1、乌鲁木齐地区 2020 年高三年级第三次质量监测数学理科试卷（问卷）第 1页（共 4 页） 乌鲁木齐地区 2020 年高三年级第三次质量监测 理科数学（问卷） （卷面分值：150 分；考试时间：120 分钟） 注意事项： 1本试卷分为问卷（4 页）和答卷（4 页），答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定 位置上 2答题前，先将答卷密封线内的项目（或答题卡中的相关信息）填写清楚 第 I 卷（选择题共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题 目要求的 1计算复数 4i 1 i 得 A22iB.22iC.22i D.22i 2已知集合 2
2、20Ax xx，2, 1,0,1,2,3B ，则AB AB0,1,2C1,0,1D2, 1,0,1,2 3设命题p：xR， 2 11x ，则p为 AxR， 2 11x BxR， 2 11x C 0 xR， 2 0 11x D 0 xR， 2 0 11x 4已知等差数列 n a满足 135 18aaa， 357 30aaa，则 246 aaa A20B24C26D28 5若角的终边过点()3,4P-，则sin2的值为 A 12 25 B 12 25 C 24 25 D 24 25 6某校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有 40 人，乙班有 50 人. 现分析两个班的一 次考试成绩，算得甲班
3、的平均成绩是 90 分，乙班的平均成绩是 81 分，则这两个数学建模 兴趣班所有同学的平均成绩是 A.85B.85.5C.86D.86.5 7如图，正方体ABCDA B C D 中，AB的中点为M， DD 的中点为N, 则异面直线B M与CN所成角的大小为 A30B45C60D90 乌鲁木齐地区 2020 年高三年级第三次质量监测数学理科试卷（问卷）第 2页（共 4 页） 8在Rt ABC中，1ABAC点D满足2BDCD ，则AB AD A1B 1 3 C 1 3 D1 9直线2yx与抛物线 2 2ypx0p 交于,A B两点，若OAOB，则p的值为 A 1 2 B1C 3 2 D2 10在四
4、面体ABCD中，2AB ，1DADBCACB，则四面体ABCD的外接球的表 面积为 AB2C3D4 11M是双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 上位于第二象限的一点， 12 ,F F分别是左、 右焦点， 112 MFF Fx轴上的一点N使得 2 90NMF，,A B两点满足 1 ,2MAAN MBBF ， 且 2 , ,A B F三点共线，则双曲线C的离心率为 A21B31C22D32 12定义在R上的函数 yf x，当0,2x时， 21 ( )44 x f x ，且对任意实数 1 22,22,2 kk xkk N，都有 1 1 22 x f xf ，若 logag xf xx
5、有且 仅有5个零点，则实数a的取值范围是 A 3310, 22 B. 33 22, 100C 33 10, 484D 33 100, 484 第卷（非选择题共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 2223 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13已知定义在R上的奇函数 f x满足：当0x 时， 3 log1f xx，则 8f 14如图，在边长为 1 的正方形OABC内随机取一点，则此点恰好取 自曲线yx下方与正方形OABC所围成阴影部分的概率 为 15若函数 2sin01f xx在0, 3
6、上的最大值为2，则 的值为_. 乌鲁木齐地区 2020 年高三年级第三次质量监测数学理科试卷（问卷）第 3页（共 4 页） 16黎曼猜想由数学家波恩哈德黎曼于 1859 年提出，是至今仍未解决的世界难题黎曼猜 想涉及到很多领域的应用有些数学家将黎曼猜想的攻坚之路趣称为:“各大行长躲在银 行保险柜前瑟瑟发抖，不少黑客则潜伏敲着键盘蓄势待发”黎曼猜想研究的是无穷级 数 1 111 123 s sss n sn ，我们经常从无穷级数的部分和 1111 123 ssss n 入 手 已知正项数列 n a的前n项和为 n S， 且满足 11 2 nn n Sa a ， 则 12100 111 SSS （
7、其中 x表示不超过x的最大整数）. 三、解答题：第 1721 题每题 12 分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程 或演算步骤. 17在ABC中，, ,a b c是,ABC所对的边，7a ，1c ，3sincos0AA. （）求b； （）若D为BC边上一点，且ADAB，求ACD的面积 18在疫情这一特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线 学习复课后进行了摸底考试，某校数学教师为了调查高三学生这次摸底考试的数学成 绩与在线学习数学时长之间的相关关系，对在校高三学生随机抽取45名进行调查知道 其中有25人每天在线学习数学的时长是不超过1小时的，得到了如下的等
8、高条形图： （） 是否有99%的把握认为 “高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关” ； （） 将频率视为概率， 从全校高三学生这次数学成绩超过120分的学生中随机抽取10人， 求抽取的10人中每天在线学习时长超过1小时的人数的数学期望和方差. 0 2 kKP0.0500.0100.001 0 k3.8416.63510.828 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 乌鲁木齐地区 2020 年高三年级第三次质量监测数学理科试卷（问卷）第 4页（共 4 页） 19如图，将等腰直角三角形ABC沿斜边上的高AD翻折， 使二面角BADC的大小为 3 ，翻
9、折后BC中点为M. （）证明BC 平面ADM； （）求二面角DABC的余弦值. 20已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 右焦点为2,0F，P为椭圆上异于左右顶点,A B的一 点，且PAB面积的最大值为3 5. （）求椭圆C的标准方程； （） 若直线AP与直线xa交于点Q， 线段BQ的中点为M， 证明直线FM平分PFB. 21已知函数 2 2 x f xaxxa e ， ln1g xbx. （）当0a 时，求 f x的单调区间； （）当0a 时， f xg x在0,x上恒成立，求实数b的取值范围. 选考题：共 10 分，请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
10、第一 题计分作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 22已知曲线 1 C的参数方程为 25cos 35sin xt yt （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为2sin. （）求曲线 1 C的极坐标方程； （）设 1 C与 2 C交点为,A B，求AOB的面积. 23设, a b均为正数，且 22 2ab，证明： （） 33 4abab； （）2ab. 1 / 4 乌鲁木齐地区 2020 年高三年级第三次质量监测 理科数学（答案） 一、选择题：每小题 5 分. 15. ADCBD 610. ADABB 1112. AC 二、填
11、空题：每小题 5 分. . 13. 2 14. 2 3 15. 3 4 16. 18 三、解答题： 17 （12 分） （）由3sincos0AA，得 3 tan 3 A ，150A ，又7,1ac， 又 222 2cosabcbcA,即 2 360bb，解得3b ； 6 分 （）由（）得 73 sinsinBACB ， 21 sin 14 B ， 3 tan 5 B ， 3 5 AD ， 13 3 sin60 220 ACD SAD AC . 12 分 18 （12 分） （）依题意，得2 2列联表 数学成绩 在线学习时长 120分 120分 合计 1小时 15 10 25 1小时 5 15
12、 20 合计 20 25 45 2 2 45 15 155 10 441 5.51256.635 20 25 25 2080 K ， 没有99%的把握认为“高三学生的这次摸底成绩与其在线学习时长有关” ； 6 分 （） 从上述2 2列联表中可以看出， 这次数学成绩超过120分的学生中每天在线学习时长超 过1小时的频率为 15 0.6 25 ， 则1 0 , 0 . 6XB,6E X,2.4D X. 12 分 19 （12 分） （）折叠前ABAC，AD是斜边上的高，D是BC的中点， BDCD，又因为折叠后M是BC的中点，DMBC 折叠后依旧有ABAC，AMBC，AMDMM BC 平面ADM；
13、6 分 （）建立如图空间直角坐标系，不妨设1AD ，易知二面角BADC的平面角是BDC 则1BDBCCDAD, 3 1 0,0,1 ,0 ,0,1,0 ,0,0,0 22 ABCD , 2 / 4 设平面ABD的法向量为 1111 ,x y zn，得 1 1 0 0 AD BD n n ,即 0 31 0 22 z xy ， 得 1 1,3,0n，同理得平面ABC的法向量 2 3 ,1,1 3 n， 12 12 3 3 3 7 cos 721 2 3 n n n n . 12 分 20 （12 分） （）由题意得 222 3 5 2 ab ab ，解得 22 9,5ab， 椭圆C的标准方程为
14、22 1 95 xy ； 5 分 （）设直线AP的方程为3xmy，代入 22 1 95 xy ，得 22 59300mymy， 解得0y 或 2 30 59 m y m ， 22 22 301527 3 5959 P mm x mm ， 2 22 152730 , 5959 mm P mm ， 易知直线AP与3x 的交点 6 3,Q m ，线段BQ的中点 3 3,M m ， 设MFB，则 3 3 tan 1 m m ， 2 2 3 2 6 tan2 9 9 1 m m m m ， 2 222 2 30 306 59 tan 15275459 2 59 PF m mm m PFBk mmm m
15、， 20,0,tan2tanPFBPFB，2PFB， 即直线FM平分PFB. 12 分 21 （12 分） （） 22 212212 xxx fxaeaxxa eeaxaxxa , 令 0fx，即 2 21120axaxa ， 2 41a ， 0a ，当 1 0 2 a时，0 ， 22 12 1 21 41 21 4 , 22 aaaa xx aa ， 3 / 4 fx在 2 1214 , 2 aa a ， 2 1214 , 2 aa a 上单调递减， 在 22 12141214 , 22 aaaa aa 上单调递增， 当 1 2 a 时，0 ， f x在R上单调递减减； 5 分 （）当0a
16、时，ln1 x xebx 在0,上恒成立， 即ln10 x xebx 在0,上恒成立， 令 ln1 x h xxebx ，则 2 1 11 x xx exb b hxexe xx ， 当0b 时，在0,上，都有0, ln10 x xebx， 即ln1 x xebx 恒成立，与题意矛盾； 当0b 时，令 2 1 x m xexb ， 2 21 x mxexx ， 当1,x时， 0m x 恒成立， 当0,1x时， 0mx， m x在0,1上单调递减， 01mb ， 若 010mb ，即1b ，0,1x时， 00m xm， 0hx， h x在0,上单调递减， 00h xh成立， 当 010mb ，即
17、01b， 10mb ， 存在 0 0,1x 使得 0 0m x， 0 0,xx， 0m x ， 0,1 xx， 0m x ， h x在 0 0,x单调递增，存在 0 0,kx使得 0h k 与题意矛盾， 综上所述1b . 12 分 22 （10 分） （）由题意得，曲线 2 1: 4 cos6 sin80C； 5 分 4 / 4 （）联立方程 2 4 cos6 sin80 2sin ，得 2 2 ，4 2 ， 0,2 ,1,1AB， 1 2 11 2 AOB S . 10 分 23 （10 分） （） 22 2ab，要证 33 4abab，只需要证明 2 443322 ababbaab， 也就是要证明 44334422 20ababbaaba b，即证 2 0ab ab， , a b均为正数， 2 0ab ab， 33 4abab； 5 分 （）, a b均为正数，2abab ， 2 2 abab， 22 22 2ababab，又 22 2ab，2ab. 10 分 以上各题的其他解法，限于篇幅，从略，请酌情给分
