1、 温馨提示：温馨提示： 此题库为此题库为 WordWord 版版, , 请按住请按住 Ctrl, Ctrl, 滑动鼠标滚轴滑动鼠标滚轴, , 调节合适的观调节合适的观 看比例看比例, , 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块。文档返回原板块。 考点考点 33 33 直线、平面平行的判定及其性质直线、平面平行的判定及其性质 一、填空题 1.(2019全国卷文科T16)已知ACB=90,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到ACB两边AC,BC的距离均为 ,那么P 到平面ABC的距离为 . 【命题意图】 本题考查学生空间想象能力,合理画图成为关键,准确找到P在底面上的射影,使用线面垂直定理,
2、得到垂直关系, 利用勾股定理解决. 【解析】作PD,PE分别垂直于AC,BC于点D,E,PO平面ABC,连接OD,CO,知CDPD,CDPO,PDPO=P, 所以CD平面PDO,OD平面PDO, 所以CDOD, 因为PD=PE= ,PC=2.所以 sinPCE=sinPCD= , 所以PCB=PCA=60, 所以POCO,CO为ACB的平分线, 所以OCD=45,所以OD=CD=1,OC= ,又PC=2, 所以PO= - = . 答案: 【题后反思】画图视角选择不当,线面垂直定理使用不够灵活,难以发现垂直关系,问题就很难解决,将几何体摆放成正常视角,是 立体几何问题解决的有效手段,几何关系利于
3、观察,解题事半功倍. 2.(2019北京高考理科T12 同 2019北京高考文科T13)已知l,m是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断: lm;m;l. 以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题: . 【命题意图】本题考查立体几何中的线面平行、垂直关系的判定以及性质,意在考查学生的逻辑推理能力. 【解析】选两个论断作为条件,一个作为结论,一共能够组成 3 个命题,即,只有为假命 题,其余两个为真命题. 答案:若m,l,则lm(或若lm,l,则m) 二、解答题 3.(2019全国卷理科T17)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱A
4、A1上,BEEC1. (1)证明:BE平面EB1C1. (2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值. 【命题意图】考查线面垂直的判定和性质的应用,空间直角坐标系,空间向量的运用以及二面角的有关知识. 【解析】(1)由已知得,B1C1平面ABB1A1,BE平面ABB1A1,故B1C1BE.又BEEC1,EC1B1C1=C1, 所以BE平面EB1C1. (2)由(1)知BEB1=90.由题设知RtABERtA1B1E,所以AEB=45,故AE=AB,AA1=2AB.以D为坐标原点,的方向为 x轴正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz, 则C(0,1,0),B(1,1,
5、0),C1(0,1,2),E(1,0,1),=(1,-1,1),=(0,0,2).设平面EBC的法向量为n=(x,y,z),则 即 - 所以可取 n=(0,-1,-1). 设平面ECC1的法向量为m=(x,y,z), 则即 - . 所以可取m=(1,1,0).于是 cosn,m= =- . 所以,二面角B-EC-C1的正弦值为 . 4.(2019全国卷文科T17)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BEEC1. (1)证明:BE平面EB1C1. (2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥E-BB1C1C的体积. 【命题意图】考查线面垂直的判断与性质的应
6、用、空间几何体的体积的计算能力. 【解析】(1)由已知得B1C1平面ABB1A1,BE平面ABB1A1,故B1C1BE.又BEEC1, EC1B1C1=C1, 所以BE平面EB1C1. (2)由(1)知BEB1=90.由题设知 RtABERtA1B1E,所以AEB=A1EB1=45, 故AE=AB=3,AA1=2AE=6. 作EFBB1,垂足为F,则EF平面BB1C1C,且EF=AB=3. 所以,四棱锥E-BB1C1C的体积V= 363=18. 5.(2019浙江高考T19)(本小题满分 15 分)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面A1ACC1平面ABC,ABC=90, BAC=30,
7、A1A=A1C=AC,E,F分别是AC,A1B1的中点. (1)证明:EFBC. (2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值. 【命题意图】本题主要考查空间点、线、面位置关系,直线与平面所成的角等基础知识,同时考查空间想象能力和运算求解能 力. 【解析】(1)方法一:连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1EAC. 又平面A1ACC1平面ABC,A1E平面A1ACC1, 平面A1ACC1平面ABC=AC, 所以,A1E平面ABC,则A1EBC. 又因为A1FAB,ABC=90,故BCA1F,且A1EA1F=A1, 所以BC平面A1EF.因此EFBC. 方法二: 连接A1E,因
8、为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1EAC. 又平面A1ACC1平面ABC,A1E平面A1ACC1, 平面A1ACC1平面ABC=AC,所以,A1E平面ABC. 如图,以点E为原点,分别以射线EC,EA1为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系E-xyz. 不妨设AC=4, 则A1(0,0,2 ),B( ,1,0),F( ),C(0,2,0). 因此,=( ), =(- ,1,0). 由=0 得EFBC. (2)取BC中点G,连接EG,GF,则四边形EGFA1是平行四边形. 由于A1E平面ABC,故A1EEG,所以平行四边形EGFA1为矩形. 由(1)得BC平面EGFA1,则平面A1BC平面EGFA1, 所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上. 连接A1G交EF于O,则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角). 不妨设AC=4,则在 RtA1EG中,A1E=2 ,EG= . 由于O为A1G的中点,故EO=OG= = , 所以 cosEOG= - = . 因此,直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是 .
