位置下系统的拉格朗日函数（，写任意位置下系统的拉格朗日函数（L=T V），由），由上式可写上式可写1个方程，其中所含待求量个方程，其中所含待求量 即为所求。即为所求。s PQQv avCaC ss COAB此时，此时，k=1。14拉格朗日方程：拉格朗日方程：0ddsLsLt其中其中sgQPsgQPtsLt 22ddddsinQPsL则则0)sin(2QPsgQP gQPPQs2sin 即即gQPPQaC2sin则拉格朗日函数：则拉格朗日函数：sin222QsPssgQPVTL解：设重物从静止上升设重物从静止上升s，选，选s为广义坐标。为广义坐标。在任意位置
18、时系统动能：在任意位置时系统动能：222222222222212121212121sgQPvgQPrgQvgQrgQvgPTCsinsQPsV设系统起始位置为设系统起始位置为0势能位置，系统势能位置，系统势能为：势能为：PQQv avCaC ss COAB15例例4（书例（书例18-3，2自由度系统，较难）自由度系统，较难）已知：均质圆柱质量为已知：均质圆柱质量为M，半径，半径r，纯滚动；摆，纯滚动；摆长长l，不计质量；小球视为集中质量，质量，不计质量；小球视为集中质量，质量m。试用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程。试用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程。分析：为为2自由度保守系统。用拉氏方
19、程求解：自由度保守系统。用拉氏方程求解：研究整个系统，选滚子转角研究整个系统，选滚子转角（注：为方便，设为如图方向）（注：为方便，设为如图方向）、摆转角、摆转角 为广义坐标。为写系统任意位置时的动能，需先进行速度分析。为广义坐标。为写系统任意位置时的动能，需先进行速度分析。解：事实上，拉格朗日方程最拿手的还不是上面事实上，拉格朗日方程最拿手的还不是上面1个自由度系统的个自由度系统的动力学问题，而是多自由度系统问题，如下例。动力学问题，而是多自由度系统问题，如下例。OvAAOvOv先选广义坐标，再写任意位置下系统的拉格朗先选广义坐标，再写任意位置下系统的拉格朗日函数，由上式可写日函数，由上式可写
20、2个方程，即为所求。个方程，即为所求。khqLqLthh,2,10dd此时，此时，k=2。16OvAAOvOvOA作平面运动。选作平面运动。选O为基点，为基点，A为动点，则为动点，则AOOAvvv其中，其中，lvrvAOO,易知易知cos2)sin()cos(2222222rllrllrvA质点系动能：质点系动能：2222222221cos)23(4121212121mlmrlrmMmvMrMvTAO选选O点所在水平面为点所在水平面为0势能面，系统势能为势能面，系统势能为cosmglV拉格朗日函数：拉格朗日函数：cos21cos)23(412222mglmlmrlrmMVTL代入拉格朗日方程：代入拉格朗日方程：0dd0ddLLtLLt整理得整理得0sin)23(2sin)sin23()cossin()23(2222gmMmllmMrmMml 非线性非线性ODE，一，一般无解析解。般无解析解。17下次课预习下次课预习：第第20章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动作业：选做作业：选做18-5（试用拉格朗日方程求。注意为（试用拉格朗日方程求。注意为2自由度问自由度问题）题）
