1、1-10 1989 届小学数学奥林匹克竞赛初赛 1.计算： = 。 2.1 到 1989 这些自然数中的所有数字之和是 。 3.把若干个自然数，2，3，乘到一起，如果已知这个乘积的最末 13 位恰好都是零，那么 最后出现的自然数最小应该是 。 4.在 1， ， ， ， ， ，中选出若干个数， 使它们的和大于 3， 至少要选 个 数。 5.在右边的减法算式中，每一个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字，那么 D+G= 。 6.如图，ABFD 和 CDEF 都是矩形，AB 的长是 4 厘米，BC 的长是 3 厘米，那么图中阴影部分的 面积是 平方厘米。 7.甲乙两包糖的重量比是 4：1，如果
2、从甲包取出 10 克放入乙包后，甲乙两包糖的重量比变 为 7:5，那么两包糖重量的总和是 克。 8.设 1，3，9，27，81，243 是六个给定的数，从这六个数中每次或者取一个，或者取几个不 同的数求和（每个数只能取一次），可以得到一个新数，这样共得到 63 个新数。如果把它们 从小到大依次排列起来是 1，3，4，9，12那么第 60 个数是 。 9.有甲、乙、丙三辆汽车各以一定的速度从 A 地开往 B 地，乙比丙晚出发 10 分钟，出发后 40 分钟追上丙。甲比乙又晚出发 20 分钟，出发后 1 小时 40 分追上丙，那么甲出发后需 用 分钟才能追上乙。 10.有一个俱乐部， 里面的成员可
3、以分成两类， 第一类是老实人， 永远说真话； 第二类是骗子， 永远说假话。某天俱乐部全体成员围着一张圆桌坐下，每个老实人的两旁都是骗子，每个骗 子的两旁都是老实人。记者问俱乐部成员张三：俱乐部共有多少成员？张三回答：有 45 人。 李四说：张三是老实人。那么张三是老实人还是骗子？张三是 。 11.某工程如果由第一、二、三小队合干需要 12 天才能完成；如果由第一、三、五小队合干 需要 7 天完成；如果由第二、四、五小队合干 4 天完成；如果由第一、三、四小队合干需要 42 天才能完成。那么这五个小队一起合干需要 天才能完成这项工程。 12 把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，
4、它与原来的数加起来恰好是 某个自然数的平方，这个和数是 。 13.把自然数 1，2，3，998，999 分成三组，如果每一组数的平均数恰好相等地，那么 这三个平均数的和是 。 14.某种商品的价格是：每一个 1 分钱，每五个 4 分钱，每九个 7 分钱。小赵的钱至多能买 50 个，小李的钱至多能买 500 个。小李的钱比小赵的钱多 分钱。 2-10 15.一个自行车选手在相距 950 千米的甲、乙两地之间训练，从甲地出发，去时每 90 千米休 息一次；到达乙地并休息一天后再沿原路返回，每 100 千米休息一次。他发现恰好有一个休 息的地点与去时的一个休息地点相同，那么这个休息地点距甲地有 千米
5、。 16.现有四个自然数，它们的和是 1111，如果要求这四个数的公约数尽可能地大，那么这四 个数的公约数最大可能是 。 17.桌面上有一条长度为 100 厘米的红色直线，另外有直径分别是 2、3、7、15 厘米的圆形纸 片若干个，现在用这些圆形纸片将桌上的红线盖住，如果要使所用纸片的圆周长总和最短， 那么这个周长总和是 。 18.右图是一个边长为 2 厘米的正方体， 在正方体的上面的正中向下挖一个边长为 1 厘米的正 方体小洞；接着在小 洞的底面正中再向下挖一个边长为厘米的小洞； 第三个小洞的挖法与前两个相同， 边长为 厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是 平方厘米。 19.小明在左衣袋和
6、右衣袋中分别装有 6 枚和 8 枚硬币，并且两衣袋中硬币的总钱数相等，当 任意从左边衣袋取出两个硬币和右边衣袋的任意两个硬币交换时，左边衣袋的总钱数要么比 原来的钱数多二分，要么比原来钱数少二分。那么两个衣袋中共有 钱。 20.从 1，3，5，7，97，99 中最多可以选出 个数，使它们当中的每一个数都不 是另一个数的倍数。 3-10 参考答案： 1.【解】将 11989 中的每个数看成“四位数”，位数不够的前面补“0”，从 00001999， 所有数的数字之和是(0 十 12 十9)300211000 456001OOO 28000 而从 19901999 中的所有数的数字之和为 11092
7、10 十(019) 10 十 18045 235 从而，所求所有数字之和为 2800023527765 2.【解】l250 中有 10212(个)因数 5(在 25、50 中，因数 5 各出现 2 次，在 5 的其它倍数中各出现一次) 于是，l255 的末尾有 13 个 0，且 55 为最小的这样的数， 即最后出现的自然数最小为 55 3.【解】首先 A1，B0，E9。再由十位的运算可知 F8，从而 C7，并且 10DG8 即 GD2，G 可能为 6，5，4，相应地，D 为 4、3、2。于是 DG10、8、6 4.【解】阴影部分的面积和 1003144242 72(平方厘米) 5.【解】两包糖
8、重量的总和是 10() 10 (克) 6.【解】根据题意，丙行 50 分钟的路程乙只需 40 分钟，所以 45；丙行 130 分钟的路程。甲只需 100 分钟，1013 从而2625 因为乙早出发加分钟，所以甲出发后追上乙所花的时间为 2520(2625)500(分钟) 7.【解】张三是骗子因为骗子与老实人是相间地围着圆桌坐的，所以两者人数相等，俱乐部 的人数必定是偶数，张三讲的是假话，他是骗子. 8.【解】设原来的两位数为，则交换十位数字与个位数字后的两位数为，两个数的和为 10xy10yx11(xy) 是 11 的倍数，因为它是平方数,所以也是 1111121 的倍数.但这个和100100
9、 2001212，所以这个和数为 121。 9.【解】小赵的钱至多能买 50 个，而 5095 十 51 4-10 因此，小赵有 754139(分) 小李的钱至多能买 500 个。而 50095551 因此，小李有 75541389(分） 于是小李比小赵多 38939350(分) 10.【解】设这个休息地距甲地有 a 公里，显然 a 为 90 的倍数且 a50 为 100 的倍数，此时 a 就只能为 450. 从而这个休息地距甲地有 450 公里. 11.【解】这些圆纸片的直径的和100所以它们的周长的和lOO314(厘米) 另一方面，这些圆可以恰好将长为 lOO 厘米的红线盖住(例如用 10
10、 个 7 厘米，2 个 15 厘米的圆，或 50 个 2 厘米的圆). 因此,圆周长总和最短时，这个周长总和是 314 厘米 12.【解】226ll444 29.25(平方厘米) 13.【解】原式 1(1)（）（）（） 1（） 1（1） 14.【解】 2243 2()()2 3 2 5-10 2()()()23 ()3 所以至少要选 11 个数 15.【解】最大的(即第 63 个数)是 1392781243364 第 60 个数(倒数第 4 个数)是 36413360. 16.【解】1(2)34(天) 即 5 个小队合干需要 4 天. 【注】第二、四、五 3 个小队合干也只需要 4 天，所以在
11、本题中第一、三这 2 个小队实际上 没有人干活，这是不符合实际的。命题者考虑不够周到 17.【解】若设每一组的平均数均为 a 别总和为 999a a500 50031500 从而这三组平均教的和为 1500. 18.【解】这 4 个数的公约数必为 1111 的约数， 而 111111101 又 111 十 235 所以，101，2101，3101,15101 的和为 1111，且最大公约数为 101 因此，这四个数的公约数最大是 101 19.【解】设右边衣袋的硬币“、比左边的、多 2 分.右边的、比左边的、 少 2 分，于是这 8 枚硬币的钱数正好相等. 由于两边钱数相等，所以左边剩下的、比
12、右边的、多 2 分，比，右边的、 也多 2 分，从而、的钱数是 2 分，、的钱数也是 2 分，而、的钱数是 4 分. 由于左边的两枚硬币可以任意选取，而且不可能比 2 分钱少 2 分，所以左边每两枚的 钱数是 4 分，左边 6 枚共 12 分，两个衣袋共有 24 分钱. 20.【解】35，37，99 这 33 个数中，每一个数都不是另一个数的倍数(因为 35399). 另一方面，将 1，3，5，99 这 50 个数，每一个都写成t 的形式其中 是 0 或自然数，t 是不能被 3 整除的自然数，由于 1，3，99 中有 17 个数是 3 的倍数，剩下 501733 不是 3 的倍数，所以 t 的
13、值只有 33 种.于是从 1，3，5，99 中任取 34 个数，其 中必有两个数的 t 相同，从而一个数是另一个数的倍数. 因此答案是 33. 6-10 19891989 小学数学奥林匹克试题小学数学奥林匹克试题决赛 1计算： 2 某水池可以用甲、 乙两个水管注水 单放甲管需 12 小时注满， 单放乙管需 24 小时注满 现 在要求 10 小时注满水池，并且甲乙两管合放的时间尽可能地少，那么甲乙两管合放最少需 _小时 3有 10 张长 3 厘米，宽 2 厘米的纸片，将它们按照下图的样子摆放在桌面上： 那么，这 10 张纸片所盖住桌面上的面积是_平方厘米 4用圆圈列出的 10 个数按时针次序可以
14、组成许多个整数部分是一位的循环小数，例如 ，如图所示，那么在所有这种数中最大的一个是_ 5有一列数 1，1989，1988，1987，从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数 减小数的差，那么第 1989 个数是_ 6甲乙两地之间有一条公路，李明从甲地出发步行往乙地；同时张平从乙地出发骑摩托车往 甲地80 分钟后两人在途中相遇，张平到达甲地后，马上折回往乙地，在第一次相遇后又经 过 20 分钟张平在途中追上李明张平到达乙地后又马上折回往甲地，这样一直下去，当李明 到达乙地时，张平追上李明的次数是_次 7图（a）是一个直径是 3 厘米的半圆，AB 是直径让 A 点不动，把整个半圆逆时针转 6
15、0 角， 此时 B 点移动到点， 见图 （b） ， 那么图中阴影部分的面积是_平方厘米 （ 3.14） 8有 4 个不同的自然数，它们当中任意两个的和是 2 的倍数；任意 3 个数的和是 3 的倍数， 为了使得这 4 个数的和尽可能小，这 4 个数分别是_ 9在桌面上放置 3 个两两重迭、形状相同的圆形纸片它们的面积都是 100 平方厘米，盖住 桌面的总面积是 144 平方厘米，3 张纸片共同重叠的面积是 42 平方厘米那么图中 3 个阴影 部分的面积和是_平方厘米 7-10 10图中，把正方体的 6 个表面都分成 9 个相等的正方形现在用红、黄、蓝 3 种颜色去染 这些小正方形，要求有公共边
16、的正方形颜色不同那么用红色染成的正方形的个数最多是 _个 11A、B、C、D、E5 个人参加乒乓球赛，每两人都要赛一盘，并且只赛一盘规定胜者得 2 分，负者得 0 分现在知道比赛结果是：A 和 B 并列第一名，C 是第二名，D 和 E 并列第四名， 那么 C 的得分是_分 12从 1，2，3，4，1988，1989 这些自然数中。最多可以取_个数，其中每两 个数的差不等于 4 13在长 260 厘米，宽 150 厘米的台球桌上，有 A，B，C，D，E，F，6 个球袋，其中 ABEF 130 厘米现在从 A 处沿 45方向打出一球，如图所示，碰到桌边后又沿 45 方向弹出，当 再碰到桌边时，仍沿
17、 45 方向弹出，如此继续下去，直到落入某个袋中为止那么它将落入 _袋中 14将 14 个互不相同的自然数，从小到大依次排成一列，已知其总和为 170，如果去掉最大 的数和最小的数那么剩下的数的总和为 150，在原来已排成的次序中第二个数是_ 15将自然数 1，2，3，依次写下去组成一个数：123456789101112113，如果写到某个 自然数时，所组成的数恰好第一次能被 72 整除，那么这个自然数是_ 8-10 参考答案： 1.【解】原式(4.856.15)3.65.5 3.6(111)11(0.5) 9 10 2.【解】(小时) 3.【解】第一张纸片盖住的面积是 326(平方厘米)后而
18、每增加一张(纸片)多盖 (3-2)22(平方厘米) 于是，这 10 张纸片盖住桌面上的面积是 629：24(平方厘米) 4.【解】最大的是 5.【解】数列 1，1989，1988，1，1987，1986，1，1985，1984，中每隔 3 个数有一个 1， 去掉 1 以后，每个数比前一个少 1. 19893663， 所以第 1989 个数是 198966321664. 6.【解】假设李明 20 分钟行走 1 份，则李明 80 分钟走 4 份，于是，张平在 20 分钟内可行驶 4219(份) 即李明与张平的速度比为 19 由此，当李明从甲走到乙时张明从乙到甲，从甲到乙，共走了 9 次 于是，张平
19、共追上李明 (91)24(次) 7.【解】阴影部分的面积等于全部图形的面积减去一个直径为 3 厘米的 半圆的面积，从而等于一个半径为 3 厘米的圆的面积的即 3.1494.71(平方厘米) 8.【解】任两个数的和是 2 的倍数，所以这些数的奇偶性相同 任三个数的和是 3 的倍数，所以这些数除以 3，所得余数必定相同(否则在三个数的 和中换一个数，和将不是 3 的倍数) 于是，这些数除以 6 所得余数相同。和最小的四个数是 1，7(16)，13(76)， 19(136). 9.【解】阴影部分的面积和 1003144 242 72(平方厘米) 10.【解】最多是 22 个 将图中三个面上打点的方格
20、染红，打的方格染黄，其余的染蓝，它们的对面也同样 地涂色，这样就有 9-10 (542)222 个方格染红，而且有公共边的正方形颜色不同 【注】要证明红色的正方形不能超过 22 个，需要用枚举法，将正方体切成三层，上 面一层只有一种方式使红色的方格超过 8 个，即图 2 中央一层最多可染 6 个红色方格，即图 3。但上一层红色方格有 9 个时，中央一层只 能染 4 个红色方格，所以红色方格的总数949 或 868 即不超过 22 个 11.【解】每个人的得分都是偶数，D、E 二人比赛时，胜者得 2 分，所以 D、E 的得分至少是 2,C 的得分至少是 4，如果 C 的得分大于 4，那么 A、B
21、 的得分大于 6，五人总分大于 2246220 但五个人共赛 54210 盘，总得分为 10220 因此，C 的得分只能是 4(这时 A、B 各得 6 分). 12.【解】将 11989 排成四个数列： 1，5，9，1985，1989 2，6，10，1986 3，7，11，1987 4，8，12，1988 每个数列相邻两项的差是 4，因此，要使取出的数中，每两个的差不等于 4，每个数 列中不能取相邻的项，因此，第一个数列只能取出一半，因为它有(19891)41498 项， 所以最多取出 249(4982)项，例如 1，9，13，1985.同样，后三个数列每个最多可取 249 项，因而最多取出
22、2494996 个数，其中每两个的差不等于 4. 13.【解】将每个点用一对坐标表示前一个是这点到 FA 的距离，后一个 是这点到 FD 的距离，于是 A 的坐标是(0，150)，球经过的路线如下： (0，l50)(150，0)(260，110)(220，150)(70，0)(0，70)(80， 150)(230,0)(260，30)(140，150)(0,10)(10，0)(160，150) (260,50)(210，0)(60，150)(0，90)(90，0)(240，150)(260，130) 一(130，0) 因此，该球最后落入 E 袋 14.【解】由题意可知最大数与最小数之和为 20
23、。若 20 分成 119，即最小数为 1，最大数 为 19只有当其余 12 个数为 7、8、918 时，其和才为 150（），此时原来 排成的次序中第二个数为 7 10-10 若20分成218， 即最小的数为2， 最大的数为18， 其余12个数的和最大只能为138( )与题意不符。同理其余情形也不合题意。 故在原来已排成的次序中第二个数为 7。 15.【解】注意到能被 72 整除的数必能被 8 和 9 整除。从而数字和为 9 的倍数，且末三位构 成的数为 8 的倍数。于是可得这个自然数为 36536 被 8 整除。(1 十 239)(11 十 1)19 十 129237 十 123456 被 9 整除
