1、本讲主要阐明：本讲主要阐明：Super Super ConductivityConductivity 1.1（a）汞在低温下的电阻这种在低温下发生的零电阻现象，被称为物质的超导电性，具有超导电性的材料称为超导体超导体。实验发现，这种现象是可逆的，即当温度回升到4.2K以上时，汞的电阻又恢复为正常值。即电阻仅是温度的函数，与过程无关。奥涅斯认为：在一定温度下电阻消失，表明材料进入了一种新的状态，称之为超导态超导态。发生电阻消失的温度，称为超导转变温度或临界温度 。温度高于临界温度时，材料处于人们所熟悉的正常态；而低于临界温度时，材料进入一种新的完全不同的状态，可把这种转变看成是一种相变。cT1.
2、1（b）锡的超导转变 00BHMMH 图1.2 迈斯纳效应1x jE0E 0BEt (1.2)0d Bd t(1.3)即不随时间变化，取决于初始状态，也就是说，“理想导体”在磁场中由正常态变成超导态后，体内应继续保持磁场不变。但迈斯纳效应否定了这一推断，因此 超导态不是普通意义下的理想导体。完全抗磁体和零电阻是超导态两个相互独立的基本特征。1.3 临界参量临界参量CTT CHTCTTCHHT CHT。CHT 2C01CCHHT T（1.4）其中 是 时临界磁场，显然有 。图1.3给出了 值随温度的变化曲线。（a）第一类超导体的HC-T曲线 （b）第二类超导体的HC-T曲线 图 1.3(0)CH
3、0T()0CCHTCH表表9.1 部分超导元素的部分超导元素的4/(10 T)CH4/(10 T)CH(0)CH201205242()CHT CHT1,()CCTTHHT2()CHHT12()()CCHTHHT C()01CCJTJT T（1.5）(0)CJ 与材料的组成、形状和大小有关。()CJT CHT3.临界温度的同位素效应临界温度的同位素效应CT实验发现：同一种超导元素的各种同位素的 各不相同，与同位素相对原子质量之间存在下述关系：CT（1.6）称为同位素效应。图1.4 汞的同位素效应CT M 常数当时，即无超导电性。M 原子的质量趋于无穷大，晶格原子就不可能运动，当然也不会晶格振动，
4、且晶格振动频率有下述关系：12M同位素效应告诉我们:电子、声子之间的相互作用也许是超导电性的根源。0CT 当时，即无超导电性。M 原子的质量趋于无穷大，晶格原子就不可能运动，当然也不会晶格振动，且晶格振动频率有下述关系：12M同位素效应告诉我们:电子、声子之间的相互作用也许是超导电性的根源。0CT 1.4 比热容突变与能隙 实验发现，在没有磁场的情况下，样品在临界温度进入超导态时，没有潜热的吸收和放出，但样品的比热容发生突变。在 CT处，超导态比热容 sC大于正常比热容NC 图 1.5（a）1摩尔的超导态锡在不同温度下的比熵 （b）锡的电子比热容随温度的变化 (a)(b)，如图 1.5（b）所
5、示。金属的比热容包括晶格比热容和电子比热容两部分。当金属有正常态进入超导态时，由 射线衍射发现晶体结构并无变化。所以，超导态的晶体比热容仍与正常态一样，超导态和正常态比热容之差主要是来自电子比热容的变化。X由比热容公式 可知:在 CT处，SNCC表明，在 CT处超导态电子的熵比它处在正常态随温度降低而更迅速地下降。所以，超导态电子比正常态有序度更高(图1.5(a)。SC=TT3qC T实验结果表明，在超导态温度区域，电子比热容按指数形式随温度变化（此时晶格的比热容 ）：B()k TsC e指数行为意味着超导电子的能谱中存在能隙，此能隙位于费米能级处（图1.6）图 1.6 超导态密度g(E)与E
6、的关系曲线阴影线区域表示在T=0K时电子填充区域，为位于费米能级处的超导能隙它使电子不易被激发，导致非常小的比热容。只要那些获得 能量的电子，才能进入激发态而对比热容有 按波尔兹曼统计，这种电子的数目正是正比于 B()k Te能隙的宽度 约为 B Ck T量级，这是因为温度上升以一个典型值 5KCT 计算，-410 eV 比正常电子的带隙小得多。正因为如此，金属的超导电性只能在极低温度下出现。贡献。CT时，电子进入正常态。到1.5 磁通量冻结及其量子化磁通量冻结及其量子化把环形超导样品在 cTT的温度下放入垂直于其平面 的磁场中，如图1.7 所示。图 1.7 超导环中的磁通线然后冷却到 CT以
7、下，使之处于超导态。再后撤销磁场。此时超导环所围面积的磁通量依然不变，它由超导环表 面的超导电流维持着。这种现象称为磁通量冻结磁通量冻结。冻结磁通量的取值是量子化的：0Lnn=0,1,2,(1.7)其中最小单位 150(2)2.06785 10heWb 除了上述的几种有关超导电态的实验现象外，还有一些其它现象，例如超导态温差电势为零等，这里不一一例举。这些现象是研究超导电性的出发点，是建立超导理论的实验基础。2 超导转变热力学超导转变热力学 迈斯纳效应以及其他实验现象都表明超导电性是一个热力学平衡态。有正常态进入超导态或者相反过程都可以看成是一个相变过程。如图1.3（a）所示，曲线 CHT把
8、图划分成超导态和正常态两个区域，CHT曲线上两相平衡共存，体系跨越 CHT线时将发生正常态和超导态的可逆相变。本节从相变角度，用热力学的方法讨论超导转变。目的在于把超导的一些实验现象联系起来，为认识超导转变的本质提供某些有启发性的线索。HT2.1 超导态的凝聚能密度超导态的凝聚能密度 像在通常情况下的固体热力学一样，可认为超导转变是在恒定压力下是进行的。因此，选择吉布斯自由能作为热力学特性函数。由于在超导转变中，体积的变化 其中 强度，H为磁场强度，其微，可忽略不计，但必须考虑外磁场对超导体磁 化所做的功，因此热力学参变量可选为 其吉布斯 自由能密度为V,T H（2.1）是内能密度，是熵密度，
9、M为磁化为真空磁导率。其微分形式为0dddgs TM H（2.2）0gTsMH/E V/sS V0用gN(T,H)表示正常态的自由能密度，因超导材料都不是铁磁体，在通常情况下M=0,所以正常态的自由能可认为与磁场无关，即 gN(T,H)=gN(T,0)=gN(T)（2.3）对超导态，若用 (T,0)表示无磁场时的自由能密度，由式（2.2），有0TgMH 所以，有磁场时超导态自由能密度gS(T,H)可表示为 ss00g,g,0()dHT HTMH（2.4）Ng由迈斯纳效应，有 M=-H，代入上式，得 01(,)(,0)22ssg T Hg TH（2.5）在 H=HC(T)相变线上，两相的自由能相
10、等：01(,)(,)(,0)22NcscscgT Hg T Hg TH（2.6）图2.1 时超导态和正常态的自由能与外 磁场的关系TTC图2.1给出了 TTC 时，超导态和正常态的吉布斯自由能密度与外磁场的关系。比较式（2.3）、（2.5）和（2.6），可以看出 在给定温度 TTC情况下，存在着以下3种情况：(1)如果 H gS(T,H)，超导态自由能小于正常态自由能，体系处于超导态超导态。(2)如果 HHC，则 gN(T)S0TKd0dCHTcTT在 时，0,cH 因而 0L 在 时，因而 0L；在这两种情况下超导转变是一个二级相变。由此可知，超导态的熵总不会大于正常态的熵，这表明超导态比正
11、常态更加有序。L 单位样品由超导态转变为正常态所吸收的热量相变潜热 可表示为 NS0d()SSdccH TLTTHT（2.9）由此可知:在 0CKTT范围内，0L，从超导态到正常态是吸热的；从正常态到超导态是放热的。这是一级相变。根据热力学，体系的比热容为 ddSCTT把式（2.8）代入上式，可得正常态与超导态比热容的差 2202ddddddddNsCCNsCSSHHCCTTHTTTT（2.10）把 cT=TcH=0，代入上式，可得在临界温度下的比热容差2()()d()dCcccNScTTHCCTTTT（2.11）cT=T时，CCTdH0dT所以在相变中，比热容有一个突变。这与其前面所述的实验
12、事实一致，说明把超导转变看做热力学平衡相变是合理的。3 超导电现象的唯象理论超导电现象的唯象理论 为了解释超导电性的实验现象，除了上述热力学方法外，曾经提出许多进一步的假定和模型，称之为超导电现象的唯象理论。其中最富有成果的是二流体模型、伦敦（London）方程、朗道金兹勃格（Ladau-Ginzburg）方程等。简要介绍如下。201205293.1 二流体模型二流体模型二流体模型二流体模型是超导电现象最简单的图像，该模型假定：(1)在超导状态下，超导体内有两种传导电子，一种为正常电子，浓度为 ；另一种为超导电子，浓度为 NnSn传导电子的总浓度 NSnnn在超导体内两类电子共存，但互相独立地
13、运动。310 nm超导电子具有与正常电子不同的特殊性质：它们不(2)受晶格散射，处于一种特殊的状态，都被冻结在一最低能态上，因而有无限大的电导率和等于零的熵。超导电子有很大的相干长度，约为 数量级，相干长度可以看做超导电子波函数的空间分布范围。(3)超导电子数目与温度有关，为了与实验拟合，假设超导电子浓度 41ScTnnT（3.1）0KT 时，Snn，全部都是超导电子；随着温度的升高，超导电子减少；CTT时，全部为正常电子。很容易利用而流体模型说明前面提到的能隙，把一个超导电子转变为正常电子，相当于把它从冻结能级激发到正常能级，需要吸收额外的能量（凝聚能 ），这个能量就是能隙。g二流体模型对零
14、电阻现象的解释:时，超导体内存在有超导电子，其电导率为 cTT无穷大，由于它们的短路作用，使整个超导体的电阻变为零。根据超导电子的模型，若超导电子的有效电荷为*e有效质量为*m，在电场 其运动方程为作用下，由于无散射作用，*ddvmet（3.2）超导电子的电流密度为*SjN e（3.3）得到显示零电阻特性的方程（3.4）*2*ddSn ejtm上式取旋度，代入麦克斯韦方程式（3.5）（3.6）Bt 中，并利用 Bt BAA，为矢势，得*20SmjBt n e至此，二流体模型并未能说明迈斯纳效应。3.2 伦敦方程伦敦方程 为了说明迈斯纳效应，伦敦认为持续不衰的超导电流是一种宏观量子效应，就像原子
15、中电子绕原子核运动的永恒电流一样。由于超导电子都处在同一状态，故可用相同的波函数描述。假定超导电子浓度2*()()()Snrrr（3.7）由此可把超导电子波函数写成 1()2()()irSrn re（3.8）()r为相因子。按照量子力学，超导电流密度*()()2SieerAjmm （3.9）把（3.8）代入上式，并假定 是均匀的，得*2*()()SSerA rjnme()n r（3.10）上式两边取旋度，并注意到 ，得 0*2*2SSSmmBBjjn en e 或（3.11）伦敦把上式和表示零电阻特性的式（3.4）一起作为决定超导态电磁性质的基本方程。人们称之为伦敦方程伦敦方程。把麦克斯韦方程
16、0Bj（3.12）两边取旋度，得到 0Bj（3.13）（3.14）考虑到矢量微分公式 以及磁场的无散性 2BBB 0B并把式（3.11）代入式（3.13），得*20*21SLn eBBBm1 2*20()sLmn e称为超导体的穿透深度穿透深度。对于大多数具有超导电性的金属元素，L约为 671010m。式（3.14）是超导态样品体内磁场分布所满足的方程。以一维情况为例说明由此方程所能得到的重要结果。图3.1 磁场的穿透设一半无限超导体，位于 的空间，并设磁场 0 x 沿y方向，即 ，如图3.1所示。yBBB此时方程（3.14）变为2221yyLBBx（3.15）其解为()(0)LxyyxeBB
17、（3.16）(0)yB是超导体表面 处的磁感应强度。0 x 上式表明，超导体内的磁感应强度以指数规律迅速衰减。当 时，；在 时，超导体内有较强的磁场。Lx yBx00Lx由此，可得到以下两个重要的结果：(1)磁场将投入超导体内，投入体内的深度为1 21 24*20(0)1LcsTmn eT（3.17）1 2*20(0)smn e为T=0K时的穿透深度。取适当的值可计算 210nm的量级，所以磁场穿透深度很小。在超导体内部 实际为0，呈完全抗磁性。B 因此伦敦理论不仅解释了迈斯纳效应，还预言了穿透深度，此预言后来被实验所证实，它是伦敦理论的一个巨大成就。(2)在超导体表面有超导电流。把式（3.1
18、6）代入麦克斯韦方程 得 0Bj01(0)LxySzLjeB（3.18）表明在表面很薄一层内产生沿 方向的表面电流。z这个表面电流的磁场抵消了外磁场，使超导体内的 。因而也称之为抗磁电流或屏蔽电流。0B 不能把处于超导态的超导体看做正常的理想导体。结论:0B 3.3 磁通量子化现象磁通量子化现象 下面说明磁通量的量子化现象，以式（3.8）为讨论的出发点。根据伦敦理论的结论，超导体内的 和 都为零。Bj由式（3.10）可得*()()rA re（3.19）上式两边沿超导环体内围绕磁场任一闭合曲线积分，21()drl（3.20）（3.21）*Sn是可观测量，因此 必须是单值的，即 212,n0,1,
19、2,n 利用斯托克斯定理dddSLsAlASsB（3.22）由式（3.21）、（3.22）及（3.20），得0*2Lnne（）0*he（3.23）（3.24）把式（3.23）与实验公式（1.9）比较，只需认为超导电子的有效电量 ，两者就完全一致。*2ee重要启示：超导电子并不是普通电子，由于它的有电质量为 2e，因而可看成是由某方程结合在一起的电子对。这成为后面将要阐述的BCS理论的基础。3.4 朗道朗道金兹勃格理论金兹勃格理论 朗道朗道金兹勃格理论金兹勃格理论也是以二流体模型为基础的，其超导电子浓度 及超导电子波函数仍为式（3.7）和（3.8）所描述。但认为电子波函数不是直接由薛定谔方程决定
20、的，而是由热力学平衡条件，即吉布斯自由能取极小值来确定 所满足的方程决定的。Sn r1.超导体的吉布斯自由能密度超导体的吉布斯自由能密度 在临界温度附近 ，外磁场 中的超导体吉布斯自由能密度应由三部分组成：CTTB无外磁场的自由能密度 ，磁场能量密度(0)Sg202B以及超导电子的动能能密度*212Snm即 2*201()(0)22SSSBBggn m（3.25）上式中的第三项可写成 ，为超导电子的机械动量。若磁场的矢势为 ，则22*(2)(2)()SPnmmmPA BA，则*()ee PPAPA变上式为算符形式*ie PA所以2*2*1122()Snmiem A（3.26）上式已用到 2sn
21、超导体在无外磁场情况下的吉布斯自由能密度(0)Sg可在临界温度附近用 展开，即224(0)(0)2SNgg（3.27）式中 是正常态的自由能密度，为展开系数，(0)Ng,可从经验考虑予以确定。2sn很小，上式中高次项已经略去。把式（3.26）和（3.27）代入式（3.25）中，得222*1*()(0)22SNBggiAem（3.28）2.朗道朗道金兹勃格方程金兹勃格方程 由式（3.28）看出，是 和 的函数。由于()SBg A r2sn是否为0是正常态与超导态的判别标准，称 为超导态的序参量，朗道金兹勃格理论认为 本身sn就是序参量，因此可认为 直接是 的函数。()SBg在热力学平衡态，应取极
22、小值，即须满足()SBg()0SBg()0SBgA（3.29）及 把式（3.28）代入上式，可得 22*1*02()ie Am（3.30）2*2*2SieeAjmm（3.31）以上两式称为朗道朗道金兹勃格方程金兹勃格方程。这两个方程是相互耦合的非线性方程，要严格 求解是相当困难的。下面仅就一些简单情形，说明 从朗道金兹勃格方程所能得到的重要结果。3.相干长度相干长度对磁场和 的梯度很小的情形，可略去式（3.30）中的第一项，即 20由此得220（3.32）（3.33）这说明在若磁场条件下，“有效波函数”所表示的 不随 Snr变化，称之为 是刚性的。0式（3.31）简化成为伦敦方程*220*Se
23、Ajm 与麦克斯韦方程联立求解，得到伦敦磁场穿透深度1 2*2*200Lme序参量 随空间的变化不可忽略，但无外磁场的情况，一维问题的式（3.30）可写为 r222*2d02dmx（3.34）令 0()()xf x并注意到 20 可得关于 fx的微分方程*2224d0dfmfx（3.35）令22*4m（3.36）（3.37）得0 xfCe上式描述了“有效波函数”随空间变化的那一部分。显然超导电子浓度有显著变化的范围约为 ，这个范围就是相干长度，通常 大于610m穿透浓度 。810LLm 4.上临界磁场上临界磁场 第二类超导体第二类超导体 在 的情况下，对于位于 的半无限大超导体，若在下述条件下
24、：CBB0 x 0BB0()A xB x，且令0()f x则式（3.34）可写成2220222201d1d2CfxBfxH（3.38）由数理方程得知，此方程仅当 满足条件 0B00221LCBHn 0,1,2n （3.39）时才有解。否则当 时，将发散。fx 由式（3.39）可看出，当(21)2Ln时，超导体内的磁场 将超过临界磁场 000HBCH。外磁场的最大允许值（n=0 所对应的值），就是上临界磁场 22LcCHH 具有上临界磁场的材料就是前面讲过的第二类超导材料第二类超导材料，这是朗道金兹勃格超导理论的重要成果之一。二流体模型认为超导态中存在一种特殊载二流体模型认为超导态中存在一种特殊
25、载流子流子超导电子超导电子。由磁通量量子化的伦敦理论。由磁通量量子化的伦敦理论可知，超导电子的有效电量是正常电子的可知，超导电子的有效电量是正常电子的2倍。倍。BCS理论理论以这个事实作为其实验基础，认以这个事实作为其实验基础，认为材料处于超导态时，电子处在一种特殊的状态：为材料处于超导态时，电子处在一种特殊的状态：费米面附近的电子形式电子配对，每个电子对的费米面附近的电子形式电子配对，每个电子对的能量比两个独立电子的能量和小，并把这种电子能量比两个独立电子的能量和小，并把这种电子对状态称为对状态称为库柏对库柏对，它是，它是BCS理论的基础理论的基础。2 BCS理论基础理论基础3 BCS理论的
26、内容理论的内容a.电子是通过晶格振动，或者说通过交换声子克服电子是通过晶格振动，或者说通过交换声子克服库仑排斥力，产生相互作用吸引，结合成超导电库仑排斥力，产生相互作用吸引，结合成超导电子对子对库柏对库柏对 的的理解理解：设想处在费米面附近的两个电子设想处在费米面附近的两个电子1和和2，在某一时刻，在某一时刻相距很近，由于电子相距很近，由于电子1对处于格点位置的正离子有吸引作对处于格点位置的正离子有吸引作用，使得它周围的正电子向它靠拢，从而电子用，使得它周围的正电子向它靠拢，从而电子1 周围在周围在某一瞬间呈现正电子性，从而对电子某一瞬间呈现正电子性，从而对电子2产生吸引作用。这产生吸引作用。
27、这就表现为电子就表现为电子1通过晶格离子的偏移而间接地吸引电子通过晶格离子的偏移而间接地吸引电子2。由于晶格离子的偏移必然引起格波，所以也可以说电子由于晶格离子的偏移必然引起格波，所以也可以说电子1和和2之间的相互吸引是通过交换声子实现的。波矢为之间的相互吸引是通过交换声子实现的。波矢为 k1的电子与晶格作用发射矢波为的电子与晶格作用发射矢波为q的声子而跃迁到波矢的声子而跃迁到波矢k1，=k1-q态，波矢为态，波矢为k2的电子吸引这个声子跃迁到的电子吸引这个声子跃迁到k2，=k2+q，这个过程如图，这个过程如图4.1所示。若这个两个电子的能量所示。若这个两个电子的能量分别为分别为E(k1)和和
28、E(k2)，根据量子力学跃迁理论的计算分根据量子力学跃迁理论的计算分析表明，析表明，当满足条件当满足条件 （a）由声子传递的电子-电子相互作用示意图 （b）形成总的波矢量为的电子对的示意图 （图 4.1）|E（k1）-E(K2)|q （4.1）时，两个电子通过交换声子将产生净吸引，这就是电时，两个电子通过交换声子将产生净吸引，这就是电子子声子相互作用产生库柏对的微观机制。声子相互作用产生库柏对的微观机制。b.库柏对所处的状态库柏对所处的状态由于泡利不相容原理，费米面能级以下的深能态已被电子由于泡利不相容原理，费米面能级以下的深能态已被电子所填满，它们难以通过吸收或发射声子与其它能级相近的所填满
29、，它们难以通过吸收或发射声子与其它能级相近的电子发生作用，只有费米面附近约电子发生作用，只有费米面附近约D范围内的电子才范围内的电子才有可能产生间接相互吸引作用。如前所述，费米面附近两有可能产生间接相互吸引作用。如前所述，费米面附近两电子通过交换声子跃迁，如图电子通过交换声子跃迁，如图4.2（a）所示，并形成库柏）所示，并形成库柏对。在这个过程对。在这个过程满足动量守恒满足动量守恒 k1+k2=k,1,+k,2=k （4.2）k1,k2,k,1和和k,2还必须在还必须在k F外厚度为外厚度为 k=mD/(k F)的的球壳内。这可用图球壳内。这可用图4.2(b）形象地表示出来。图中两个球）形象地
30、表示出来。图中两个球的半径均为的半径均为kF ，两球心距离为，两球心距离为k1+k2=k。由。由 图可知，只图可知，只有在两个球壳相交的阴影区内的两个电子才能同时满足式有在两个球壳相交的阴影区内的两个电子才能同时满足式（4.1）和（）和（4.2）所表示的条件。显然，此体积越大，参）所表示的条件。显然，此体积越大，参与交换声子的电子越多，产生净吸引可能性越大。当然体与交换声子的电子越多，产生净吸引可能性越大。当然体系的能量也就越低。系的能量也就越低。当当k=0时，两球壳重合，产生净吸引可能性最大时，两球壳重合，产生净吸引可能性最大，体系，体系的能量也最低。此时，形成库柏对的两个电子的波矢的能量也
31、最低。此时，形成库柏对的两个电子的波矢k1=-k2，即两个电子的动量之和为零。由泡利不相容原，即两个电子的动量之和为零。由泡利不相容原理知，这两个电子自旋相反。因此，库柏对内最可能出理知，这两个电子自旋相反。因此，库柏对内最可能出现的电子状态是：现的电子状态是：两个电子波矢相反，自旋相反，可用两个电子波矢相反，自旋相反，可用(k1,-k2)表示。因此库柏对是一个动量为零，自旋为零表示。因此库柏对是一个动量为零，自旋为零的玻色子。的玻色子。(a)双电子模型 图.4.2(b)总波长矢为K时电子对的吸引区4.BCS理论要点理论要点（1）超导电子就是那些库柏电子对。在）超导电子就是那些库柏电子对。在T
32、=0，所有费米面，所有费米面附近的电子都形成库柏对：每个库柏对可看成是遵守玻附近的电子都形成库柏对：每个库柏对可看成是遵守玻色色爱因斯坦统计的复合粒子；并且所有的库柏对都处在爱因斯坦统计的复合粒子；并且所有的库柏对都处在具有相同能量的同一量子态中，可用同一波函数进行描述。具有相同能量的同一量子态中，可用同一波函数进行描述。并称这种状态为并称这种状态为超导基态超导基态。（2）超导能谱中存在能隙。在）超导能谱中存在能隙。在T0时，晶格的热振动可以时，晶格的热振动可以把一些库柏对拆开变成正常电子。温度越高，库柏对越少，把一些库柏对拆开变成正常电子。温度越高，库柏对越少，正常电子越多。当正常电子越多。
33、当T=Tc时，所有的库柏对都变成正常电子。时，所有的库柏对都变成正常电子。破坏库柏对需要一定的能量，这表明在超导能谱中存在能破坏库柏对需要一定的能量，这表明在超导能谱中存在能隙，它把超导基态与激发态分开。能隙与温度有关。在隙，它把超导基态与激发态分开。能隙与温度有关。在T=0时，时，BCS理论求得能隙理论求得能隙(0)为为 (0)=2De-1/g(EF)v （4.3）式中式中D是德拜频率，是德拜频率，g(EF)是正常金属在费米能级处的能态密是正常金属在费米能级处的能态密度，度，V为电子之间的有效相互作用矩阵元，它是代表电子为电子之间的有效相互作用矩阵元，它是代表电子声声子耦合强弱的系数。随着温
34、度升高，能隙子耦合强弱的系数。随着温度升高，能隙(T)将减小，在将减小，在T=Tc时，能隙消失。时，能隙消失。BCS理论得出，能隙与温度之间的关系理论得出，能隙与温度之间的关系可表示为可表示为 (T)=1.74(0)(1-T/Tc)1/2 （4.4）（3）临界温度及其上限。）临界温度及其上限。BCS理论导出临界温度可表示成理论导出临界温度可表示成 kBTc=1.13De-1/g(EF)v （4.5）上式可说明同位素效应。另外式（上式可说明同位素效应。另外式（4.5）表明）表明g(EF)v越大，越大，Tc越高。这意味着电子越高。这意味着电子.声子耦合作用越强，越容易形成超导态。声子耦合作用越强，
35、越容易形成超导态。但但V大也意味着在正常态下的金属的电阻大，所以不良导体更大也意味着在正常态下的金属的电阻大，所以不良导体更容易出现超导态。容易出现超导态。由式（由式（4.3）和（）和（4.5）可得）可得 2(0)=3.53kBTc （4.6）上式表明，上式表明，Tc有一上限。在声子机制框架内，认为是有一上限。在声子机制框架内，认为是40K。（4）超导电流是靠库柏对传输的。在超导基态，所有库）超导电流是靠库柏对传输的。在超导基态，所有库柏对的动量为零，没有电流。当超导体处于柏对的动量为零，没有电流。当超导体处于载流超导态载流超导态时，时，每个库柏对的总动量不再为零，所有的库柏对都获得一附每个库
36、柏对的总动量不再为零，所有的库柏对都获得一附加动量加动量p=k，表示成，表示成(ki+k/2),(-ki+k/2)，即在载流态，即在载流态，超导体中的电子在超导体中的电子在k空间分布整体地移动了空间分布整体地移动了k/2。在时。在时0KT时，时，gs(E)gN(E)，因此我们得，因此我们得到到I-V曲线与曲线与N-I-N结的结果结的结果一致。这就是（一致。这就是（c）中）中S-I-N结的所示的结果。结的所示的结果。c.S-I-S结结 同金属同金属(a)v=0，两侧互相穿透，两侧互相穿透的几率相等，因而结中的几率相等，因而结中无净电流无净电流.(b)时，假设左侧时，假设左侧电位高于右侧，则左侧电
37、位高于右侧，则左侧能级相对右侧将下降能级相对右侧将下降ev 在在 范围内，处在激发态的范围内，处在激发态的少数正常电子就会从右少数正常电子就会从右向左穿透，形成很小的向左穿透，形成很小的净隧道电流，且电流随净隧道电流，且电流随电电而增加。而增加。2/e 在在T=0K情况下，由于激发态情况下，由于激发态无电子，在无电子，在0V0K，都会产生较强的，都会产生较强的隧道电流。特别是在隧道电流。特别是在V2/e时，时，右侧超导态的电子密度很高，右侧超导态的电子密度很高，左侧空态密度也很高，隧道电左侧空态密度也很高，隧道电流将急剧增大。流将急剧增大。当当V的数值的数值增大到增大到V2/e时，由于时，由于
38、|E|时，时，gs(E)gN（E），），故电流故电流I随随V的变化与的变化与N-I-N结的结的情况相同，所以相同金属构成情况相同，所以相同金属构成的的S-I-S结隧道电流的结隧道电流的I-V关系曲关系曲线，即右图（线，即右图（c）（c）同金属）同金属S-I-S结的结的I-V关系关系（c）电流-电压关系思考：思考：不同金属不同金属S-I-S结结（a）没有外加偏压 （b）有外加偏压 答案：答案：下图是下图是I-V关系关系5.2 5.2 约瑟夫逊效应约瑟夫逊效应 当当S-I-S结的绝缘层小于结的绝缘层小于1.52nm时，除了有时，除了有前面所述的正常电子的隧道电流外，还存在有一前面所述的正常电子的隧
39、道电流外，还存在有一种与库柏对相联系的隧道电流，这种库柏对穿越种与库柏对相联系的隧道电流，这种库柏对穿越势垒后，仍保持其配对的形式。这种不同于单电势垒后，仍保持其配对的形式。这种不同于单电子隧道效应的新现象，称为子隧道效应的新现象，称为约瑟夫逊效应。约瑟夫逊效应。（5.2）如果绝缘层太厚，则两侧波函数相互独立，在各自区域分别满足如果绝缘层太厚，则两侧波函数相互独立，在各自区域分别满足 （5.3）绝缘层厚度足够小时，由于超导电子对的长程相关性，两侧波绝缘层厚度足够小时，由于超导电子对的长程相关性，两侧波 就数就不再相互独立了。此时就数就不再相互独立了。此时1、2 满足的薛定谔方程应为满足的薛定谔
40、方程应为 （5.4）1.约瑟夫逊方程约瑟夫逊方程 设绝缘层两侧的库柏对的波函数分别为设绝缘层两侧的库柏对的波函数分别为 ,111iSn e222iSne111222iHtiHt11122222ikHtikHt由式（由式（5.5）的前二式看出，）的前二式看出，ns1/t=-ns2/t，其物理意义是，其物理意义是一侧失去库柏对的速率正好等于另一侧库柏增加的速率一侧失去库柏对的速率正好等于另一侧库柏增加的速率,于于 1 2121121 2221121 21121121 22221122sin()2sin()cos()cos()()ssSssssssnsk n ntnkn ntkHnntkHnnt (
41、5-5)12101 21202sin()4SSSsssnevvjjtekjn n把式（把式（5.2）代入式（）代入式（5.4），并将实部和虚部分开，得），并将实部和虚部分开，得(5-6)是约瑟夫逊电流密度是约瑟夫逊电流密度由式（由式（8.5-5）的后两式，可得）的后两式，可得式中式中V为约瑟夫式逊结两侧的电位差。方程（为约瑟夫式逊结两侧的电位差。方程（5.6）和）和12211212()1222()2eeeH HVV VH Hte（5.7）（5.7）是约瑟夫逊效应的基本方程。）是约瑟夫逊效应的基本方程。图5.7 直流约瑟夫效应的电流-电压关系 假定结是由理想电流源供电，假定结是由理想电流源供电，
42、只要电流不超过临界电流只要电流不超过临界电流j0s，结结两端就没有电压降（曲线两端就没有电压降（曲线a）。当）。当电流大于电流大于j0s时，结两端就出现直时，结两端就出现直流电压流电压V=2/e，此时电子所获得，此时电子所获得的能量足以拆散库柏对，将形成的能量足以拆散库柏对，将形成正常电子隧道电流（曲线正常电子隧道电流（曲线c）。此）。此后若降低电压，电流将按正常电后若降低电压，电流将按正常电子 隧 道 效 应 的 曲 线子 隧 道 效 应 的 曲 线 b 下 降。下 降。当结两侧的电压当结两侧的电压V=0时，由式（时，由式（5.7）可知）可知(2-1)是与是与时间无关的常数。这表明在流过结的
43、超导电流小于时间无关的常数。这表明在流过结的超导电流小于j0s时，在时，在绝缘层上无电压降，绝缘层好像也具有超导性，整个结好像绝缘层上无电压降，绝缘层好像也具有超导性，整个结好像一个完整的超导体。这个现象称为一个完整的超导体。这个现象称为直流约瑟夫逊效应直流约瑟夫逊效应。2.直流约瑟夫逊效应直流约瑟夫逊效应验证验证:如果把直流电压加到结上，由式（如果把直流电压加到结上，由式（5.7）有）有 3.交流约瑟夫逊效应交流约瑟夫逊效应把式（把式（5.9）代入式（）代入式（5.6），得到通过结的电流密度），得到通过结的电流密度 上式表明，把直流偏压上式表明，把直流偏压V加到结两侧时得到的是频率为加到结两
44、侧时得到的是频率为=2eV/为的交流电，这个现象叫为的交流电，这个现象叫交流约瑟夫逊效应交流约瑟夫逊效应。（5.8）（5.9）（5.10）212eVt212102teV其解为其解为21002sin()SSeVtjj5.3 超导量子干涉效应超导量子干涉效应把两个相同的约瑟夫逊结把两个相同的约瑟夫逊结 a,b用超导通路并联起来，形成如用超导通路并联起来，形成如下图所示的环状结构。下图所示的环状结构。图 实现量子干涉效应的实验装置1.实验实验20120605 若用若用a，b分别表示结分别表示结 a 和结和结 b 两侧的相位两侧的相位差差:a=a2-a1；b=b2-b1。当外磁场为零时，。当外磁场为零
45、时，a=b=，并联通路中的电流为两结电流的并联，并联通路中的电流为两结电流的并联:000sinsin2 sinabSSaSbjjjjjj 若用外磁场不为零时，由于穿过超导环所围面积的磁若用外磁场不为零时，由于穿过超导环所围面积的磁 通量为通量为d0Al 由式（由式（3.22）和（）和（3.23）可知，磁场的存在会沿环路）可知，磁场的存在会沿环路方向产生一位相差方向产生一位相差21022d2HeeAl （5.15）设设 其中其中0 0=/(2e)为磁通量子。此时，为磁通量子。此时，a与与b将不再相等将不再相等,它们的差值就是磁场产生的它们的差值就是磁场产生的H。考虑到位相差可相差。考虑到位相差可
46、相差2 （5.16）022baHnn0,1,2,.n 0000()()bann（5.17）则通过两个结的电流为则通过两个结的电流为总电流为总电流为0002sincos()SSaSbjjjj（5.18）（5.19）的整数倍的整数倍,所以有所以有(5-19)说明电流随磁通说明电流随磁通周期性变化，当周期性变化，当 为为0的整数的整数倍时，电流出现极大，图倍时，电流出现极大，图5.9显示一具体实验结果显示一具体实验结果.这说这说明超导电流明超导电流 ja 和和 jb 具有相干性，叠加之后可产生干具有相干性，叠加之后可产生干图5.92.应用应用制造超导量子干涉仪，简称制造超导量子干涉仪，简称SQUID
47、,可用来探测磁场的可用来探测磁场的微小变化微小变化,是目前灵敏度最高的磁场强度测量仪器是目前灵敏度最高的磁场强度测量仪器.涉，称其为涉，称其为量子干涉效应量子干涉效应。6 高临界温度超导体高临界温度超导体1.1.氧化物超导体（常规超导体）氧化物超导体（常规超导体）R-Ba-Cu-O (R代表代表Sc,Y和稀土元素和稀土元素)2.2.常规超导体及其高常规超导体及其高TcTc机制探索机制探索重费米子超导体重费米子超导体低维无机超导体低维无机超导体有机超导体有机超导体非晶态超导体非晶态超导体颗粒超导体颗粒超导体 难用（BCS）理论解释3.高温超导体的应用高温超导体的应用超导磁体的应用超导磁体的应用
48、超导输电线超导输电线超导隧道效应的应用超导隧道效应的应用习习 题题1.超导材料锡（超导材料锡（Tin）的临界温度）的临界温度T=3.7K，在，在T=0K时的临界时的临界磁场为磁场为Bc=30.6mT。计算直径为。计算直径为1mm的锡导线在的锡导线在T=2K时时的临界电流，如果要载流的临界电流，如果要载流100A，此导线的直径要是多少？，此导线的直径要是多少？2.按照自由电子模型，按照自由电子模型，Sn的电子浓度为的电子浓度为nSn=14.48*1022cm-3，Al的的nAl=18.06*1022cm-3，求这两种材料在超导态时的穿，求这两种材料在超导态时的穿透深度透深度SnSn和和AlAl。
49、3.在在BCS理论中，超导转变温度和有效吸引势能理论中，超导转变温度和有效吸引势能V的关系为的关系为Tc=1.13Dexp-1/g(EF)v，已知，已知Hg的的Tc=4.16K，D=70K，Pb的的Tc=7.22K，D=96K。再由低温电子比热。再由低温电子比热=2g(EF)kB2/3的数据，的数据，Hg=1.79mJmol-1K-2，Pb=2.98mJmol-1K-2，求，求VPb/VHg。4.金属在正常态的自由能密度金属在正常态的自由能密度Gn=G0-T2/2，在超导态自，在超导态自由能密度由能密度Gs=G0-Bc2(0)/20T2(1-)1/2/2，其中，其中=ns/n是序参量。试由条件
50、是序参量。试由条件(Gs/)T=0求在温度求在温度T时，时，(T)=1-(T/Tc)4。5.什么是超导转变材料比热的不连续性。由热力学理论什么是超导转变材料比热的不连续性。由热力学理论Cs-CN=0T(dHc/dT)2+Hcd2Hc/dT2，设，设Hc(T)=(2)对于对于Al,H0=9.9*10-3T,Tc=1.18K,=1.35*10-3J/mol.K2求求其其(CS-CN)/CN。6 利用朗道方程证明穿入超导体内厚度为利用朗道方程证明穿入超导体内厚度为d的薄层中的薄层中xy平面内（平行于磁场）平面内（平行于磁场）B的表示式为的表示式为 H01-T2/Tc2，求：，求：(1)Cs-CN=?
