1、三角恒等变换与解三角形专题测习题含答案一、选择题（每小题5分，共60分）1(2019临沂模拟)已知cos，则cos xcos(x)()A1 B1 C. D.2已知角，且cos 2cos20，则tan()A32 B1 C32 D323若cos 2cos ，sin 2sin ，则sin2()()A1 B. C. D04若tan(80)4sin 420，则tan(20)的值为()A B3 C. D.5若，均为锐角且cos ，cos()，则sin()A B. C D.6若，且3cos 2cos，则sin 2的值为()A. B C. D7若tan ，则sin的值为()A B. C. D.8已知a，b，c
2、为ABC的三个内角A，B，C所对的边若3bcos Cc(13cos B)，则sin Csin A()A23 B43 C31 D329设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b1，c，cos C，则a()A3 B4 C5 D610在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则ABC的形状是()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形11已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边若(ab)(sin Asin B)c(sin Asin C)，则B()A. B. C. D.12在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知bc，a22b
3、2(1sin A)，则A()A. B. C. D.二、填空题（每小题5分，共20分） 13若3，tan()2，则tan(2)_.14计算_.15在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若b4，B，sin A，则a_.16在ABC中，BC2，AC3，BAC2B，D是BC上一点且ADAC，则sinBAC_，ABD的面积为_三、解答题（计6小题，共70分）17（本小题满分10分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(bc)2a2bc(1)求sinA；(2)若a2，且sinB，sinA，sinC成等差数列，求ABC的面积.18（本小题满分12分）在ABC中，角A，B，C的对
4、边分别为a，b，c，且（1）判断ABC的形状； （2）若B=，点D为AB边的中点，CD=，求ABC的面积19（本小题满分12分）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a22sin Asin C.(1)求c的长；(2)若cos 2C，求ABC的面积20（本小题满分12分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a2b)cos Cccos A0.(1)求角C；(2)若c2，求ABC周长的最大值21（本小题满分12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.(1)求A；(2)若 ab2c，求sin
5、 C.22（本小题满分12分）在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sin Acos2Acos(BC)sin 3A.(1)求A的大小；(2)若b2，求ABC面积的取值范围三角恒等变换与解三角形专题测习题答案参考答案一、选择题1、答案 选B解析：cos xcoscos xcos xcossin xsincos xsin xcos xsin xcos1，故选B.2、答案 选A解析：由题意结合二倍角公式可得2cos21cos20，cos2.，cos ，sin ，tan ，tan32.故选A.3、答案 选A解析：由题意得(cos 2cos )2cos24cos24cos cos
6、 2，(sin 2sin )2sin24sin24sin sin 3.两式相加，得144(cos cos sin sin )5，cos()0，sin2()1cos2()1.4、答案 选D解析：由tan(80)4sin 4204sin 602，得tan(20)tan(80)60.故选D.5、答案 选B解析：，均为锐角，01.由tan ，解得tan 3，sinsin 2cos 2.故选A.8、答案 选C解析：由正弦定理得3sin Bcos Csin C3sin Ccos B，即3sin(BC)sin C3sin Asin C，所以sin Csin A31.9、答案 选A解析：由余弦定理可得cos
7、C，即，整理可得(a3)(3a5)0.结合a0可得a3.10、答案 选D解析：，0或，即C90或. 由正弦定理，得，即sin Ccos Csin Bcos B，即sin 2Csin 2B，B，C均为ABC的内角，2C2B或2C2B180，BC或BC90，ABC为等腰三角形或直角三角形故选D.11、答案 选C解析：由题意和正弦定理得(ab)(ab)c(ac)，即a2b2acc2，则a2c2b2ac，由余弦定理可得cos B，B.12、答案 选B解析：由题意和余弦定理得cos Asin A，所以A.故选B.二、填空题13、答案：解析：3，tan 2.tan()2，tan(2)tan()tan().
8、14、答案：4解析：原式4.15、答案：解析：b4，B，sin A，根据正弦定理得，即，a.16、答案：；解析：BC2，AC3，BAC2B，在ABC中，由正弦定理得，解得cosB，可得sinB，cosBACcos 2B2cos2B1，sinBAC.ADAC，sinBADsincosBAC，可得cosBAD，sinADBsin(BADB).在ABC中，由余弦定理可得AC2AB2BC22ABBCcosB，32AB2(2)22AB2，解得AB1或3.当ABAC3时，由BAC2B，可得BCBAC，BC3，与BC2矛盾，AB1.在ABD中，由正弦定理得，AD，SABDABADsinBAD1.三、解答题1
9、7、解：(1)由(bc)2a2bc，得b2c2a2bc 2分即，由余弦定理得cosA，因为0A，所以sinA 3分(2)由sinB，sinA，sinC成等差数列，得sinBsinC2sinA 2分由正弦定理得bc2a4，所以16(bc)2，所以16b2c22bc.由()得16a2bc，所以164bc，解得bc，(10分)所以SABCbcsinA 3分18、解：（1）ABC中，由正弦定理可得（sinAcosB+sinBcosA）cosC=sinA（2-1），即sin（A+B）cosC=sinAcosC，即sinCcosC=sinAcosC 3分即cosC（sinC-sinA）=0， cosC=0
10、或sinC=sinA，C=，或C=A，故ABC为直角三角形或等腰三角形 3分（2）若B=，则ABC为等腰三角形，则A=C=，BC=2BD=a 3分点D为AB边的中点，CD=， 在BCD中，由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BCBDcosB，即，a2= 4ABC的面积S=aasin= 3分19、解：(1)在锐角三角形ABC中，由正弦定理得，即，2sin Asin C，c4 4分(2)cos 2C12sin2C，sin2C，sin C或sin C(舍去)sin Asin C.A为锐角，故cos A，由余弦定理得a2b2c22bccos A，即b23b120，解得b2或b 4分当b2时，SAB
11、Cabsin C；当b时，cos C0，sin B2sin Bcos C，cos C.C(0，)，C 4分(2)由(1)及余弦定理得cos C，又c2，a2b212ab2分(ab)2123ab32，即(ab)248(当且仅当ab2时等号成立)ABC周长的最大值为6 4分21、解：(1)由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得b2c2a2bc 2分由余弦定理得cos A.因为0A180，所以A60 2分(2)由(1)知B120C，由题设及正弦定理得 sin Asin(120C)2sin C，即cos Csin C2sin C，整理可得cos(C60).因为0C1
12、20，所以C60135，C75 4分所以sin Csin 75sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30 4分22、解：(1)4sin Acos2Acos(BC)sin 3A，4sin Acos2Acos Asin 3A，2sin 2Acos Acos Asin 2Acos Acos 2Asin A，sin 2Acos Acos 2Asin Acos A，即sin(2AA)cos A 4分sin Acos A，即sin.又A，A，即A 2分(2)由(1)得BC，CB，ABC为锐角三角形，B且B，解得B 2分在ABC中，由正弦定理得，c1，又B，(0，)，c(14)，SABCbcsin Ac，SABC.故ABC面积的取值范围为 4分
