1、圆的一般方程教学设计【教学目标】1知识与技能（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件.（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程.（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.2过程与方法通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.3情感态度与价值观渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.【教学重点】：圆的一
2、般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F.【教学难点】：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.【教学过程】教学环节教学内容师生互动设计意图课题引入问题：求过三点A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)的圆的方程.利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式圆的一般方程.让学生带着问题进行思考设疑激趣导入课题.概念形成与深化请同学们写出圆的标准方程：(x a)2 + (y b)2 = r2，圆心(a，b)，半径r.把圆的标准方程展开，
3、并整理：x2 + y2 2ax 2by + a2 + b2 r2=0.取D = 2a，E = 2b，F = a2 + b2 r2得x2 + y2 + Dx + Ey+F = 0这个方程是圆的方程.反过来给出一个形如x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0配方得(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？（1）当D2 + E2 4F0时，方程表示以为圆心，为半径的圆；（2）当D2 + E2 4F = 0时，方程只有实数解，即只表示一个点；（3）当D2 + E2 4F0时，方程没有实数解，因而它不表示任
4、何图形.综上所述，方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示的曲线不一定是圆.只有当D2 + E2 4F0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的表示圆的方程称为圆的一般方程.整个探索过程由学生完成，教师只做引导，得出圆的一般方程后再启发学生归纳.圆的一般方程的特点：（1）x2和y2的系数相同，不等于0.没有xy这样的二次项.（2）圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.（3）与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较
5、明显.通过学生对圆的一般方程的探究，使学生亲身体会圆的一般方程的特点，及二元二次方程表示圆所满足的条件.应用举例例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.（1）4x2 + 4y2 4x + 12y + 9 = 0（2）4x2 + 4y2 4x + 12y + 11 = 0解析：（1）将原方程变为x2 + y2 x + 3y += 0D = 1，E =3，F =.D2 + E2 4F = 10此方程表示圆，圆心（，），半径r =.（2）将原方程化为x2 + y2 x + 3y += 0D = 1，E =3，F =.D2 + E2 4F = 10此方程不表示圆.学生
6、自己分析探求解决途径：用配方法将其变形化成圆的标准形式.运用圆的一般方程的判断方法求解.但是，要注意对于（1）4x2 + 4y2 4x + 12y + 9 = 0来说，这里的D = 1，E = 3，而不是D = 4，E = 12，F = 9.通过例题讲解使学生理解圆的一般方程的代数特征及与标准方程的相互转化更进一步培养学生探索发现及分析解决问题的能力.例2 求过三点A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程.解：设所求的圆的方
7、程为：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D、E、F的三元一次方程组：即解此方程组，可得：D= 8，E=6，F = 0所求圆的方程为：x2 + y2 8x + 6y = 0；.得圆心坐标为(4，3).或将x2 + y2 8x + 6y = 0左边配方化为圆的标准方程，(x 4)2 + (y + 3)2 = 25，从而求出圆的半径r = 5，圆心坐标为(4，3).例2 讲完后学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：1根据题设，选择标准方程或一般方程.2根据
8、条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；3解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程.例3 已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆上(x + 1)2 + y2 = 4运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.解：设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)由于点B的坐标是(4，3)且M是线段AB中重点，所以，于是有x0 = 2x 4，y0 = 2y 3因为点A在圆(x + 1)2 + y2 = 4上运动，所以点A的坐标满足方程(x + 1)2 + y2 = 4，即 (x0 + 1)2 + y02 = 4 把代入，得(2x 4 + 1)2 + (2y 3)2 = 4，整
9、理得所以，点M的轨迹是以为圆心，半径长为1的圆.MAxyOB课堂练习：课堂练习P130第1、2、3题.教师和学生一起分析解题思路，再由教师板书.分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程(x + 1)2 + y2 = 4.建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程.归纳总结1圆的一般方程的特征2与标准方程的互化3用待定系数法求圆的方程4求与圆有关的点的轨迹教师和学生共同总结让学生更进一步（回顾）体会知识的形成、发展、完善的过程.课后作业布置作业：见习案4.1的第二课时学生独立完成巩固深化备选例题例1 下列各方程表示什么图形？若
10、表示圆，求出圆心和半径.（1）x2 + y2 + x + 1 = 0；（2）x2 + y2 + 2ac + a2 = 0 (a0)；（3）2x2 + 2y2 + 2ax 2ay = 0 (a0).【解析】（1）因为D 1，E 0，F 1，所以D2 + E2 4F0 方程（1）不表示任何图形；（2）因为D 2a，E 0，F a2，所以D2 + E2 4F 4a2 4a2 = 0， 所以方程（2）表示点(a，0)；（3）两边同时除以2，得x2 + y2 + ax ay = 0，所以D = a，E = a，F = 0. 所以D2 + E2 4F0，所以方程（3）表示圆，圆心为，半径.点评：也可以先将
11、方程配方再判断.例2 已知一圆过P (4，2)、Q(1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为，求圆的方程.【分析】涉及与圆的弦长有关的问题时，为简化运算，则利用垂径直径定理和由半弦长、弦心距、半径所构成的三角形解之.【解析】法一：设圆的方程为：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 将P、Q的坐标分别代入得令x = 0，由，得y2 + Ey + F = 0 由已知|y1 y2| = ，其中y1，y2是方程的两根.(y1 y2)2 = (y1 + y2) 4y1y2 = E2 4F = 48 解联立成的方程组，得故所求方程为：x2 + y2 2x 12 = 0或x2 + y2 10x
12、8y + 4 = 0.法二：求得PQ的中垂线方程为x y 1 = 0 所求圆的圆心C在直线上，故设其坐标为(a，a 1)，又圆C的半径 由已知圆C截y轴所得的线段长为，而圆C到y轴的距离为|a|.代入并将两端平方，得a2 5a + 5 = 0，解得a1 = 1，a2 = 5.故所求的圆的方程为：(x 1)2 + y2 = 13或(x 5)2 + (y 4)2 = 37.【评析】(1)在解本题时，为简化运算，要避开直接去求圆和y轴的两个交点坐标，否则计算要复杂得多.（2）涉及与圆的弦长有关问题，常用垂径定理和由半弦长、弦心距及半径所构成的直角三角形解之，以简化运算.例3 已知方程x2 + y2
13、2(t + 3)x + 2(1 t2)y + 16t4 + 9 = 0表示一个圆，求（1）t的取值范围；（2）该圆半径r的取值范围.【解析】原方程表示一个圆的条件是D2 + E2 4F = 4(t + 3)2 + 4(1 t2)2 4(16t 4 + 9)0即7t2 6t 10，（2）圆的一般方程教案一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程(二)能力训练点使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学
14、生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力(三)学科渗透点通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础二、教材分析1重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程(解决办法：(1)要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；(2)加强这方面题型训练)2难点：圆的一般方程的特点(解决办法：引导学生分析得出圆的一般方程的特点，并加以记忆)3疑点：圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F0(解决办法：通过对方程配方分三种讨论易得限制条件)三、活动设计讲授、提问、归纳、演板、小结、再
15、讲授、再演板四、教学过程(一)复习引入新课前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题复习引出课题为“圆的一般方程”(二)圆的一般方程的定义1分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：(1)(1)当D2+E2-4F0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程半径的圆；(3)当D2+E2-4F0时，方
16、程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、法2圆的一般方程的定义当D2+E2-4F0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程(三)圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(2)与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F0)(3)的系数可得出什么结论？启发学生归纳结论当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件：(1)x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C0；(2)没有x
17、y项，即B=0；(3)D2+E2-4AF0它才表示圆条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出教师还要强调指出：(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件(四)应用与举例同圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2一样，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0也含有三个系数D、E、F，因此必具备三个独立的条件，才能确定一个圆下面看一看它们的应用例1 求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x2+y2-8x+6y=0，(2)x2+y2+2by=0此例由学生演板，教师纠错，并给出正确答案：(1)圆心
18、为(4，-3)，半径为5；(2)圆心为(0，-b)，半径为|b|，注意半径不为b同时强调：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圆上，则有解得：D=-8，E=6，F=0，故所求圆的方程为x2+y2-8x+6=0例2小结：1用待定系数法求圆的方程的步骤：(1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；(3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程2关于何时设圆的标准方程
19、，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程再看下例：例3 求圆心在直线 l：x+y=0上，且过两圆C1x2+y2-2x+10y-24=0和C2x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程(0，2)设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l上所以得方程组为故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10这时，教师指出：(1)由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程
20、(2)此题也可以用圆系方程来解：设所求圆的方程为：x2+ y2-2x+10y-24+(x2+y2+2x+2y-8)=0(-1)整理并配方得：由圆心在直线l上得=-2将=-2代入所假设的方程便可得所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0此法到圆与圆的位置关系中再介绍，此处为学生留下悬念的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线此例请两位学生演板，教师巡视，并提示学生：(1)由于曲线表示的图形未知，所以只能用轨迹法求曲线方程，设曲线上任一点M(x，y)，由求曲线方程的一般步骤可求得；(2)应将圆的一般方程配方成标准方程，进而得出圆心坐标、半径，画出图形(五)小结1圆的一般方程的定义及特点；2用配方法
21、求出圆的圆心坐标和半径；3用待定系数法，导出圆的方程五、布置作业1求下列各圆的一般方程：(1)过点A(5，1)，圆心在点C(8，-3)；(2)过三点A(-1，5)、B(5，5)、C(6，-2)2求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程3等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么4A、B、C为已知直线上的三个定点，动点P不在此直线上，且使APB=BPC，求动点P的轨迹作业答案：1(1)x2+y2-16x+6y+48=0(2)x2+y2-4x-2y-20=02x2+y2-x+7y-32=03所求的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+10=0(x3，x5)，轨迹是以4以B为原点，直线ABC为x轴建立直角坐标系，令A(-a，0)，C(c，0)(a0，c0)，P(x，y)，可得方程为：(a2-c2)x2+(a2-c2)y2-2ac(a+c)x=0当a=c时，则得x=0(y0)，即y轴去掉原点；当ac时，则得(x-与x轴的两个交点六板书设计
