1、3.2平面向量基本定理教学设计 教材分析本节课所讨论的问题是上一小节所讨论问题的深入，同时为平面向量的坐标表示奠定了理论基础。教材通过学生熟悉的力的分解问题，引入了本节主题，由此可以使学生感受到向量的正交分解与现实的密切联系。向量的分解实际上就是平面向量基本定理的一个应用，平面内进行向量的正交分解会给研究问题带来方便，由点在直角坐标系中的表示得到启发，分析得出平面直角坐标系内向量与坐标建立起一一对应，从而实现向量的“量化”表示。 教学目标【知识与能力目标】1. 了解平面向量基本定理及其意义；2.会用基向量表示平面内的任一向量，能简单地应用平面向量基本定理。【过程与方法目标】通过对平面向量基本定
2、理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成的过程。【情感态度价值观目标】用实例激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索创新的精神，发展学生的数学应用意识。 教学重难点【教学重点】了解平面向量基本定理及其意义。【教学难点】能应用平面向量基本定理解决一些实际问题。 课前准备电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 教学过程一、探究新知。教材整理：平面向量基本定理阅读教材P85P86“例4”以上部分，完成下列问题。如果e1，e2(如图238)是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数1，2，使a1e12e2(如图238)，其中不共线的向量e1
3、，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底。图238巩固练习判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)任意两个向量都可以作为基底。()(2)平面向量的基底不是唯一的。()(3)零向量不可作为基底中的向量。()(4)若1e12e21e12e2，则。()【解析】(1)，两个不共线的向量才可作为平面的一组基底。(2)(3)均正确。(4)，e1与e2有可能共线。【答案】(1)(2)(3)(4)二、例题解析。如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由。(1)若，满足e1 e20，则0。(2)对于平面内任意一个向量a，使得ae1e2成立的实数，有无数对。(3)线性组合
4、e1 e2可以表示平面内的所有向量。(4)当，取不同的值时，向量e1 e2可能表示同一向量。【精彩点拨】根据平面向量基本定理的内容来判断。【自主解答】(1)正确。若0，则e1e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明0。(2)不正确。由平面向量基本定理可知，唯一确定。(3)正确。平面内的任一向量可表示成e1 e2的形式，反之也成立。(4)不正确。结合向量加法的平行四边形法则易知，当e1和 e2确定后，其和向量e1 e2便唯一确定。1对于平面内任何向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解为两个不共线的向量的和的形式。2向量的基底是指平面内不共
5、线的向量，事实上，若e1，e2是基底，则必有e10，e20，且e1与e2不共线，如0与e1，e1与2e1，e1e2与2(e1e2)等均不能构成基底。巩固练习1设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：e1与e1e2；e12e2与e22e1；e12e2与4e22e1；e1e2与e1e2。其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的序号是 (写出所有满足条件的序号)【解析】中，设e1e2e1，则无解。e1e2与e1不共线，即e1与e1e2可作为一组基底；中，设e12e2(e22e1)，则(12)e1(2)e20，则无解。e12e2与e22e1不共线，即e12e2与e22e1可作为一组基底；中，
6、e12e2(4e22e1)，e12e2与4e22e1共线，即e12e2与4e22e1不可作为一组基底；设e1e2(e1e2)，则(1)e1(1)e20，无解。e1e2与e1e2不共线，即e1e2与e1e2可作为一组基底。【答案】三、例题解析。如图239，梯形ABCD中，ABCD，且AB2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若a，b，试用a，b表示，。图239【精彩点拨】利用三角形法则或平行四边形法则，寻找所求向量与a，b的关系。【自主解答】如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形。则a；ba；ab.利用基底表示未知向量，实质就是利用向量的加法、减法以及数乘向量进行线性运算，解决此类问题
7、时，要仔细分析所给图形，借助于平面几何知识的向量共线定理及平面向量基本定理解决。巩固练习2如图2310所示，在ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知c，d，试用c，d表示和。 图2310【解】设a，b，则由M，N分别为DC，BC的中点可得：b，a，即bac，即abd.由可得a(2dc)，b(2cd)，即(2dc)，(2cd)。探究1如果e1，e2是两个不共线的确定向量，则与e1，e2在同一平面内的任一向量a，能否用e1，e2表示？依据是什么？【提示】能，依据是平面向量基本定理。探究2如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？【提示】不一定，当a与e1，e2中的一
8、个非零向量共线时可以表示，否则不能表示。探究3基底给定时，向量分解形式唯一吗？【提示】向量分解形式唯一。四、例题解析。如图2311，在平行四边形ABCD中，F是CD的中点，AF与BD交于E，求证：E为线段BD的三等分点。图2311【精彩点拨】要证E为线段BD的三等分点，只需证，可设.选取，作为基底，通过，建立相应的方程组，并进行运算，求出即可。【自主解答】设a，b，则ba，ADba因为A，E，F与B，D，E分别共线，所以存在实数，R，使，.于是ab， b a。由，得(1)a bab。因为a，b不共线，由平面向量基本定理，得1，且，解得，。即E为线段BD(靠近D)的一个三等分点。巩固练习3已知D
9、，E，F分别是ABC的BC，CA，AB边上的中点试用向量法证明：AD，BE，CF交于一点。【证明】如图，令a，b为基底，则ab，ab，ab，设AD与BE交于点G，且，则有ab，a b。又有a(1)b，解得。ab，aabab(ab)，而(ab)，。点GCF，AD，BE，CF交于一点。五、小结。用向量解决平面几何问题的一般步骤：(1)选取不共线的两个平面向量作为基底。(2)将相关的向量用基底向量表示，将几何问题转化为向量问题。(3)利用向量知识进行向量运算，得出向量问题的解。(4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解。六、作业。1设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：与；与；与；与
10、.其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基底的是()。ABCD【解析】根据基底的概念知两个向量必须不共线，结合图形(略)知正确【答案】B2已知向量e1与e2不共线，实数x，y满足(3x4y)e1(2x3y)e26e13e2，则xy等于()。A3 B3 C0 D2【解析】因为(3x4y)e1(2x3y)e26e13e2，所以(3x4y6)e1(2x3y3)e20，所以由得xy30，即xy3。【答案】A3.如图2312ABC中，若D，E，F依次是的四等分点，则以e1，e2为基底时， 。 图2312【解析】e1e2，因为D，E，F依次是的四等分点，所以(e1e2)，所以e2(e1e2)e1e2。【答案】e1e24已知向量i，j不共线，实数，满足等式3i(10)j2i(47)j，则的值为 ，的值为 。【解析】由3i(10)j2i(47)j得i(35)j0，因为i，j不共线。所以0,350，即。【答案】0；5设M，N，P是ABC三边上的点，且，若a，b，试用a，b将，表示出来。【解】如图，()baab()ab 教学反思略。
