1、二次函数与幂函数高三复习课一、一、知识梳理知识梳理（2）幂函数的图象1.幂函数幂函数（1）幂函数的定义 形如 (R)的函数称为幂函数，其中 是 ，为 xxy 自变量常数 函数性质性质 定义域值 域奇偶性单调性 定 点xy 2xy 3xy 21xy 1 xy（3）幂函数的性质RRR0,00,RR0,0,00,奇函数奇函数偶函数非奇非偶函数奇函数增函数增函数增函数,0在 上递减0,在 上递增 0,0,1,11,1,0和0,在 上递减（1）二次函数的解析式2.二次函数二次函数cbxax2kh,（2）二次函数的图象与性质函函 数数 图图 象象 定义域定义域 值值 域域 单调性单调性在在_上递减上递减在
2、在_上递增上递增在在_上递增上递增在在_上递减上递减奇偶性奇偶性图象特点图象特点)0(2acbxaxy)0(2acbxaxy 对称轴：对称轴：abx2 顶点：顶点：abacab44,22,442abacabac44,20b0b当当 时，为偶函数；当时，为偶函数；当 时，既不是奇函数也不是偶函数时，既不是奇函数也不是偶函数ab2,ab2,2 ab,2 abR R 二、二、双基自测双基自测1.判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）（1）二次函数 的最小值一定是 .（）（2）二次函数 ，不可能是偶函数.（）（3）幂函数的图象都经过点 和点 .（）（4）当 时，幂函数 是定义域上的增函数.（）
3、baxcbxaxy,22,yaxbxc xRnxy abac4420n1,10,02.下列函数是幂函数的序号是_3232xxy211xxy解：，故 为幂函数.二、二、双基自测双基自测xy212xy22 xy ；32xy xy1 ；.3.函数 为偶函数，则 在区间 上().(A)先减后增 (B)先增后减 (C)单调递减 (D)单调递增 32)1()(2mxxmxf)(xf3,5 解:为偶函数，.则 在 上是增函数.32)1()(2mxxmxf02m0m3)(2xxf3,5 二、二、双基自测双基自测D图象关于y 轴对称.4.函数 在区间 上是减函数，则实数 的取值范围是_.2)1(2)(2xaxx
4、f3,a解:二次函数 的对称轴是 ，由题意知 ，.)(xfax113a 2a二、二、双基自测双基自测,2 三、三、例题例题讲解讲解考点一幂函数的图象和性质由由幂函数的解析式为幂函数的解析式为yx，可用待定系数法求可用待定系数法求)(xfy)(xfy 例1（1）幂函数 的图象过点 ，则幂函数 的图象是（）2,4C考点一幂函数的图象和性质3,2,1,21,21,1,2xxf)(),0(例1（2）已知 .若幂函数 为奇函数，且在 上递减，则 =_.1考点二二次函数的解析式求二次函数的解析式，一般用待定系数法，求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数其关键是根据已知条
5、件恰当选择二次函数解析式的形式解析式的形式)(xf)(xf1)1(,1)2(ff例2 已知二次函数 满足 ，且 的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.考点二二次函数的解析式求二次函数的解析式，一般用待定系数法，求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式解析式的形式)(xf)(xf1)1(,1)2(ff例2 已知二次函数 满足 ，且 的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.求二次函数的解析式，一般用待定系数法，求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数其关键是根据已知条件恰当选择二次
6、函数解析式的形式解析式的形式考点二二次函数的解析式)(xf)(xf1)1(,1)2(ff例2 已知二次函数 满足 ，且 的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.二次函数解析式的求法二次函数解析式的求法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：考点三二次函数的图象与性质 例3 已知函数 （1）当 时，求函数 的值域；（2）若函数 在 的最小值为1，求实数 的值.32)(2axxxf3,2,2xa)(xf)(xf2,1a解：（1）当 时，34)(2xxxf2a函数图象开口向上且对称轴为 2x15)2()(,1)2()(maxminfxffxf故，函数 的值域为 .15,1)(
7、xf 例3 已知函数 （1）当 时，求函数 的值域；（2）若函数 在 的最小值为1，求实数 的值.32)(2axxxf3,2,2xa)(xf)(xf2,1a解：（2）对称轴为ax 当 时，解之得 ，满足题意.1a124)1()(minafxf23a当 时，解之得 ，不满足题意，舍.2a147)2()(minafxf23a当 时，解之得 或 （舍）.12a 13)()(2minaafxf2a2a综上，的值为 或 .a223故实数 的取值范围为 .1,7m2120 xmxm 恒成立，214 20mm 71.m ，解得 例4 已知函数 （1）若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围；（2）记 ，且
8、 ，求实数 的最大值.mmxxxf22)(2()f xxmxRmm(),01Ay yf xx,0A考点三二次函数的图象与性质222xmxmxmx R解:（1）由题意可得 在 上恒成立，即R 例4 已知函数 （2）记 ，且 ，求实数 的最大值.mmxxxf22)(2m(),01Ay yf xx,0A解：(2)由题意可得 在 恒成立 ()0f x 1,0 x当 时 0m即 m in0,0,1f xx1,0,22)(2xmmxxxf函数的图象开口向上，且对称轴为mx min()020,2f xfmm 0m当 时01m2min()()20f xf mm m 解之得21m 01m 当 时1m min()
9、1330,1f xfmm m的值不存在m综上，实数 的取值范围为1,m故，实数 的最大值为1.例5.已知二次函数 .（1）若函数 的最小值为 ，求 的解析式，并写出单调区间；（2）在（1）的条件下，在区间 上恒成立，试求 的取值范围.2()1,f xaxbxa bxRR)(xf)(xf0)1(fkxxf)(1,3 k分析：（1）根据 及 列方程组求解.（2）分离参数，转化为求函数的最值问题.0)1(f12ab考点三二次函数的图象与性质 例5 已知二次函数 .（1）若函数 的最小值为 ，求 的解析式，并写出单调区间；（2）在（1）的条件下，在区间 上恒成立，试求 的取值范围.2()1,f xax
10、bxa bxRR)(xf)(xf0)1(fkxxf)(1,3 k解：（1）由题意知 ，解得01)1(12bafab21ba所以 .12)(2xxxf,11,)(xf所以，函数 的单调递增区间为 .单调递减区间为 .例5 已知二次函数 .（1）若函数 的最小值为 ，求 的解析式，并写出单调区间；（2）在（1）的条件下，在区间 上恒成立，试求 的取值范围.2()1,f xaxbxa bxRR)(xf)(xf0)1(fkxxf)(1,3 k解：（2）由题意知，在区间 上恒成立，kxxx1221,3 即 在区间 上恒成立，1,3 kxx12令 ，1,3,1)(2xxxxg因为 在 上是减函数，1,3)
11、(xg,1)1()(mingxg1.k故 的取值范围是 .1,k四、四、反馈练习反馈练习3()f xx322)1()(mmxmmxf),0(x)(xf)(xf1.函数 是幂函数，且当 时，是增函数，则 的解析式为_.xy 2,21,1,14321,CCCC2.如图所示，曲线是幂函数 在第一象限内的图象，已知 分别取 四个值，则图象 对应的 依次为_.12,1,123.已知函数 在闭区间 上有最大值3，最小值2，则 的取值范围为_.322xxym,0m2或-15.若函数 在 时有最大值2，则 的值为.aaxxxf12)(20,1xa4.设函数 ，若 的解集为 ，则实数 的取值范围是_.1)(2m
12、xmxxf0)(xfmR4,01,2四、四、反馈练习反馈练习5.若函数 在 时有最大值2，则 的值为.aaxxxf12)(21,0 xa四、四、反馈练习反馈练习分析：aaxxxf12)(2当 时1aaymax当 时10 a12maxaay当 时0aay1max根据已知条件得 或 或 12aa21102aaa012aa 解之得 或 2a1a五、五、总结提升总结提升1.与二次函数单调性有关的问题.2.求二次函数最值的类型及解法.3.不等式恒成立问题的解法.数形结合心中有图六、六、课堂作业课堂作业1.幂函数 的图象过点 ，那么 的值是（）.(A)(B)81 (C)3 (D)9)(xf2,2 9f3C2.下列函数为幂函数的为（）.(A)(B)(C)(D)12 xyxy221xy 3xyC3.设函数 ，求函数的最小值 .axxxy,2,22)(ag22,21,()1,1.aaag aa在探究、质疑、反思中逐渐领悟函数的概念及其蕴含的数学思想方法；祝同学们，真正感受到函数的魅力，享受学习数学的快乐！
