1、 - 1 - 绝密*启用前 广西桂林、崇左、防城港市广西桂林、崇左、防城港市 2020 年高考第年高考第二二次次联合模拟考试联合模拟考试 理科数学理科数学 注意事项注意事项: 1.本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷卷(非选择题非选择题)两部分。两部分。 2.答答题题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡 答题卡相应位置上。相应位置上。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试全部答案在答题卡上完成，答在本试卷卷上无效。上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第第卷卷 一、选择题：
2、本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的. 1.已知集合| 42Mxx ， 2 |60Nx xx，则M N A. | 43xx B. | 42xx C. | 22xx D. |23xx 2.已知 3 1 i z i （其中i为虚数单位），则 z 的虚部为 A. i B. 1 C. 2 D. 4 3.已知 0.2 log2a ， 2 0.2b ， 0.2 3c ，则 A. abc B. acb C. cab D. bca 4.若 x,y 满足约束条件 0, +
3、-30z2 -20, x x yxy xy ，则的最小值是 A. 0 B. 3 C. 4 D. 6 5.某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出 7 名学生参加文史知识竞赛，他们取 得的成绩(满分 100 分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是 85，乙班 学生成绩的中位数是 83，则x y 的值为 A. 9 B. 7 C. 8 D. 6 - 2 - 6. 函数)(2 2 Rxxy x 的图象大致为 7.已知函数 sin 4 fxx （0），其图象相邻两条对称轴之间的距离为 4 ，那么 函数( )yf x的图象 A. 关于点(,0) 16 对称 B. 关于点(,0) 16 对称 C. 关于直
4、线 16 x 对称 D. 关于直线 4 x 对称 8.九章算术中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意： “已知直角三角形两直角边长分别为 5 步和 12 步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三 角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 A. 2 15 B. 3 20 C. 2 1 15 D. 3 1 20 9.已知抛物线 2 2ypx (0)p ，过其焦点且斜率为-1 的直线交抛物线于,A B两点，若线段 AB的中点的纵坐标为-2，则该抛物线的准线方程为 A1x B2x C1x D2x 10. 在ABC中，若 cos1 cos2 cos1 cos2
5、 bCC cBB ，则ABC的形状是 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角 三角形 11.已知双曲线C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点为F，左顶点为A，以F为圆心，FA为 半径的圆交C的右支于M，N两点，且线段AM的垂直平分线经过点N，则C的离心率为 A. 2 B. 4 3 C. 5 D. 3 12.若对于任意的 12 0xxa，都有 2112 12 lnln 1 xxxx xx ，则a的最大值为 - 3 - A. 2e B. e C. 1 2 D. 1 第第卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第（本卷包括必考题和选考题两部分
6、。第（13）题第（）题第（21）题为必考题，每个试题考生都）题为必考题，每个试题考生都 必须作答，第（必须作答，第（22）题第（）题第（23）题为选考题，考生根据要求做）题为选考题，考生根据要求做答。答。 二填空题：本大题共二填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13. 6 1 2x x 的展开式中常数项是 . 14. 已知tan，tan分别是 2 6510xx 的两个实数根，则tan( ) . 15. 已知向量(2,1)a, ( 1,3) b,若存在向量c,使得 6 a c，4 b c,则c=_ 16. 在三棱锥PABC中，PA 平面ABC， 2 3 BAC ，3AP，
7、 2 3AB ，Q是边 BC上的一动点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为 3 ，则三棱锥PABC的外接 球的表面积为_ 三三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分（本小题满分 12 分）分）下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数 小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染，某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市，并停留 2 天 （1）求此人到达当日空气重度污染的概率 （2）设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求
8、 X 的分布列与数学期望. 18.(本小题满分本小题满分 12 分分) 已知正项等差数列 n a的前n项和为 n S，且满足 2 153 2 7 aaa， - 4 - 7 63S （1）求数列 n a的通项公式； （2）若数列 n b满足 11 ba， 11nnn bba ，求数列 1 n b 的前n项和 n T 19.(本小题满分本小题满分 12 分分) 已知四棱锥PABCD，底面ABCD为正方形，且PA 底面 ABCD，过AB的平面与侧面PCD的交线为EF，且满足 :1 3 PEFCDEF SS 四边形 ：. （1）证明：/PB平面ACE； （2）若二面角CAFD的余弦值为 5 5 ，求
9、PA AB 的值. 20.(本小题满分本小题满分 12 分分) 已知椭圆的焦点坐标为 1( 1,0) F ， 2(1,0) F，过 2 F垂 直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且3PQ . (1)求椭圆的方程； (2)过 2 F的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则 1 FMN的内切圆 的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若 不存在，请说明理由. 21 .(本小题满分本小题满分 12 分分) 已知 2 2 ( )2ln a f xxax x . （1）当01a时，求证：0 2 a f ； （2）当 ( )f x有三个零点时，求实数a的取值范围. 请考生在第请考生在第 2
10、2、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题 号。号。 22.（本小题满分（本小题满分 10 分）选修分）选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 - 5 - 在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为 1xcos ysin （为参数），现以原点O为极 点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C的极坐标方程； （2）设,P Q是圆C上的两个动点，且 3 POQ ，求OPOQ的最大值 23.（本小题满分（本小题满分 10 分）选修分）选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 已知函数 21,f
11、xxaxaR. （1）若2a ，解不等式 5f x ； （2）当2a时，函数 f x的最小值为3，求实数a的值. - 6 - 2020 年高考桂林市第年高考桂林市第二二次次模拟考试模拟考试 理理科数学参考答案及评分标准科数学参考答案及评分标准 一选择题（每题一选择题（每题 5 分，共分，共 60 分）分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 A B A C C A B C C D B D 二填空题（每题二填空题（每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13. 60 14. 1 15. （2,2） 16. 57 三三. 解答题：本大题共解答题：本大题共 6 小题
12、，共小题，共 70 分。解答应给出文字说明、证明进程或演算步骤分。解答应给出文字说明、证明进程或演算步骤. 17.（本小题满分（本小题满分 12 分）分） 解：（1）记事件 Ai第 i 天到达(i=1,2,3，,13),设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”， 则 B=A5A8， 2 分 所以 5858 2 13 P BP AAP AP A.3 分 （2）由题意知，X的所有可能取的值为 0,1,2，且 36711 1P XP AAAA 36711 4 13 P AP AP AP A;5 分 121213121213 4 2 13 P XP AAAAP AP AP AP A;7 分 5 01
13、12 13 P XP XP X ,9 分 所以X的分布列为 10 分 X的期望为 54412 012 13131313 EX .12 分 18. （本小题满分（本小题满分 12 分）分） 解：（1）设正项等差数列 n a的首项为 1 a，公差为 d， n 0a ， X 0 1 2 P 4 13 4 13 5 13 - 7 - 则 2 111 1 2 42 7 72163 aadad ad ， 2 分 得 1=3 2 a d 4 分 31221 n ann 5 分 （2） 11nnn bba Q，且21 n an， 1 23 nn bbn . 6 分 当2n时， 112211 ()()() nn
14、nnn bbbbbbbb L (21)(21)53(2)nnn n L， 8 分 当1n 时， 1 3b 满足上式，(2) n bn n. 9 分 111 11 () (2)22 n bn nnn . 10 分 121 1111 n nn T bbbb L 1111111111 (1)()()()() 232435112nnnn L 11113111 (1)() 22124212nnnn 12 分 19.（本小题满分（本小题满分 12 分）分） (1)解：由题知四边形 ABCD 为正方形 AB/CD， 又CD平面 PCD， AB平面 PCD AB/平面 PCD 1 分 又 AB平面 ABFE，
15、平面 ABFE平面 PCD=EF EF / AB，又 AB/CD EF /CD， 3 分 由 SPEF：S四边形CDEF=1:3 知 E、F 分别为 PC、PD 的中点 连接 BD 交 AC 与 G，则 G 为 BD 中点，在PBD 中 EG 为中位线， EG/PB EG/PB，EG平面 ACE，PB平面 ACE PB/平面 ACE. 6 分 （2）底面 ABCD 为正方形，且 PA底面 ABCD， PA、AB、AD 两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系 A-xyz，7 分 - 8 - 设 AB=AD=2a，AP=2b，则 A（0，0，0），D（0，2a，0），C（2a，2a，0） G（a，a
16、，0），P（0，0，2b），F（a，a，b）， PA底面 ABCD，DG底面 ABCD，DGPA， 四边形 ABCD 为正方形ACBD,即 DGAC，ACPA=A DG平面 CAF， 平面 CAF 的一个法向量为,0DGaa 9 分 设平面 AFD 的一个法向量为, ,mx y z而0,2 ,0 , ,ADaAFa a b 由 0 0 m AD m AF 得 0200 0 xa yz axaybz 取z a可得 ,0,mba为平面 AED 的一个法向量， 设二面角 CAFD 的大小为 则 2222 5 cos 5 DG mab DG m aaab 得 6 3 b a 又2 ,2 ,PAb AB
17、a 6 3 PA AB 当二面角 CAFD 的余弦值为 5 5 时， 6 3 PA AB . 12 分 20（本小题满分（本小题满分 12 分）分） (1)解：设椭圆方程为 22 22 xy ab 1(ab0)，由焦点坐标可得 c1.由|PQ|3，可得 2 2b a 3. 又 a2b21，得 a2，b 3.故椭圆方程为 22 43 xy 1. 4 分 (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，不妨令 y10，y20，所以 f(t)在1，)上单调递增， 有 f(t)f(1)4，SF1MN 12 4 3， 当 t1，m0 时，SF1MN3，又 SF1MN4R，Rmax 3 4 这时所求内切圆面
18、积的最大值为 9 16 ，此时直线的方程为 x=1。 12 分 21（本小题满分（本小题满分 12 分）分） (1)解：证明： 2 2 2ln 222 2 aaaa fa a ， 令 2 a t ， 3 2 2ln2 2 a fttg t t ， 1 0, 2 t ， 22 2 2221 6160gttt tttt ， g t在 1 0, 2 上单调递减， 1111 2ln442ln20 2244 g tg ， 所以原命题成立. 4 分 （2）由 2 2 2ln a f xxax x 22 2 ln(0) a xaxx x 有三个零点可得 - 10 - ln(0) a h xxaxx x 有三
19、个零点， 2 2 (0) axxa hxx x ，6 分 当0a时， 0h x 恒成立，可得 h x至多有一个零点，不符合题意； 当 1 2 a 时， 0h x 恒成立，可得 h x至多有一个零点，不符合题意；8 分 当 1 0 2 a时，记 2 (0)xaxxa x 得两个零点为 1 x， 2 x，不妨设 12 0xx， 且 12 1x x， 1 0,xx时， 0h x ； 12 ,xx x时， 0h x ； 2, xx时 0h x ， 观察可得 10h，且 12 1xx ， 当 12 ,xx x时， 0h x ； h x单调递增， 所以有 12 1h xhh x，即 12 0h xh x，
20、 1 0,xx时， 0h x ， h x单调递减， 2, xx时 0h x ， h x单调递减，10 分 由（1）知，0 2 a h ，且 1 0h x，所以 h x在 1 , 2 a x 上有一个零点， 由 lim x h x ，且 2 0h x，所以 h x在 2, x 上有一个零点， 综上可知 ln(0) a h xxaxx x 有三个零点， 即 222 22 2lnln(0) aa f xxaxxaxx xx 有三个零点， 所求a的范围是 1 0, 2 . 22（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 解：（1）圆C的直角坐标方程为 2 2 11xy，即 22 20xyx， 所以圆C的
21、极坐标方程为 2 2 cos0，即 2cos. 4 分 - 11 - (2)设P的极坐标为 1 （ ， ）， 2 + 3 Q （，），则 12 |OP|=2cos|OQ|=2cos+ 3 ， ，6 分 则|OP|+|OQ|=2cos +2cos+=3cos3sin2 3cos 36 ,8 分 又 22 232 ，所以 26 ， 所以当 6 时，OPOQ取最大值2 3.10 分 （23）（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 解：（1）2a 时，不等式为|2 +2| |1|5xx _x0001_ 当1x 时，不等式化为 22+1 5xx ，2x，此时 21x 当11x 时，不等式化为2 +2+1 5xx，2x ，此时11x 当1x 时，不等式化为2 +2+1 5xx ， 4 x 3 ，此时 4 1x 3 综上所述，不等式的解集为 4 | 2 3 xx 5 分 （2）法一：函数 f(x)|2xa|x1|，当 a2，即1 2 a 时， 31() 2 11 2 31(1) a xax a f xxax xax 所以 f(x)minf（ 2 a ） 2 a 13，得 a42(符合题意)，故 a4. 10 分 法二： 2111 222 11 22 aaa f xxaxxxxxx aa xx - 12 - 所以 min13 2 a f x，又 2a，所以4a . 10 分
