1、3.1 3.1 一元一次方程一元一次方程及其解法及其解法感悟新知感悟新知知知1 1讲讲知识点知识点一元一次方程的定义一元一次方程的定义11.定义定义 只含有一个只含有一个未知数未知数(元元)，未知数的次数都是未知数的次数都是 1，且，且等等式式两边都是整式的方程叫做一元一次方程两边都是整式的方程叫做一元一次方程.一元一次方程一元一次方程具有如下特点：具有如下特点：(1)只只含有一个含有一个未知数未知数.(2)所含未知数的项的最高次数为所含未知数的项的最高次数为 1.(3)是是由整式组成的，即方程中分母不含未知数由整式组成的，即方程中分母不含未知数.感悟新知感悟新知知知1 1讲讲2.一元一次方程
2、的标准形式一元一次方程的标准形式 任何任何一个一元一次方程变一个一元一次方程变形后总形后总可以化为可以化为 ax+b=0 的的形式，其中形式，其中 x 是未知数，是未知数，a，b 是已知数，是已知数，且且a 0.我们把我们把 ax+b=0(a 0)叫做一元一次方叫做一元一次方程的标准形式程的标准形式.知知1 1讲讲感悟新知感悟新知特别解读特别解读是是判断判断一元一次方程一元一次方程的三个的三个标准标准，其中，其中“元元”指未知数指未知数，“次次”指指未知数未知数的次数，的次数，“整整式式”指分母不含指分母不含未知数未知数.感悟新知感悟新知知知1 1练练例1知知1 1练练感悟新知感悟新知方法点拨
3、方法点拨判断一个方程判断一个方程是否是否为一元一次方程为一元一次方程的方法的方法：不仅要看原方程不仅要看原方程，还要，还要看化简后的方程看化简后的方程.原方程必须具备原方程必须具备：等号等号两边是整式；两边是整式；化简后的方程化简后的方程必须必须具备具备：一是一是未知数的未知数的次数都次数都为为1；二二是是只只含一个未知数且含一个未知数且未知数未知数的系数不为的系数不为 0.知知1 1练练感悟新知感悟新知解题秘方解题秘方：利用一元一次方程利用一元一次方程的定义进行的定义进行判断判断.解解：(1)含有含有两个未知数两个未知数；(2)化化简后简后 x 的系数为的系数为 0；(3)未知数未知数 x
4、的最高次数为的最高次数为 2；(4)等号等号左边不是整式；左边不是整式；(5)(6)是是一元一次方程一元一次方程.综上所述综上所述，(5)(6)是是一元一次方程一元一次方程.感悟新知感悟新知知知1 1练练若若(m+2)x|m|1=4 是关于是关于 x 的一元一次方程，求的一元一次方程，求 m的的值值.解题秘方解题秘方：由一元一次方程的定义可知未知数的由一元一次方程的定义可知未知数的次数为次数为 1，系数，系数不为不为 0，据此求待定字，据此求待定字母的值母的值.例2 知知1 1练练感悟新知感悟新知解解：根据题意，可得：根据题意，可得|m|1=1，且，且 m+2 0.由由|m|1=1，得，得|m
5、|=2.根据绝对值的意义，可得根据绝对值的意义，可得m=2.由由 m+2 0，得，得 m 2.所以所以 m=2.知知1 1练练感悟新知感悟新知特别警示特别警示解此类题时，解此类题时，容易容易只考虑未知数的只考虑未知数的次数为次数为 1，而忽略未知数而忽略未知数的系数的系数不为不为0的限制条件的限制条件.知知2 2讲讲感悟新知感悟新知知识点知识点方程的解和解方程方程的解和解方程21.方程的解方程的解使方程左右两边使方程左右两边相等相等的未知数的值叫做方程的解的未知数的值叫做方程的解.一元一元方程的方程的解，也可叫做方程的根解，也可叫做方程的根.2.解方程解方程解方程就是根据等式的性质求方程的解的
6、过程解方程就是根据等式的性质求方程的解的过程.感悟新知感悟新知3.方程的解与解方程的关系方程的解与解方程的关系(1)方程方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是解是一个一个结果，是一个具体的数值，而解方程是变形的过程；结果，是一个具体的数值，而解方程是变形的过程；(2)方程方程的解是通过解方程求得的的解是通过解方程求得的.知知2 2讲讲感悟新知感悟新知知知2 2讲讲特别解读特别解读1.解方程解方程的目的是求方程的解，方程的解是解方程的结果的目的是求方程的解，方程的解是解方程的结果.2.方程方程的解可能不止一个，也可能无解的解可能不止一个，也可能无解.如如
7、x=1和和x=2都是都是方方程程x2 3x+2=0 的解的解，而方程，而方程|x|=2无无解解.知知2 2练练感悟新知感悟新知检验下列各未知数的值是不是方程检验下列各未知数的值是不是方程 5x2=7+2x 的的解解，并写出检验过程，并写出检验过程.(1)x=2；(2)x=3.例3解题秘方解题秘方：紧扣方程的解的定义，根据方程左右紧扣方程的解的定义，根据方程左右两边的两边的值是否值是否相等进行检验相等进行检验.知知2 2练练感悟新知感悟新知解解：(1)将将 x=2 分别代入方程的左边和右边，得分别代入方程的左边和右边，得左边左边=522=8，右边，右边=7+22=11.因为左边因为左边右边右边，
8、所以，所以 x=2 不是方程不是方程 5x2=7+2x 的解的解.(2)将将 x=3 分别代入方程的左边和右边，得分别代入方程的左边和右边，得左边左边=532=13，右边，右边=7+23=13.因为左边因为左边=右边右边，所以，所以 x=3 是方程是方程 5x2=7+2x 的解的解.知知2 2练练感悟新知感悟新知方法点拨方法点拨检验方程的解的步骤：检验方程的解的步骤：一代一代：将：将未知数的未知数的值分别代入方程值分别代入方程左右左右两边，若方程两边，若方程一边不一边不含未知数，则只含未知数，则只代入代入含未知数的一边；含未知数的一边；二求二求：分别求：分别求出方程出方程左右两边式子左右两边式
9、子的值的值；三判断三判断：若：若左右两边左右两边相等，则是相等，则是方程的方程的解，否则不是解，否则不是.知知2 2练练感悟新知感悟新知解题秘方解题秘方：利用方程的解的定义，将已知的解代利用方程的解的定义，将已知的解代入方程中入方程中，求，求出待定字母的值出待定字母的值例4 知知2 2练练感悟新知感悟新知知知2 2练练感悟新知感悟新知解法提醒解法提醒根据方程的解的定义根据方程的解的定义，将，将方程转化成关于所求方程转化成关于所求字母字母的的方程，进而求出所方程，进而求出所求字母求字母或代数式的值或代数式的值.感悟新知感悟新知知知3 3讲讲知识点知识点等式等式的基本性质的基本性质2性质性质 1
10、等式等式两边都两边都加上加上(或减去或减去)同同一个数一个数或同一或同一个整个整式，所得结果仍是等式式，所得结果仍是等式，即如果，即如果a=b，那么，那么 a+c=b+c，a c=b c；感悟新知感悟新知知知3 3讲讲性质性质 3 如果如果 a=b，那么，那么 b=a.(对称性对称性)性质性质 4 如果如果 a=b，b=c，那么，那么 a=c.(传递性传递性)知知3 3讲讲感悟新知感悟新知特别解读特别解读1.等式的基本性质等式的基本性质中的中的两个两个“同同”：一是等式两边一是等式两边要进行要进行同一种运算同一种运算；二是加、减、二是加、减、乘或乘或除以的一定是除以的一定是同同一个数一个数或或
11、式子式子.2.利用等式的基本性质进行变形时，除以同利用等式的基本性质进行变形时，除以同一个数一个数或同一个或同一个式子时，式子时，这个数或式子不能为这个数或式子不能为0.知知3 3练练感悟新知感悟新知例5解题解题秘方：秘方：根据等式的基本性质即可得结论根据等式的基本性质即可得结论知知3 3练练感悟新知感悟新知解：解：A.根据等式的基本性质根据等式的基本性质 1，等式两边同时加上一个，等式两边同时加上一个数数 2，等式成立所以，等式成立所以 A 正确，不合题意；正确，不合题意；B.根据等式的基本性质根据等式的基本性质 2，若，若 a 0，等式两边同时除等式两边同时除以一个不为以一个不为 0 的数
12、的数 a，等式成立；若，等式成立；若 a=0，则，则 x=y 不一定不一定成立成立.所以所以 B 错误，符合题意；错误，符合题意；知知3 3练练感悟新知感悟新知C.根据等式的基本性质根据等式的基本性质 2，等式两边同时除以一个不为，等式两边同时除以一个不为 0的数的数 c2+1(c2+1 1)，等式成立所以等式成立所以 C 正确，不合题意；正确，不合题意；D.根据等式的基本性质根据等式的基本性质 2，等式两边同时乘一个不为，等式两边同时乘一个不为 0的数的数 m，等式成立所以，等式成立所以 D 正确，不合题意正确，不合题意答案答案：B知知3 3练练感悟新知感悟新知方法点拨方法点拨判断等式的变形
13、判断等式的变形是否正确是否正确的方法：的方法：当对等式两边加当对等式两边加、减、减或乘同一或乘同一个数个数(或式子或式子)时时，变形均，变形均正确；正确；当对等式两边当对等式两边除以除以同一同一个数个数(或式子或式子)时时，要先判断这，要先判断这个个数数(或式子或式子)是否是否为为 0，若，若确定该确定该数数(或式子或式子)不不为为 0，则该变形，则该变形正确正确，否则，否则错误错误.感悟新知感悟新知知知3 3练练例6 解题秘方解题秘方：根据题目特点，运用等式的基本性质，根据题目特点，运用等式的基本性质，将将方程变形为方程变形为 x=a(常数常数)的的形式形式.知知3 3练练感悟新知感悟新知知
14、知3 3练练感悟新知感悟新知方法点拨方法点拨利用等式的性质利用等式的性质解一元一次方程解一元一次方程的的一般步骤一般步骤：第一步：第一步：利用等式利用等式的的基本基本性质性质1，将方程，将方程左右左右两边两边同时同时加加(或减或减)同一个数同一个数(或式子或式子)，使使方程方程逐步转化为一边逐步转化为一边只有含只有含未知数未知数的项，另的项，另一边只有一边只有常数项的形式；常数项的形式；第二步：第二步：利用等式利用等式的基本性质的基本性质2，将方程，将方程左右左右两边两边同时除同时除以未知数的以未知数的系数系数或乘未知数系数的或乘未知数系数的倒数倒数，即将未知数的，即将未知数的系数化系数化为为
15、1，从而，从而求出方程的解求出方程的解.感悟新知感悟新知知知4 4讲讲知识点知识点解一元一次方程解一元一次方程移项移项41.移项移项 把把方程中某一项改变符号后，从方程的一边移到方程中某一项改变符号后，从方程的一边移到另另一边一边，这种变形叫做移项，这种变形叫做移项.移项要变号移项要变号.感悟新知感悟新知知知4 4讲讲2.移项的移项的依据依据 移项的依据是移项的依据是等式等式的基本性质的基本性质 1，在方程，在方程的两边都的两边都加上加上(或减去或减去)同同一个适当一个适当的整式的整式，使含未知数的，使含未知数的项集项集中中在方程的一边，常数项集中在方程的一边，常数项集中在另在另一边一边.知知
16、4 4讲讲感悟新知感悟新知特别解读特别解读移项与移项与加法交换律加法交换律的区别：的区别：移项是在等式中移项是在等式中，把，把某些项从等号的某些项从等号的一边一边移到移到另一边，另一边，移动的移动的项要变号；而项要变号；而加法交换律加法交换律是交换加是交换加数数的位置的位置，只改变排列，只改变排列的顺序的顺序，不改变符号，不改变符号.感悟新知感悟新知知知4 4讲讲知知4 4练练感悟新知感悟新知解方程解方程：83x=x+6.例7解题秘方解题秘方：利用移项解一元一次方程的利用移项解一元一次方程的步骤步骤(移项移项合并同类项合并同类项系数化为系数化为 1)解方程解方程.知知4 4练练感悟新知感悟新知
17、移项移项合并合并同类项同类项知知4 4练练感悟新知感悟新知解法解法提醒提醒移项一般习惯上将含未知数的项放在等号的左边，常移项一般习惯上将含未知数的项放在等号的左边，常数项放在等号的右边，若移项时为计算简便不是这样放置数项放在等号的右边，若移项时为计算简便不是这样放置的，在合并时可直接交换过来，这的，在合并时可直接交换过来，这不需要不需要变号，因为等式变号，因为等式具有对称性具有对称性.感悟新知感悟新知知知5-5-讲讲知识点知识点解一元一次方程解一元一次方程去括号去括号51.解含有括号的一元一次方程时，先利用去括号法则去括号，解含有括号的一元一次方程时，先利用去括号法则去括号，然后然后通过移项、
18、合并同类项解方程通过移项、合并同类项解方程.感悟新知感悟新知知知5 5讲讲2.去括号解一元一次方程的步骤去括号解一元一次方程的步骤(1)去括号去括号(按照按照去括号法则去去括号法则去括号括号)；(2)移项移项；(3)合并合并同类项；同类项；(4)将将未知数的系数化为未知数的系数化为 1.感悟新知感悟新知知知5 5讲讲3.解方程中去括号的顺序解方程中去括号的顺序 先去小括号，再去中括号，最后去先去小括号，再去中括号，最后去大括号大括号，一般是由内向外去括号，也可以由外向内去括号，一般是由内向外去括号，也可以由外向内去括号.知知5 5讲讲感悟新知感悟新知特别解读特别解读1.去括号的目的是能去括号的
19、目的是能利用移项利用移项解方程，其实质解方程，其实质是乘是乘法法分配律分配律.2.解方程中的去括号解方程中的去括号法则与法则与整式运算中的去整式运算中的去括号法括号法则则相同相同.感悟新知感悟新知知知5 5练练解方程：解方程：2(x3)3(3x1)=6(1x).例8 解题秘方解题秘方：按按“去括号去括号移项移项合并同类项合并同类项系系数数化为化为1”的的步骤解方程步骤解方程.知知5 5练练感悟新知感悟新知解解：去括号，得：去括号，得 2x69x+3=66x.移项，得移项，得 2x9x+6x=6+63.合并同类项，得合并同类项，得 x=9.系数化为系数化为 1，得，得 x=9.感悟新知感悟新知解
20、法提醒解法提醒1.去括号时，用括号去括号时，用括号外的外的因数去乘括号里因数去乘括号里的每的每一项，一项，再把积相加；再把积相加；2.括号前是括号前是“”号号，去括号去括号时，括号里的时，括号里的各项各项都都改变符号改变符号.知知5 5练练知知6 6讲讲感悟新知感悟新知知识点知识点解一元一次方程解一元一次方程去分母去分母61.解含有分母的一元一次方程时，方程两边同解含有分母的一元一次方程时，方程两边同乘各分母的乘各分母的最最小公倍数小公倍数，从而，从而约去分母约去分母，这个过程叫做去分母，这个过程叫做去分母.感悟新知感悟新知2.去分母解一元一次方程的步骤去分母解一元一次方程的步骤(1)去去分母
21、分母；(2)去去括号；括号；(3)移项；移项；(4)合并合并同类项同类项；(5)系数系数化为化为 1.知知6 6讲讲感悟新知感悟新知知知6 6讲讲特别解读特别解读1.去分母的依据是去分母的依据是等式等式的性质的性质 2.2.去分母的目的是去分母的目的是将分数将分数系数化为系数化为整数系数整数系数.知知6 6练练感悟新知感悟新知例9解题秘方解题秘方：按按“去分母去分母去括号去括号移项移项合并同合并同类项类项系数系数化为化为 1”的的步骤解方程步骤解方程.知知6 6练练感悟新知感悟新知解解：去分母，得：去分母，得 6x3(x2)=6+2(2x1).去括号，得去括号，得 6x3x+6=6+4x2.移
22、项、合并同类项，得移项、合并同类项，得 x=2.系数化为系数化为 1，得，得 x=2感悟新知感悟新知特别提醒特别提醒去分母的方法是去分母的方法是 将方程将方程两边同乘这个两边同乘这个最小公倍数最小公倍数.去分母时若分子是去分母时若分子是多项式多项式，去分母后，分子，去分母后，分子需要需要加加上括号上括号.去分母时，不含去分母时，不含分母的项分母的项(单个单个的数或的数或字母字母)不能不能漏漏乘最小公倍数乘最小公倍数.知知6 6练练感悟新知感悟新知知知7 7讲讲知识点知识点解一元一次方程的一般步骤解一元一次方程的一般步骤71.解一元一次方程的一般步骤解一元一次方程的一般步骤 去去分母、去括号、移
23、项、合分母、去括号、移项、合并并同类项同类项、系数、系数化为化为 1 等等.通过这些步骤可以使以通过这些步骤可以使以 x 为为未未知数知数的方程逐步向着的方程逐步向着 x=a 的形式转化的形式转化.感悟新知感悟新知知知7 7讲讲2.解一元一次方程的具体做法、变形依据、注意解一元一次方程的具体做法、变形依据、注意事项事项变形名称变形名称 具体做法具体做法 变形依据变形依据 注意事项注意事项去分母去分母在方程两边同乘在方程两边同乘各分母各分母的最小公的最小公倍数倍数.当分母是当分母是小小数时数时，要利用分，要利用分数的基本数的基本性质把性质把小数化为整数小数化为整数等式等式的基的基本性质本性质 2
24、不要不要漏乘不含漏乘不含分母的分母的项；分子项；分子是一个多项是一个多项式式，去，去分母后加上括分母后加上括号号去括号去括号 一般先去小括号，一般先去小括号，再去再去中括号中括号，最，最后去大括号后去大括号乘法分配乘法分配律律，去括去括号号法则法则不要漏乘括号里面的不要漏乘括号里面的项项，不要，不要弄错符号弄错符号感悟新知感悟新知知知7 7讲讲移项移项 把含有未知数的把含有未知数的项和项和常数项常数项分别分别移至等号的两侧移至等号的两侧移项法则移项法则(等式等式的基本的基本性质性质 1)移项要变号，移项要变号，不移的不移的项不项不用用变号变号合并同合并同类项类项把方程化为把方程化为 ax=b(
25、其中其中a 0)的的形式形式合并合并同类项同类项法则法则系数相加；系数相加；字母字母及指数及指数不变不变系数化系数化为为 1在方程两边都除在方程两边都除以以未知数的未知数的系数系数 a，得到方程的解为得到方程的解为x=(a 0)等式等式的基本的基本性质性质 2除数除数不为不为 0；不要把分子、不要把分子、分母分母颠倒颠倒知知7 7讲讲感悟新知感悟新知特别提醒特别提醒1.去分母是为了去分母是为了简化运算简化运算，若不使用，若不使用，则，则合并同类合并同类项时项时需进行需进行分数运算分数运算.2.去括号时，一般去括号时，一般按从小按从小到大的顺序到大的顺序，但，但有时也可有时也可按从按从大到大到小
26、的顺序小的顺序.3.解一元一次方程解一元一次方程的一般的一般步骤不一定步骤不一定每步每步都用到，都用到，也也不一定不一定按照从上到下按照从上到下的顺序的顺序进行，要进行，要根据方根据方程程的特点选取的特点选取适当适当的步骤进行求解的步骤进行求解.感悟新知感悟新知知知7 7练练例10 知知4 4练练感悟新知感悟新知解题秘方解题秘方：按照解一元一次方程的步骤解方程按照解一元一次方程的步骤解方程.知知4 4练练感悟新知感悟新知知知4 4练练感悟新知感悟新知先去中括号，先去中括号，利用利用等式的等式的基基本性质本性质 2，将，将中括号中括号前面的前面的系数变成系数变成 1.知知4 4练练感悟新知感悟新知知知7 7讲讲感悟新知感悟新知特别警示特别警示去分母与分数的基本去分母与分数的基本性质性质的区别：的区别：去分母是把去分母是把方程中方程中的每一项都乘各的每一项都乘各分母的分母的最小公倍最小公倍数，与数，与方程中方程中的每一项都有关，的每一项都有关，而分数而分数的基本性质只是的基本性质只是对方对方程中的某一个分数程中的某一个分数变形变形，与其他项无关，与其他项无关.一元一次方一元一次方程及其解法程及其解法定义定义依据依据方程的解方程的解一元一次方程一元一次方程等式的基本性质等式的基本性质移项移项去括号去括号去分母去分母解方程解方程
