1、10.410.4线段的垂直平分线线段的垂直平分线1、经历、经历“探索探索发现发现-猜想猜想-证明证明”的过的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力意识和能力.2、证明线段垂直平分线的性质定理探索并、证明线段垂直平分线的性质定理探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力发展推理能力.已知已知:线段线段AB，(如图如图).).求作求作:线段线段AB的垂直平分线的垂直平分线.做一做：做一做：用尺规作线段的垂直平分线用尺规作线段的垂直平分线.1.分别以点分别以点A和和B为圆心为圆心，以大于以大于 AB 的长为
2、半径作弧的长为半径作弧，两弧交于点两弧交于点C和和D.ABCD 2.作直线作直线CD.则直线则直线CD就是线段就是线段AB的垂直平分线的垂直平分线.作法：作法：12(1)同学们怎么知道同学们怎么知道“线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等到这条线段两个端点的距离相等”这条性这条性质呢？质呢？我们曾经利用折纸的方法得到这条性质我们曾经利用折纸的方法得到这条性质(2)同学们能否通过逻辑推理证明这条性同学们能否通过逻辑推理证明这条性质呢？质呢？证明：证明：MNAB PCA=PCB=90 在在PCA和和PCB中，中，RtPCA RtPCB(SAS)PA=PB(全等三角形的
3、对应边相等全等三角形的对应边相等)ACBPMN定理定理：线段垂直平分线上的点到这线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等条线段两个端点的距离相等已知已知:如图如图，直线直线MNAB，垂足是垂足是C，且，且AC=BC，P是是MN上任意一点上任意一点.求证求证:PA=PB.AC=BCPCA=PCB=90C=PC几何语言描述几何语言描述老师提示老师提示:这个结论是经常用来证明两条这个结论是经常用来证明两条 线段相等的根据之一线段相等的根据之一.ABMNCP如图如图，AC=BC，MNAB，P是是MN上任上任 意一点意一点(已知已知)PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段垂直平分线上的点到这
4、条线段两个端点距离相等线段两个端点距离相等)想一想：想一想：你能写出你能写出“定理定理 线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等到这条线段两端点距离相等”的逆命题吗的逆命题吗？逆命题逆命题 如果有一个点到线段两个端点的距离相等，如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上那么这个点在这条线段的垂直平分线上.即到一条线段两个端点距离相等的点即到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段在这条线段的垂直平分线上的垂直平分线上.它是真命题吗它是真命题吗？如果是如果是，请你证明它请你证明它.思考分析思考分析已知已知:如图如图，线段线段BC，AB=AC.
5、求证求证:点点A在在BC的垂直平分线上的垂直平分线上.BCA ADBC ADB和和ADC都是都是RtAB=AC，AD=AD RtADB RtADC(HL)BD=CD(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)点点A在在BC的垂直平分线上的垂直平分线上CBDA 方法一：方法一：过点过点A作作ADBC，垂足为垂足为DD为为BC的中点的中点BD=CDAB=AC，AD=ADADB ADC(SSS)ADB=ADCADB+ADC=180ADB=ADC=90ADBC即即点点A在在BC的垂直平分线上的垂直平分线上 方法二：方法二：把线段把线段BC的中点记为的中点记为D，连接连接ADBDAC思考思考你还有其
6、它证你还有其它证明方法吗？明方法吗？逆定理逆定理 到一条线段两个端点距离相等到一条线段两个端点距离相等的点的点，在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上.几何语言描述：几何语言描述：如图如图，AB=AC(已知已知)，点点A在在BC的垂直平分线上的垂直平分线上(到一条线段两个端到一条线段两个端点距离相等的点点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上).).提示提示:这个结论经常用来证明这个结论经常用来证明点在直线上点在直线上(或或直线直线 经过某一点经过某一点)的根据之一的根据之一.BDAC例例1：已知：如图：已知：如图，在，在 ABC 中，中，AB=AC，O是是
7、ABC 内一点，且内一点，且 OB=OC.求证：直线求证：直线 AO 垂直平分线段垂直平分线段BC证明：证明：AB=AC点点A在在BC的垂直平分线上的垂直平分线上(到一条线段两个端到一条线段两个端点距离相等的点点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上)同理，点同理，点O在在BC的垂直平分线上的垂直平分线上直线直线 AO 垂直平分线段垂直平分线段BC(两点确定一条直线两点确定一条直线)1、已知：线段、已知：线段AB及一点及一点P，PA=PB，则点则点P在在_上上.线段的垂直平分线线段的垂直平分线120 2、已知：如图，、已知：如图，BAC=120，AB=AC，AC 的的垂
8、直平分线交垂直平分线交BC于于D则则ADC=.3、如图，在、如图，在ABC中，中，C=90，DE是是AB的垂直平分线的垂直平分线.(1)则则BD=；(2)若若B=40，则，则BAC=，DAB=，DAC=，CDA=；(3)若若AC=4，BC=5，则，则DA+DC=_，ACD的周长为的周长为 .EDABCAD 9 510 80 4050 4、有特大城市、有特大城市A及两个小城市及两个小城市B、C，这三个城市共，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到建一个污水处理厂，使得该厂到B、C两城市的距离两城市的距离相等，且使相等，且使A市到厂的管线最短，试确定污水处理市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位
9、置厂的位置.ABCD回顾回顾 思考思考1.线段的垂直平分线的性质定理和判断定理线段的垂直平分线的性质定理和判断定理.2.线段的垂直平分线的作法线段的垂直平分线的作法.利用尺规作三角形三条边的垂直平分线做完之后利用尺规作三角形三条边的垂直平分线做完之后你发现了什么？你发现了什么？发现：发现：三角形三边的垂直三角形三边的垂直平分线交于一点这一点平分线交于一点这一点到三角形三个顶点的距离到三角形三个顶点的距离相等相等 剪一个三角形纸片通过折叠找出剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平分线每条边的垂直平分线.结论：三角形三条边的垂直平分结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点线相交于一点.怎样证明
10、这个怎样证明这个结论呢？结论呢？点拨：点拨：要证明三条直线相交于一要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可点在第三条直线上即可.命题命题:三角形三条边的垂直平分线相交于一点三角形三条边的垂直平分线相交于一点.已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB，BC的垂直平分线相交于的垂直平分线相交于点点P，求证：点求证：点P也在也在AC的垂直平分线上的垂直平分线上证明：证明：连接连接AP，BP，CP.点点P在线段在线段AB的垂直平分线上，的垂直平分线上，PA=PB(线段垂直平分线上的点到线线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等段两个端
11、点的距离相等)同理，同理，PB=PC.PA=PC.点点P在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上(到线段两个端点距离相到线段两个端点距离相等的点等的点.在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上)AB，BC，AC的垂直平分线相交于一点的垂直平分线相交于一点.ABCP定理定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等点，并且这一点到三个顶点的距离相等.如图，在如图，在ABC中，中，c，a，b分别是分别是AB，BC，AC的垂直平分的垂直平分线线(已知已知)，c，a，b相交于一点相交于一点P，且，且PA=PB=PC(三三角形三条边的
12、垂直平分线相交于一点，并角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等且这一点到三个顶点的距离相等).).ABCPabc1分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外.2已知：已知：ABC中，中，AB=AC，AD是是
13、BC边上的中线，边上的中线，AB的垂直平分线交的垂直平分线交AD于于O求证：求证：OA=OB=OC DCBAO证明：证明：AB=AC，AD是是BC的中线，的中线，AD垂直平分垂直平分BC(等腰三角形底等腰三角形底边上的中线垂直于底边边上的中线垂直于底边)又又AB的垂直平分线与交于点的垂直平分线与交于点O OB=OC=OA(三角形三条边的三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等到三个顶点的距离相等)(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？
14、形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？已知：三角形的一条边已知：三角形的一条边a和这边上的高和这边上的高h求作：求作：ABC，使，使BC=a，BC边上的高为边上的高为h1ADCBAah()DCBAah1ADCBAah1A注意：这样的三角形有无数多个观察还可以发注意：这样的三角形有无数多个观察还可以发现这些三角形不都全等现这些三角形不都全等.(2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？这样的等腰三角形也有无数多个这样的等腰三角形也有无数多个.
15、根根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，只要作底边的垂直平分线，的距离相等，只要作底边的垂直平分线，取它上面除底边的中点外的任意一点，和取它上面除底边的中点外的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形等腰三角形 如图所示，这些三角形不都全等如图所示，这些三角形不都全等(3)已知等腰三角形的底及底边上的高，你能用尺已知等腰三角形的底及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？规作出等腰三角形吗？能作几个？这样的等腰三角形只有两个，并且它们这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位
16、于已知底边的两是全等的，分别位于已知底边的两侧所以满足这一条件的三角形是唯一侧所以满足这一条件的三角形是唯一确定的确定的.你能尝试着用尺规作出这个三角形吗？你能尝试着用尺规作出这个三角形吗？已知：线段已知：线段a、h求作：求作：ABC，使，使AB=AC，BC=a，高，高AD=h作法：作法：1作作BC=a；2作线段作线段BC的垂直平分线的垂直平分线MN交交BC于于D点；点；3以以D为圆心，为圆心，h长为半径作弧长为半径作弧交交MN于于A点；点；4连接连接AB、AC ABC就是所求作的三角形就是所求作的三角形NMDCBahA1、在三角形内部，有一点、在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离到三
17、角形三个顶点的距离相等，则点相等，则点P一定是一定是()A、三角形三条角平分线的交点；、三角形三条角平分线的交点；B、三角形三条垂直平分线的交点；、三角形三条垂直平分线的交点；C、三角形三条中线的交点；、三角形三条中线的交点；D、三角形三条高的交点、三角形三条高的交点.2、已知、已知ABC的三边的垂直平分线交点在的三边的垂直平分线交点在ABC的边的边上，则上，则ABC的形状为的形状为()A、锐角三角形；、锐角三角形；B、直角三角形、直角三角形；C、钝角三角形；、钝角三角形；D、不能确定、不能确定3、等腰、等腰 RtABC中，中，AB=AC，BC=a，其斜边上的中，其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点线与一腰的垂直平分线交于点O，则点，则点O到三角形三个到三角形三个顶点的距离是顶点的距离是 .1、线段垂直平分线上的、线段垂直平分线上的_到这条线段两个到这条线段两个端点的距离端点的距离_.2、到一条线段两个端点距离、到一条线段两个端点距离_的点，在的点，在这条线段的这条线段的_线上线上.点点 相等相等垂直平分垂直平分 相等相等3.证明了定理证明了定理:三角形三条边的垂直平分线相交三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.4.已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三角形角形.
