1、6-1 概述概述 6-2 变换投影面法变换投影面法 6-3 旋转法旋转法6-1 概概 述述 当空间几何元素对投影面处于当空间几何元素对投影面处于特殊位置特殊位置时，时，则其投影或则其投影或反映其真实形状反映其真实形状，或，或具有积聚性具有积聚性。本章引入本章引入投影变换投影变换的方法来达到上述目的。的方法来达到上述目的。当我们图示、图解一般位置的空间几何元当我们图示、图解一般位置的空间几何元素及其相互间的定位和度量问题时，如能把它素及其相互间的定位和度量问题时，如能把它改变成改变成特殊位置特殊位置，则问题就可能比较容易地获，则问题就可能比较容易地获得解决得解决。投影变换的方法投影变换的方法 1
2、 正投影变换正投影变换 用改变几何元素与投影面体系的用改变几何元素与投影面体系的相对位置来达到投影变换的目的。相对位置来达到投影变换的目的。1）变换投影面法）变换投影面法(换面法换面法)保持几何元素的位置不动，保持几何元素的位置不动，而而建立新的直角投影面体系建立新的直角投影面体系。2）旋转法旋转法 保持原直角投影保持原直角投影面体系不动，面体系不动，将空间几何元将空间几何元素绕某个选定的轴旋转素绕某个选定的轴旋转。斜投影变换斜投影变换 保持投影面和空间几何元素的位置不动，保持投影面和空间几何元素的位置不动，改变投射方向改变投射方向(即采用斜投影即采用斜投影)，使空间几何元素，使空间几何元素在
3、投影面上的新投影有利于解题在投影面上的新投影有利于解题。本章主要介绍本章主要介绍正投影变换正投影变换 6-2 变换投影面法变换投影面法(换面法换面法)6.2.1 换面法的基本概念换面法的基本概念 新投影面的选择新投影面的选择应符合下列两个条件：应符合下列两个条件：1)新投影面必须新投影面必须垂直垂直一个原有的投影面。一个原有的投影面。2)新投影面对空间几新投影面对空间几何元素应何元素应处于有利于处于有利于解题的位置。解题的位置。6.2.2 点的投影变换点的投影变换 2.2.1 点的一次变换点的一次变换 1换换V面面 VHXV1HX1aa axax1a 1 旧投影体系旧投影体系 X XV VH
4、H 新投影体系新投影体系V V1 1H HX X1 1A A点的两个投影：点的两个投影：a,aa,a A A点的两个投影：点的两个投影：a,aa,a 1 1 XVHaa ax a1ax1.X1H1VO1O O2换换H面面 点的换面点的换面规律：规律：1)1)点的新投影和保留投影的连线点的新投影和保留投影的连线垂直垂直于于新投影轴新投影轴；2)点的新投影到新投影轴的距离点的新投影到新投影轴的距离等于等于被替换的投被替换的投影到旧投影轴的距离影到旧投影轴的距离。先把先把V V面换成平面面换成平面V V1 1，V V1 1 H H，得到中间新投影体系得到中间新投影体系:V V1 1H HX X1 1
5、 再把再把H H面换成平面面换成平面H H2 2，H H2 2 V V1 1，得到新投影体系得到新投影体系:X X2 2 V V1 1 H H 2 2 新投影体系的建立新投影体系的建立A Aa aV VH H a a a ax xX XX X1 1V V1 1a a 1 1a ax1x1H H2 2X X2 2a ax2x2a a2 2按次序更换按次序更换6.2.2.2 点的二次换面点的二次换面 ax2 a aXVH 求新投影的求新投影的作图方法作图方法a2X1HV1X2V1H2 作图规律：作图规律：a a2 2a a 1 1 X X2 2 轴轴；a a2 2a ax2 x2=aa=aax1x
6、1a 1 axax1#*.二次换面二次换面作图步骤：作图步骤：1）定出）定出新投影轴新投影轴11；2）根据点的换面规律，）根据点的换面规律，求出新投影求出新投影1；3）作）作新投影轴新投影轴22；4）根据点的换面规律，根据点的换面规律，求出新投影求出新投影2，5）2即为变换后的新投影。即为变换后的新投影。6.2.3 直线的换面直线的换面 2.3.1 2.3.1 直线直线一次换面一次换面的两个基本作图问题的两个基本作图问题 1把把一般位置直线一般位置直线变换为变换为投影面平行线投影面平行线 反映反映直线的直线的实长实长和对投影面的和对投影面的倾角。倾角。例例1已知：直线已知：直线AB的两投影的两
7、投影、，试求：直线试求：直线AB的实长和的实长和角角。分析：分析：直线直线AB为为一般位置直线一般位置直线，欲，欲求直线求直线AB的实长和的实长和角，应建立新的投角，应建立新的投影面体系影面体系1/，使使直线直线AB成为新投影成为新投影面面1的的平行线平行线 (1)。V V1 1X X1 1H HV VA AB B a a b b a ab ba a 1 1b b1 1X X 1）作）作11；2）按点的换面规律，求出新投影）按点的换面规律，求出新投影1、1；a a b b a ab bX XV VH HX X1 1H HV V1 1a a 1 1.b b 1 1作图步骤：作图步骤：3）求实长求
8、实长：11即为直线即为直线的实长的实长；4）求求角角：11与与11轴的夹角轴的夹角 即为直线即为直线AB与与H面的夹角面的夹角。用换面法求用换面法求直线直线ABAB的的实长实长和和对对V V面的夹角。面的夹角。2把把投影面平行线投影面平行线变换为变换为投影面垂直线投影面垂直线 把投影面平行线变换为投影面垂直把投影面平行线变换为投影面垂直线，线，是为了使直线投影成为一个点，是为了使直线投影成为一个点，从从而解决与直线有关的而解决与直线有关的度量问题度量问题(如如求求两直两直线间的线间的距离距离)和和定位问题定位问题(如如求求线面线面交点交点)。例例2已知正平线已知正平线AB的两投影，的两投影，试
9、把它变为投影面垂直线。试把它变为投影面垂直线。分析：分析：直线直线AB为正平线为正平线，应将应将AB变换为新投影面变换为新投影面1的垂直线的垂直线,因因，而，而新投影面要垂直新投影面要垂直AB又必须又必须垂直一个投影面，所以只能垂直一个投影面，所以只能设置设置新投影面新投影面1，且，且1，即建立新投影，即建立新投影体系体系/1。作图步骤：作图步骤：1 1）作）作1 11 1；2）按点的换面规律，求出新投影）按点的换面规律，求出新投影1、1（1与与1重合）。重合）。把把一般位置直线一般位置直线变换为变换为投影面垂直线投影面垂直线，只只经过一次换面是不能实现的经过一次换面是不能实现的，因为垂直于一
10、，因为垂直于一般位置直线的平面是一般位置平面，它与原般位置直线的平面是一般位置平面，它与原有的两个投影面均不垂直，不能构成正投影有的两个投影面均不垂直，不能构成正投影体系，所以体系，所以需要经过两次换面需要经过两次换面。第一次：第一次：将将一般位置直线一般位置直线变为新投影体系中的变为新投影体系中的投影面平投影面平行线。行线。第二次：第二次：将将投影面平行线投影面平行线变为另一投影体系中的变为另一投影体系中的投影面投影面垂直线垂直线。6.2.3.2 直线直线两次换面两次换面的基本作图问题的基本作图问题 a1b1a b abXVHX1HV1V1H2X2作图步骤：作图步骤：a2 (b2 ).先变换
11、先变换V V面面然后再换然后再换H H面面VH a aXB b bAX1V1a1b1X2V2A2(b2)ax2例例3已知一般位置直线已知一般位置直线AB的两投影，试将其的两投影，试将其变换为新投影面的垂直线变换为新投影面的垂直线 分析分析：要把一般位置直线变换为投影面垂直线，须经过：要把一般位置直线变换为投影面垂直线，须经过两次换面两次换面 3 3）作）作2 22 21 11 1；1 1）作）作1 11 1；2 2）求求出新投影出新投影1 1、1 1；4）求出）求出2、2（2与与2重合）。重合）。2.4.1 把把一般位置平面一般位置平面变换成变换成投影面垂直面投影面垂直面 如果把如果把平面内的
12、一条直线平面内的一条直线变换成变换成新投影面的垂新投影面的垂直线直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。空间分析：空间分析：在平面内在平面内取一条投影面平行线取一条投影面平行线，经一次换，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。新投影面的垂直面。作图方法：作图方法：6.2.4 平面的换面平面的换面例例1已知一般位置平面已知一般位置平面ABC的两投影，的两投影，试求该平面对试求该平面对H面的倾角面的倾角。分析分析：欲求一般位：欲求一般位置平面置平面对对H面的倾角面的倾角，应，应当当保留保留H
13、面，面，用用1面替换面替换V面，面，建立建立1/新投影体系，新投影体系，使平面成为新投影使平面成为新投影面面1的垂直面。的垂直面。X X c c b bc cd dH HB BC CD D a a b ba aV VA A d d V V1 1X X1 1c c1 1b b1 1a a1 1（d d1 1）例例1已知一般位置平面已知一般位置平面ABC的两投影，的两投影，试求该平面对试求该平面对H面的倾角面的倾角。H HV V1 1X X1 1d dd d1 1a a1 1（d d1 1）c c1 1.a a a a c c c cb bX XV VH Hd d b X X c c b bc c
14、d dH HB BC CD D a a b ba aV VA A d d V V1 1X X1 1c c1 1b b1 1a a1 1（d d1 1）例求平面例求平面ABCABC的的 角角作图过程：作图过程：在平面内取一条在平面内取一条正平线正平线ADAD。将将ADAD变换成新投变换成新投影面的影面的垂直线垂直线。6.2.4.2 把把投影面垂直面投影面垂直面变换为变换为投影面平行面投影面平行面例例3试求铅垂面试求铅垂面的实形的实形 分析：分析：欲求铅垂面欲求铅垂面的的实形实形，应应建立建立1/新投影体系，新投影体系，并使并使1，即把即把变换为变换为 1/体系中体系中1的的平行面平行面。作图步骤
15、：作图步骤：1 1）作）作1 11 1；2 2）求出新投影）求出新投影 1 11 11 1；3）求实形求实形：111即反映即反映的实形。的实形。右图表示了把右图表示了把正垂面正垂面变变换成换成/1体系中体系中1的平行面的作图的平行面的作图方法。方法。注意：新投影轴注意：新投影轴11 bac。6.2.5 换面法的应用换面法的应用 应用换面法解题时，应用换面法解题时，首先分析首先分析已已知条件知条件和和待求问题待求问题之间的之间的相互关系相互关系，再分析再分析空间几何元素与投影面空间几何元素与投影面处于何处于何种相对位置时，解题最为简便种相对位置时，解题最为简便，进而，进而确定确定需需几次换面几次
16、换面及及换面顺序换面顺序。例例1:试求平面试求平面ABC的实形和的实形和角角 必须经过必须经过两次换面两次换面，先先将它变换为新投影体系将它变换为新投影体系中的投影面中的投影面垂直面垂直面，再再将将它变换为另一投影体系中它变换为另一投影体系中的投影面的投影面平行面。平行面。换面顺序换面顺序/12/1 例例2 已知直线已知直线AB与平面与平面CDE平行，试求它们之间的距离。平行，试求它们之间的距离。将平面将平面CDE变换为投影面变换为投影面垂直面垂直面，则，则BK变换为投影面变换为投影面平行线。平行线。空间及投影分析空间及投影分析：1）把）把CDE平面变换为平面变换为H/V1体系中的体系中的投影
17、面垂投影面垂直面直面，求得，求得d1c1e1（积聚为直线）；（积聚为直线）；2）求出）求出a1b1；3）求距离（求距离（）：作作1k1 c1d1e1则则1k1反映实长。反映实长。4）求求BK的原投影的原投影、。例例3 求两相错直线间的最短距离。求两相错直线间的最短距离。欲求欲求两相错直线间两相错直线间公公垂线垂线MN的的实长，实长，应将应将MN变换为变换为新投影体系中的新投影体系中的投投影面平行线影面平行线。有。有两种解题两种解题方法：方法：空间及投影分析空间及投影分析：1 包含包含两相错两相错直线之一直线之一作作另另一直线一直线的的平行平面平行平面，则线面，则线面间的距离即为两直线之间的间的
18、距离即为两直线之间的距离（如右图）。距离（如右图）。2 将直线将直线AB或或CD变换为新投变换为新投影体系中的投影面影体系中的投影面垂直线垂直线：1 1）直线直线ABAB经过经过两次投影变换两次投影变换，变成变成1 1/2 2体系中的投影面体系中的投影面垂直线垂直线2 2、2 2。2 2）求距离求距离MNMN的实长的实长。由点由点2 2（2 2）向向2 22 2作垂作垂线线2 22 2，2 22 2反映反映ABAB、CDCD两直线间距离的实长，两直线间距离的实长，1 11 12 22 2。3）求求MN的原投影的原投影和和。例例4：求平面：求平面ABC和和ABD的夹角。的夹角。分析：分析：两平面
19、的夹角以其二面角度量，而二面角两平面的夹角以其二面角度量，而二面角所在平面与该两平面垂直，亦即与该两平面的交线所在平面与该两平面垂直，亦即与该两平面的交线垂直。为求出该二面角，垂直。为求出该二面角，需将两平面变换成投影面需将两平面变换成投影面垂直面，垂直面，即把两平面的交线变换成投影面垂直线。即把两平面的交线变换成投影面垂直线。作图步骤：作图步骤：1 1）把把两平面的两平面的交线交线ABAB经两次经两次变换成变换成1 1/2 2体系中体系中的的垂直线垂直线，求得，求得2 2（2 2），随之求得，随之求得2 2、2 2。2）求夹角求夹角：22（）（）2。6-旋转法旋转法 空间点空间点A绕直线绕直
20、线OO旋转，旋转，点点A称为旋转点称为旋转点，直线直线OO称为旋转轴称为旋转轴。自自A点向点向OO轴引垂轴引垂线，其线，其垂足垂足O称旋转中心，称旋转中心，AO称旋转半径，称旋转半径，A点的点的旋转轨迹是以旋转轨迹是以O为圆心，为圆心，以以AO为半径的圆周，称为半径的圆周，称为为轨迹圆轨迹圆，轨迹圆所在轨迹圆所在的平面的平面与旋转轴垂直。与旋转轴垂直。按旋转轴与投影面的相对位置不同，按旋转轴与投影面的相对位置不同，旋转法分为：旋转法分为：1)1)绕垂直于投影面的轴线旋转，简称绕绕垂直于投影面的轴线旋转，简称绕垂垂直轴旋转直轴旋转。2)2)绕平行于投影面的轴线旋转，简称绕绕平行于投影面的轴线旋转
21、，简称绕平平行轴旋转行轴旋转。3)3)绕一般位置的轴线旋转绕一般位置的轴线旋转。6.3.1 6.3.1 点的旋转点的旋转 如图所示，点如图所示，点A绕垂直于绕垂直于V面的面的OO轴轴(正垂轴正垂轴)旋转，旋转，其其V投影反映轨迹圆实形，而投影反映轨迹圆实形，而H投影为过投影为过A点且平行于点且平行于X轴的直线段，其长度等于轨迹圆的直径。轴的直线段，其长度等于轨迹圆的直径。如图所示，点如图所示，点A绕铅垂轴旋转，其绕铅垂轴旋转，其H投影反映轨迹圆实投影反映轨迹圆实形，即形，即H投影投影沿圆周旋转沿圆周旋转角到角到1，其，其V投影投影沿投影沿投影轴的平行线移动至轴的平行线移动至1 ，1 。由上可知
22、由上可知点的旋转规律：点的旋转规律：当点绕垂直轴旋转时，点在与当点绕垂直轴旋转时，点在与旋转轴垂直的那个投影面上的投影作圆周运动，而另一投影旋转轴垂直的那个投影面上的投影作圆周运动，而另一投影则沿与旋转轴垂直的直线移动。则沿与旋转轴垂直的直线移动。6.3.2 6.3.2 直线的旋转直线的旋转 直线的旋转，仅直线的旋转，仅需使属于该直线的任需使属于该直线的任意两点遵循绕同一轴、意两点遵循绕同一轴、沿相同方向、转同一沿相同方向、转同一角度的规则作旋转，角度的规则作旋转，然后，把旋转后的两然后，把旋转后的两个点连接起来。个点连接起来。1)1)直线绕垂直轴旋转时，直线在直线绕垂直轴旋转时，直线在旋转轴
23、所垂直的投影面上的投影长度旋转轴所垂直的投影面上的投影长度不变。不变。2)2)直线对旋转轴所垂直的那个投直线对旋转轴所垂直的那个投影面的倾角不变。影面的倾角不变。3)3)直线在旋转轴所平行的投影面直线在旋转轴所平行的投影面上的投影长度及对该投影面的倾角都上的投影长度及对该投影面的倾角都改变。改变。直线旋转的基本性质直线旋转的基本性质 6.3.2.1 6.3.2.1 把一般位置直线旋转成投影面平行线把一般位置直线旋转成投影面平行线 直线绕垂直轴旋转一次，就能改直线绕垂直轴旋转一次，就能改变直线对一个投影面的倾角，因此，变直线对一个投影面的倾角，因此，用绕垂直轴旋转的方法，求一般位置用绕垂直轴旋转
24、的方法，求一般位置直线的实长及对投影面的倾角时，只直线的实长及对投影面的倾角时，只要旋转一次即可实现。要旋转一次即可实现。分析分析：欲求一般位置直线：欲求一般位置直线AB的实长和的实长和角，需把直线角，需把直线AB绕铅垂轴旋转成正平线。为了作图简便，使该轴过绕铅垂轴旋转成正平线。为了作图简便，使该轴过直线的一个端点，如直线的一个端点，如A点，那么，只旋转点，那么，只旋转B点即可。点即可。例例1已知一般位置直线已知一般位置直线AB的两投影，的两投影，试求直线试求直线AB的实长和的实长和角。角。例例2已知一般位置直线已知一般位置直线AB的两投影，的两投影，试求直线试求直线AB的的角。角。分析：分析
25、：欲求一般位欲求一般位置直线的置直线的角，需角，需把直线把直线AB绕正垂轴绕正垂轴旋转成水平线。旋转成水平线。6.3.2.2 6.3.2.2 把投影面平行线旋转成投影面垂直线把投影面平行线旋转成投影面垂直线 某投影面的平行线绕该投影面的某投影面的平行线绕该投影面的垂直轴旋转时，始终保持与该投影面垂直轴旋转时，始终保持与该投影面平行，而能改变对另一投影面的倾角。平行，而能改变对另一投影面的倾角。所以投影面平行线可经一次旋转为投所以投影面平行线可经一次旋转为投影面垂直线。影面垂直线。分析分析：正平线和：正平线和铅垂线都平行于铅垂线都平行于V面，面，因此，在旋转过程中，因此，在旋转过程中，直线对直线
26、对V面的倾角应面的倾角应保持不变，只改变它保持不变，只改变它对对H面的倾角，所以面的倾角，所以应取正垂线为旋转轴。应取正垂线为旋转轴。例例3试将正平线试将正平线AB旋转成为铅垂线旋转成为铅垂线 6.3.3 6.3.3 平面的旋转平面的旋转 平面的旋转是平面的旋转是通过旋转该平面所通过旋转该平面所含不共直线的三个含不共直线的三个点来实现的，旋转点来实现的，旋转时，必须遵循时，必须遵循同轴、同轴、同方向、同角度同方向、同角度的的规则。规则。平面的平面的旋转性质旋转性质：1)1)平面绕垂直轴旋转时，平面在旋转轴所垂平面绕垂直轴旋转时，平面在旋转轴所垂直的投影面上的投影，其形状和大小都不变。直的投影面
27、上的投影，其形状和大小都不变。2)2)平面对旋转轴所垂直的那个投影面的倾角平面对旋转轴所垂直的那个投影面的倾角不变。不变。3)3)平面的另一个投影，其形状和大小发生改平面的另一个投影，其形状和大小发生改变，并且，该平面对旋转轴所不垂直的那个变，并且，该平面对旋转轴所不垂直的那个投影面的倾角也改变。投影面的倾角也改变。6.3.3.1 6.3.3.1 把一般位置平面旋转成投影面垂直面把一般位置平面旋转成投影面垂直面 只要将平面内的一条投影只要将平面内的一条投影面平行线旋转成垂直于某投影面平行线旋转成垂直于某投影面，则平面就垂直于该投影面。面，则平面就垂直于该投影面。分析分析：欲求一般位置：欲求一般
28、位置平面平面ABC对对V面的倾角面的倾角，须将平面须将平面ABC旋转成为铅旋转成为铅垂面。垂面。只要将平面内的一条只要将平面内的一条正平线正平线CD绕正垂轴绕正垂轴(含含C点点)旋转成为铅垂线即可。旋转成为铅垂线即可。例例1试求一般位置平面试求一般位置平面ABC对对V面的倾角面的倾角。例例2试求一般位置平面试求一般位置平面ABC对对H面的倾角面的倾角。分析分析：把平面：把平面ABC旋转成为正垂旋转成为正垂面。面。只要将平面内只要将平面内的一条水平线的一条水平线CD绕绕铅垂轴（含铅垂轴（含C点）旋点）旋转成为正垂线即可。转成为正垂线即可。6.3.3.2 6.3.3.2 把投影面垂直面旋转成为投影
29、面平行面把投影面垂直面旋转成为投影面平行面 投影面垂直面绕同一投影面的垂直轴旋转时，投影面垂直面绕同一投影面的垂直轴旋转时，只要经一次旋转，就能使垂直面旋转成为另一投只要经一次旋转，就能使垂直面旋转成为另一投影面的平行面。影面的平行面。例例3试将正垂面试将正垂面ABC旋转旋转成为水平面成为水平面。分析分析：欲求正垂面：欲求正垂面的实形，应将的实形，应将ABC平面旋转成为水平平面旋转成为水平面，旋转轴为正垂线。面，旋转轴为正垂线。6.3.4 6.3.4 旋转法的应用旋转法的应用 例例1试在平面试在平面ABCD内过点内过点M作一直线作一直线MN，使其与使其与V面的倾角为面的倾角为4545。分析：分析：过点过点M作作4545的直线的直线MN会有若干条，但会有若干条，但含于平面含于平面ABCD内的直线，内的直线，却是有确定解的。却是有确定解的。包含包含M点任作一水平点任作一水平线线1，使，使MN1直线与直线与V面的倾角面的倾角4545。将将1点旋转到平面点旋转到平面ABCD上，为保持上，为保持4545，旋转轴应为过旋转轴应为过M点的正垂点的正垂线。线。
