1、习题及参考答案5.1 一个点电荷Q 与无穷大导体平面相距为 d，如果把它移动到无穷远处，需要作多少功？解：用镜像法计算。导体面上的感应电荷的影响用镜像电荷来代替， 镜像电荷的大小为-Q，位于和原电荷对称的位置。当电荷 Q 离导体板的距离为x 时，电荷Q 受到的静电力为- Q 2F =pe240 (2x)静电力为引力，要将其移动到无穷远处，必须加一个和静电力相反的外力2Qf =164pe (2 x) 20在移动过程中，外力f 所作的功为Q2d f dx = d 16pe x2Q 2dx = 16pe d000当用外力将电荷Q 移动到无穷远处时，同时也要将镜像电荷移动到无穷远处，所以，在整个过程中
2、，外力作的总功为q 2 / 8pe d 。也可以用静电能计算。在移动以前，系统的静电能等于两个点电荷之间的相互作用能：2W = 1 q j + 1 q j112 2 2= 1- Q+ 1 -Q= -Q 2 4pe (2d )4pe (2d )8pe d2 Q2 ( Q)000移动点电荷 Q 到无穷远处以后，系统的静电能为零。因此，在这0个过程中，外力作功等于系统静电能的增量，即外力作功为q 2 / 8pe d 。5.2 一个点电荷放在直角导体内部（如图 5-1），求出所有镜像电荷y的位置和大小。解：需要加三个镜像电荷代替导体面上的感应电荷。在（-a，d）-qqdax处，镜像电荷为-q，在（错误
3、！链接无效。 ）处，镜像电荷为q，在（a，-d）处，镜qq像电荷为-q。图 5-15.3 证明：一个点电荷q 和一个带有电荷Q、半径为R 的导体球之间的作用力为RqqQ + DDRqF =-4pe222 2 D( D- R )0其中D 是q 到球心的距离（DR）。证明：使用镜像法分析。由于导体球不接地，本身又带电Q，必须在导体球内加上两个镜像电荷来等效导体球对球外的影响。在距离球心b=R2/D 处，镜像电荷为 q= -Rq/D；在球心处，镜像电荷为q= Q - q = Q + Rq / D 。点电荷 q 受导体球的作用力就等于球内两个镜2像电荷对q 的作用力，即Rq- RqF =q4peq2
4、+2q =qQ + D +D24pe22 20 D(D - b)Rq0D(D - R )D=q4pe0 Q + D -D 2DRq (D 2 - R 2 )25.4 两个点电荷+Q 和-Q 位于一个半径为 a 的接地导体球的直径的延长线上，分别距离球心D 和-D。（1） 证明：镜像电荷构成一电偶极子，位于球心，偶极矩为 2a3Q/D2。（2） 令 Q 和 D 分别趋于无穷，同时保持 Q/D2 不变，计算球外的电场。解：（1）使用导体球面的镜像法叠加原理分析。在球内应该加上两个镜像电荷：一个是 Q 在球面上的镜像电荷， q1= -aQ/D，距离球心b=a2/D；第二个是-Q 在球面上的镜像电荷，
5、 q2= aQ/D，距离球心1b =-a2/D。当距离较大时，镜像电荷间的距离很小，等效为一个电偶极子，电偶极矩为p = q1(b - b1)- 2a3Q D 2（2）球外任意点的电场等于四个点电荷产生的电场的叠加。设+Q 和-Q 位于坐标z 轴上，当 Q 和D 分别趋于无穷，同时保持 Q/D2 不变时， 由+Q 和-Q 在空间产生的电场相当于均匀平板电容器的电场，是一个0z均匀场。均匀场的大小为2Q / 4pe D 2 ，方向在-e 。由镜像电荷产生的电场可以由电偶极子的公式计算：E =P4pe0r3 (er 2 cosq + eq sinq）=- 2a 3 Q4pe0r 3D 2(er 2
6、 cosq + eq sinq）5.5 接地无限大导体平板上有一个半径为a 的半球形突起，在点（0，zdqabq2-bq3-dq0，d）处有一个点电荷 q（如图 5-5），求导体上方的电位。解：计算导体上方的电位时，要保持1导体平板部分和半球部分的电位都为零。先找平面导体的镜像电荷 q = -q， 位于（0，0，-d）处。再找球面镜像q2电荷= -aq/d，位于（0，0，b）处，b= a2/d。当叠加这两个镜像电荷和原电1荷共同产生的电位时，在导体平面上和图 5-53球面上都不为零，应当在球内再加上一个镜像电荷 q=aq/d，位于（0， 0，-b）处。这时，三个镜像电荷和原电荷共同产生的电位在
7、导体平面和球面上都为零。而且三个镜像电荷在要计算的区域以外。导体上方的电位为四个点电荷的叠加，即j1q qqq23=（+ 1 +）4peRrrr0123其中1212) R = x2 + y 2 + ( z - d 2) r = x2 + y 2 + ( z + d 2 112) r= x 2 + y 2 + ( z - b 2 212) r = x 2 + y 2 + ( z + b 2 35.6 求截面为矩形的无限长区域（0xa，0yb）的电位，其四壁的电位为j（x,0）= j（x, b）= 0j （0, y）= 0Uj （a, y）= 0 y ,by0 y b2bU 0 (1 - b ),
8、 y b2解：由边界条件j（x,0）= j（x, b）= 0 知，方程的基本解在 y 方向应该为周期函数，且仅仅取正弦函数，即Y= sin k y nn(k=nnp )b在 x 方向，考虑到是有限区域，选取双曲正弦和双曲余弦函数，使用边界条件j（0, y）= 0 ，得出仅仅选取双曲正弦函数，即X= sh np x nb将基本解进行线性组合，得jnpxnp x= C shn = 1 nsinbb待定常数由 x=a 处的边界条件确定，即jnpxnp x(a, y) = C shn = 1 n使用正弦函数的正交归一性质，有sinbbbnpaC sh= bj(a, y) sin npy dy2nb0b
9、 b 2 U 0 y sin np y dy = U 0 ( b )2 sin npy - b y cos npy b 2 0bbbnpbnpb0U 0b2npb2npnpybbb2b b2= b ( np )sin 2- 2npcos 2bynpybU 0b2 npybnpyU (1 -) sinb0b2b dy = -U 0 np cos- b ( np )sinb- npy cosbb（cos npnpU 0b2npU 0b0 np2bnp2bnp= -U- cos) +() sin+b cos np化简以后得U 0 b bnp- b np 2 cos 2bnpaC sh= bj(a,
10、y) sin npy dy = 2bnp02nb0Usinbn 2p 22求出系数，代入电位表达式，得4Usin npppj =02 sin n y sh n xn = 1 n 2p 2 sin npabbb5.7 一个截面如图 5-7 所示的长槽，向 y 方向无限延伸，两则的电位是零，槽内 y，0，底部的电位为j （x,0）=U=0=0=U00y求槽内的电位。解：由于在 x=0 和 x=a 两个边界的电位为零，故在 x 方向选取周期解，且仅仅取正弦函数，即axX= sin k x(k= np )图 5-7nnna在 y 方向，区域包含无穷远处，故选取指数函数，在 y时， 电位趋于零，所以选取
11、由基本解的叠加构成电位的表示式为- k yY= en n由基本解的叠加构成电位的表示式为jn xp= C sine- npy an = 1 na待定系数由 y=0 的边界条件确定。在电位表示式中，令 y=0，得npxU= C sin0n = 1 naaanpxaU 0pCn 2 = 0 U 0 sin4Udx =a(1 - cos n )np当 n 为奇数时，C=n0 ，当n 为偶数时，C= 0 。 最后，电位的解np0为4U 0npx- npyaj =n = 1,3,5np sin a e5.7 若上题的底部的电位为j （x,0）=Usin 3px0a重新求槽内的电位。解：同上题，在x 方向
12、选取正弦函数，即X= sin k x (k= np ) ，在y- k y方向选取Y= en 。n由基本解的叠加构成电位的表示式为nnnajn xp= C sine- npy an = 1 na将 y=0 的电位代入，得Usin 3pxnpx= C sin0an = 1 na应用正弦级数展开的唯一性，可以得到 n=3 时， C= C ，其余系数30C= 0 ，所以0j = U sin3pxe- 3p y a0a5.9 一个矩形导体槽由两部分构成，如图 5-9 所示，两个导体板的Uy电位分别是和零，求槽内的电位。0=U0解：将原问题的电位看成是两个电a位的叠加。一个电位与平行板电容a2=U0U器的
13、电位相同（上板电位为，下0板电位为零），另一个电位为 U，即Uxj =0 y + U图 5-9a其中，U 满足拉普拉斯方程，其边界条件为y=0 , U=0 y=a , U=0x=0 时,U yU yU-0,a y aU = j （0, y）-0= 0a2aU 0 ya -a,0 y 2x时，电位U 应该趋于零。U 的形式解为p- npxU = C sin n y ean = 1 n待定系数用x=0 的条件确定。U（0, y）=anp yU = C sinn = 1 naa C= aU (0, y) sin npy dy a0 2- U y02nnpy0a- U0a2npyanpysinady
14、=aa( np )sina- npy cosaa20U 0a2npa 2np= a -( np )sin2 + 2npcos 2npyaaa2aynpyaU 0a 2 npyaU (1 - ) sina0a2a dy = -U 0 np cos- () sinanpa- np y cosnpyaa a2anpU 0a 2npU 0 a= -U（cos np - cos) +() sin+a cos np0 np2anp2a npU 0 a anp化简以后，得到- cosa np 220a C= aU (0, y) sin2nnpy ady =U ap0 cos nnp2只有偶数项的系数不为零。
15、将系数求出，代入电位的表达式，得U 02U 0npnp y- npx j =y +an = 2,4,cosnpsine2aa5.10 将一个半径为 a 的无限长导体管平分成两半，两部分之间互相绝缘，上半(0）接电压U0，下半（2）电位为零，如图 5-10，求管内的电位。解：圆柱坐标的通解为j（r, f）= ( A f + B )(C ln r + D ) +0000n = 1rn ( A cos nf + B sin nf)nn+n = 1r - n (Ccos nf + Dsin nf)nn=Urx=0由于柱内电位在r=0 点为有限值，0通解中不能有lnr 和r -n 项，即有C= 0, D
16、= 0, C= 0 (n = 1,2,)nn0柱内电位是角度的周期函数，A =0。0因此，该题的通解取为图 5-10j（r, f）= B D+rn ( A cos nf + B sin nf)0 0n = 1nn各项系数用r=a 处的边界条件来定。nU , 0 f pj（a, f）= B D+b ( A cos nf + B sin nf) = 00 0n = 1nn0, p f 1)最后的电位为 rs0 r cosf , 2e0j = a 2 re2rs0 cosf ,0r a5.12 将一个半径为a 的导体球置于均匀电场E 中，求球外的电位、0电场。rz解：采用球坐标求解。设均匀电场沿0正
17、z 方向，并设原点为电位零点（如E图 5-12）。因球面是等位面，所以在r=a 处，=0；在 r处，电位应是=-E rcos。球坐标中电位通解具图 5-120有如下形式：j（r, q）=n = 0( A rn + B r - n - 1)P (cosq)nnn用无穷远处的边界条件r及=-E rcos，得到，0A =-E10,其余A =0。n再使用球面上（r=a）的边界条件：j（a, q）= -E a cosq +B a - n - 1P (cosq ) = 0上式可以改写为0n = 0nn- 1nE a cosq =B aP (cosq )0n = 0nn因为勒让德多项式是完备的，即将任意的函
18、数展开成勒让德多项式的系数是惟一的，比较上式左右两边，并注意P (cosq) = cosq ，得1E a = B a - 2 ，即B = E a3 ，其余的B= 0 。故导体球外电位为0110nj = -(1 -a3) E r cosq r 30电场强度为E= - j =E (12a3+) cosqrr0r 3E= -qjrq= - E (10a3- ) sin qr 35.13 将半径为 a、介电常数为的无限长介质圆柱放置于均匀电场 E 中，设 E00沿 x 方向，柱的轴沿 z 轴，柱外为空气，如图 5-13，求任意点的电位、电场。r解：选取原点为电位参考点，用j10表示柱内电位，j 表示柱
19、外电位。E2x在r处，电位因几何结构和场分 0布关于y=0 平面对称，故电位表示图 5-13式中不应有f 的正弦项。令j = A+( A rn + B r - n ) cos nf1 0n = 1nnj= C+(C rn + D r - n ) cos nf2 0n = 1nn因在原点处电位为零，定出 A =0，B =0。用无穷远处边界条件 r0n及j =-E rcos，定出 C =-E ，其余 C =0。这样，柱内、外电位简化20100为j =nA rcos nf1n = 1nj= C r cosf +D r - n cos nf21n = 1njj再用介质柱和空气界面（ r=a）的边界条件
20、j = j 及e1 = e2 ，12r0 r得A an cos nf = -E a cosf +D a - n cos nfn = 1n0n = 1nn = 1enA an - 1 cos nf = -e E cosf -n0 0n = 1e nD a - n - 1 cos nf0n比较左右n=1 的系数，得DDA -1 = E, eA + e1 = -e E1a 2010 a 20 0解之得- 2ee - eA =0 E, D =0 E a 21e + e01e + e000比较系数方程左右n1 的各项，得DDA-n = 0 , eA+ en = 0na 2nn0 a 2n由此解出 A=
21、D= 0 。最终得到圆柱内、外的电位分别是nnj = - E102e0e + er cosf , j= - E r cosf + E200e - e0 a 2e + ercosf00电场强度分别为2e2eE = -j =0E cosfe-0E sin fe11e + e0re + e0f002e - errf0 ae - e0 a 2E2 = -j2 = E0 cosf(1 + e + e2 )er - E0 sin f(1 - e + e2 )e 005.14 在均匀电场中，设置一个半径为a 的介质球，若电场的方向沿z 轴，求介质球内、外的电位、电场（介质球的介电常数为，球外为空气）。解：设
22、球内、外电位解的形式分别为j =( A rn + B r - n - 1)P (cos nq)1 n = 0nnnj=(C rn + D r - n - 1)P (cos nq)2 n = 0nnn选取球心处为电位的参考点，则球内电位的系数中A= 0 ， B= 0 .0n在 r处，电位j= -E r cosf ，则球外电位系数C 中，仅仅C 不20n1为零， C = -E10，其余为零。因此，球内、外解的形式可分别简化为j =n( A r P(cos nq)1 n = 0nnj= -E r cosq +D r - n - 1P (cos nq)2 0n = 0nnjj再用介质球面（r=a）的边
23、界条件j =j及e1 = e2 ，得12r0 rA anP (cos nq ) = - E a cosq +D a - n - 1P (cos nq )n = 1nn0n = 1nn enA an - 1P (cos nq ) = -e E cosq -e (n + 1)D a - n - 2P (cos nq ) n = 1nn0 0n = 10nn比较上式的系数，可以知道，除了 n=1 以外，系数 An、 D 均为零，n且A a = -E a + D a - 2 , eA = -e E- 2e D a - 3101由此，解出系数10 00 1- 3ee - eA =0E, D =0 E a31e + 2e01e + 2e000最后得到电位、电场：3e0e - e0 a3j = - E10e + 2e0r cosq , j= -E r cosq + E200e + 2e0cosqr 23eE = -j =03eE cosq e-0E sin q e11e + 2e0re + 2e0q003e - e0 ae - e0 a3E= -j= E cosq (1 + 2 e + 2e3 )e- E sin q (1 - e + 2e3 )e2200 rr00 rq
