1、函数的基本性质要点总结研究一种函数就要研究它的性质，单调性与奇偶性是函数最重要的基本性质。一、单调性要点1:增函数、减函数定义及图象特征一般地，对于给定区间上的函数f（x）， 如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有f（）f（），那么就说f（x）在这个区间上是增函数。减函数的定义类似。反映在图象上，若 是区间D上的增（减）函数，则图象在D上的部分从左到右是上升（下降）的。关于函数单调性的理解：（1） 函数的单调性是对于函数定义域内的某个子区间而言有些函数在整个定义域内可能是单调的，如一次函数；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，而在另一部分区间上可能是减函数，如二次函
2、数；还有的函数是非单调的，如常数函数y=c，又如函数 。（2） 函数 在给定区间上的单调性，反映了函数 在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质。因此，若要证明 在a，b上是递增的，就必须证明对于区间a，b上任意的两点x1、x2，当x1x2时都有不等式f (x1)f (x2)成立。若要证明 在a，b上不是单调递增的，只须举出反例就足够了。即只要找到两个特殊的x1、x2，若ax1x2b，有f (x1)f (x2)即可。（3）函数单调性定义中的x1、x2，有三个特征：一是任意性，即“任意取x1、x2”，“任意”二字决不能丢掉。证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x
3、1x2；三是同属一个单调区间，三者缺一不可。要点2：单调性与单调区间如果函数yf（x）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数yf（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间就叫做yf（x）的单调区间。关于单调区间的书写：函数在其定义域内某一点处的函数值是确定的，讨论函数在某点处的单调性没有意义，书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可；若函数在区间端点处没有定义，则必须写成开区间。若函数 在其定义域内的两个区间A、B上都是增（减）函数，一般不能简单认为 在AB上是增（减）函数。如 在（，0）上是减函数，在（0
4、，）上也是减函数，但不能说它在定义域（，0）（0，）上是减函数，事实上，取x1=11=x2，有f(1)=11=f (1)，不符合减函数定义。要点3：用定义证明函数单调性的步骤第一步：取值 即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1x2；第二步：作差变形 即作差f (x1)f (x2)（或f (x2)f (x1)），并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；第三步：定号 确定差f (x1)f (x2)（或f (x2)f (x1)）的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；第四步：判断 根据定义作出结论。即“取值作差变形定号判断”这几个步骤。要点4：函数单调性的判定方法
5、函数单调性的判定方法主要有：（1） 定义法（2）直接法运用已知的结论，直接得到函数的单调性。如一次函数，二次函数，反比例函数的单调性均可直接说出。了解以下一些结论，对于直接判断函数的单调性有好处：函数 与函数 的单调性相反；当 恒为正或恒为负时，函数 与 的单调性相反；在公共区间内，增函数增函数增函数，增函数减函数增函数等。（3）图像法。二、函数的奇偶性要点1：奇函数、偶函数定义和图象特征（1）如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数。奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。（2） 如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数。偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。要点2：函数奇偶性的判定方法判定函数的奇偶性，包括判断一个函数是奇函数，或者是偶函数，或者既不是奇函数也不是偶函数，或者既是奇函数又是偶函数。（1） 利用定义判断函数奇偶性考查定义域是否关于原点对称奇函数或偶函数的定义域必须是关于坐标原点对称的。如果函数的定义域关于原点不对称，则此函数既不是奇函数也不是偶函数；判断 之一是否成立。（2） 根据函数图象的对称特征判断是奇函数还是偶函数。
